Реферат: Дополнительные главы теории вероятностей

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
проф. А.И. Нейштадт, доц. М.В. Козлов

1 год, 3 курс (по выбору кафедры)
Часть I.
1. Характеристические функции. Примеры. Элементарные свойства. Дифференцируемость и существование моментов. Разложение по формуле Тейлора с оценкой остатка через абсолютный момент. Неравенство для хвостов распределения.

2. Теорема единственности для характеристических функций.

3. Сходимость распределений вероятностей. Плотность. Слабая (weak) и ослабленная (vague) сходимости. Относительная компактность. Теорема о выборе.

4. Теорема непрерывности для характеристических функций.

5. Теорема Линдеберга-Феллера.

6. Теоремы единственности и непрерывности для моментов.

7. Безгранично-делимые распределения. Примеры. Свойства.

8. Формулы Леви-Хинчина-Колмогорова.

9. Слабая сходимость в схеме серий.

10. Теорема восстановления для случайных блужданий.

11. Преобразование Лапласа. Примеры. Теорема единственности и непрерывности.

12. Правильно меняющиеся функции. Тауберовы теоремы.

13. Факторизация для характеристических функций.

14. Критерий возвратности и транзиентности для случайных блужданий.

15. Примеры факторизационных тождеств.

16. Законы арксинуса для случайных блужданий.

Часть II.

1. Одномерное нормальное распределение: плотность, характеристическая функция, моменты, воспроизводящее свойство.

2. Распределение 2: плотность, характеристическая функция, моменты, воспроизводящее свойство. Плотности t- и F-распределений.

3. Многомерное нормальное распределение с единичной матрицей ковариаций: плотность, характеристическая функция, распределение проекций и их длин.

4. Многомерное нормальное распределение (невырожденное или вырожденное): плотность, характеристическая функция, воспроизводящее свойство.

5. Условное распределение компонент нормального случайного вектора при фиксированных остальных компонентах (в случаях невырожденного и вырожденного распределений). Регрессия, множественный коэффициент корреляции.

6. Распределение квадратичных форм от компонент нормального случайного вектора с единичной ковариационной матрицей: теорема Фишера-Кохрена.

7. Распределение квадратичных форм от компонент нормального случайного вектора с единичной ковариационной матрицей: необходимые и достаточные условия 2-распре-деленности и независимости.

8. Распределение квадратичных форм от компонент нормального случайного вектора: необходимые и достаточные условия 2-распределенности и независимости, достаточные условия 2-распределенности.

9. Критерий согласия 2,теорема Неймана-Пирсона.

10. Критерий однородности 2.

11. Оценка параметров многомерного нормального распределения по методу максимального правдоподобия. Независимость оценок вектора средних и матрицы ковариаций.

12. Распределение Уишарта: определение, воспроизводящее свойство, поведение при преобразованиях. Условия распределенности по Уишарту матриц квадратичных форм нормальных случайных величин.

13. Распределение диагональных элементов обратной матрицы к матрице Уишарта, распределение определителя матрицы Уишарта.

14. Статистика Хотеллинга T2: распределение, свойства в асимптотике растущей размерности (асимптотике А.Н. Колмогорова).

15. Применение статистики Хотеллинга для проверки гипотезы о равенстве математического ожидания нормальной совокупности заданному вектору, о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей. Расстояние Махаланобиса и его несмещённая оценка.

16. Плотность распределения Уишарта в случае единичной матрицы ковариаций.

17. Плотность распределения Уишарта в случае произвольной матрицы ковариаций. Характеристическая функция распределения Уишарта.

18. Распределение выборочного коэффициента корреляции нормальной совокупности в предположении равенства нулю истинного коэффициента корреляции. Проверка гипотезы о независимости признаков.

19. Асимптотическое распределение выборочного коэффициента корреляции нормальной совокупности. Преобразование Фишера. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции.

20. Дискриминантный анализ: постановка задачи, оптимальное правило классификации, квадратичные и линейные дискриминантные функции.

21. Геометрическая интерпретация оптимального свойства линейной дискриминантной функции в случае двух классов. Вероятность ошибочной классификации в одну из двух нормальных совокупностей с равными ковариационными матрицами в случае известных параметров совокупностей.

22. Вычисление в асимптотике А.Н. Колмогорова вероятности ошибочной классификации в одну из двух нормальных совокупностей с равными ковариационными матрицами в случае неизвестных параметров совокупностей.

23. Отбор информативных признаков в дискриминантном анализе. Смещение оценки вероятности ошибочной классификации, возникающее из-за отбора. Проверка правил классификации на “экзамене”, “скользящий экзамен”.