Реферат: О вычислительных эффектах при решении краевых задач для изотропного однородного континуума коссера

О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭФФЕКТАХ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ОДНОРОДНОГО КОНТИНУУМА КОССЕРА


Адамов А.А.

г. Пермь, Россия


Введение


Одним из направлений развития механики деформируемого твердого тела является построение неклассических моделей сплошной среды, позволяющим выявить взаимосвязи её разномасштабных структурных элементов. Это направление иногда называют механикой обобщенных сплошных сред. Бурный интерес к проблемам учета структурных особенностей изучаемой среды в 50-70-е годы прошлого века был стимулирован широким внедрением композиционных материалов, в последнее время новая волна публикаций стимулирована нанотехнологиями и качественно возросшим уровнем компьютерного моделирования процессов механики сплошных сред в аналитическом и численном представлении. Литература по неклассическим моделям сплошных сред необозрима, хороший исторический и сравнительный обзор ряда моделей содержится в [1-2], обзор некоторых экспериментальных работ по определению констант – в [3], представление о текущем состоянии развития дают работы [3-6], специальный выпуск журнала [7], посвященный 100-летнему юбилею основной работы Э. и Ф. Коссера по моментной теории.

Конструктивна классификация обобщенных сред по показателю нелокальности [1]. Он определяется масштабными параметрами, имеющими размерность длины: размер частиц наполнителя, зерен, радиус сил дальнодействия или корреляции и т.п.

Теория является нелокальной или сильно нелокальной, если «разрешаюшая способность» модели имеет порядок масштабного фактора l – в рамках такой теории физически допустимо рассматривать напряженно-деформированное состояние фрагмен­тов тела с характерным размером масштабного фактора, распространение волн с длиной, соизмеримой с масштабным фактором.

К слабо нелокальным отнесены все моментные теории, для них масштабный параметр мал по сравнению с рассматриваемыми длинами волн, рассматриваемыми характерными геометрическими размерами элементов конструкций.

Предельным случаем являются локальные теории, для которых соотношение масштабного фактора l с длиной рассматриваемых объектов, длиной волн является пренебрежимо малым (например, классическая теория упругости).

Для популярного представителя моментных теорий – континуума Коссера до сих пор особо актуальна практическая проблема идентификации этой модели для множества реальных неоднородных (гетерогенных) материалов, пригодных для её приложения. Несоизмеримо мало (к числу теоретических) количество надежных и подтвержденных разными исследователями результатов по определению параметров модели даже в простейшем случае упругого изотропного тела. Представляемый доклад вызван желанием выяснить причины сложившейся ситуации.


^ Макроскопический подход и гипотеза однородности материала


Носителями моментных напряжений потенциально обладают многие реальные материалы с микроструктурными неоднородностями: поликристаллические материалы, композиты, суспензии, бетоны, горные породы и т.п. Для моделирования их механического поведения на различных масштабных уровнях применяют многоуровневые подходы, обычно используется двухуровневый подход с различением макроуровня и микроуровня.

Для макроскопического моделирования механического поведения таких гетерогенных материалов в рамках классической сплошной среды широко используются методы осреднения (гомогенизации) [8-14], позволяющие формулировать определяющие соотношения в виде осредненных уравнений связи между осредненными компонентами тензоров напряжений и деформаций с помощью эффективных характеристик, вычисляемых различными методами. Такая замена неоднородной среды эквивалентной однородной средой чаще всего вводится на уровне принимаемой гипотезы эквивалентной гомогенности или как результат математического осреднения всех быстро осциллирующих величин и функций для периодических структур (приближение нулевого порядка) [12-13]. Осреднение производится по представительному объёму гетерогенного материала, с характерным размером, существенно превышающим характерный размер принимаемой во внимание структурной неоднородности [8-14].

Существуют численные методы осреднения, например [15], позволяющие вычислять характеристики представительного объёма и в окрестности поверхностных слоев гетерогенного материала, но при этом неизбежно возникает изменение класса симметрии материала с вычисляемыми эффективными характеристиками. Порождаемое этим обстоятельством нарушение гипотезы однородности влечет необходимость решения краевых задач с непрерывной зависимостью эффективных свойств материала от расстояния до его поверхности.

Например, гетерогенный материал, содержащий равномерно распределенные шаровые частицы наполнителя, в результате применения метода гомогенизации может быть изотропным внутри объёма, при приближении по нормали к плоской свободной поверхности или к поверхности с однородными нулевыми кинематическими условиями материал может приобретать свойства трансверсально изотропного тела с показателями анизотропии, зависящими от расстояния до границы материала и типа граничных условий. В окрестности более сложных участков границ, где происходит существенное изменение геометрии (с угловыми точками) или смена типа граничных условий, тип анизотропии в приповерхностном слое материала с эффективными свойствами будет более сложным. Причем для теории микрополярных сред используется обобщенная теория материальной симметрии [16-17] из-за разного типа тензоров (полярных и аксиальных), входящих в определяющие уравнения.

Гипотезы и определения метода усреднения ограничивают размеры испытываемых гетерогенных образцов, длины волн в рассматриваемых материалах, размеры анализируемых объёмов тела. Следствием этих ограничений является невозможность анализа напряжений и деформаций в микрообъёмах гетерогенного материала, в частности на межфазных границах, на поверхностях контакта разных материалов и в тонких приповерхностных слоях (толщиной порядка характерного линейного размера представительного объёма) в рамках модели гомогенизированного однородного тела с эффективными усредненными характеристиками.

Поэтому решения краевых задач в приповерхностных слоях, получаемые в рамках гипотезы однородного материала с эффективными характеристиками, трактуются для периодических структур как приближение нулевого порядка [12]. Для рассмотрения следующего приближения ставятся новые краевые задачи с определяющими уравнениями и граничными условиями, соответствующими известной периодической структуре материала.

Проблемы, связанные с указанными краевыми эффектами для гетерогенных материалов произвольной структуры рассматриваются в рамках микромеханического подхода [11, 18-21] или с использованием сильно нелокальных теорий [1, 4, 12], позволяющих анализировать напряженно-деформированное состояние (НДС) фрагментов конструкций с размерами порядка масштабного фактора l. Промежуточным вариантом для исследования краевых эффектов могло бы стать использование модели неоднородного материала с эффективными свойствами, проблема её идентификации теоретически реализуема с помощью методов осреднения [15].

Однородный континуум Коссера является типичным примером гомогенизированной сплошной среды, состоящей из одинаковых элементарных материальных жестких тетраэдров и наделенной в каждой точке одинаковой способностью к восприятию моментных воздействий от окружающих соседних точек. Но моментные взаимодействия соседних элементарных объёмов материала могут проявляться лишь при наличии конечного линейного структурного параметра длины – «плеча» l, опираясь на которое распределенные внутренние силы создает момент.

Информация о таких масштабных факторах, имеющих размерность длины, содержится в любой полной комбинации констант континуума Коссера. Рассмотрим подробнее достижения по определению констант этой модели для различных реальных материалов.


^ Константы изотропного континуума Коссера


Идентификацию констант рассмотрим для простейшего континуума Коссера – упругого изотропного однородного и центрально-симметричного тела при малых деформациях в изотермических условиях и в окрестности естественного состояния [22-23], характеризуемого 6 независимыми постоянными (общий случай анизотропии требует определения 271 константы [24]).

Главное затруднение при определении констант [25] состоит в невозможности наблюдения эффектов проявления моментных составляющих при однородных видах НДС, т.к. вследствие уравновешенности моментных составляющих направляющий триэдр в точке является «скрытым». Поэтому основные результаты, демонстрирующие важность учета вращательных степеней свободы элементарного объёма сплошной среды в статической постановке, получены в задачах определения коэффициентов концентрации напряжений и деформаций, в окрестности особых точек, в тонких приповерхностных слоях при решении смешанных краевых задач.

Это обстоятельство требует использования соответствующей экспериментальной техники для количественной регистрации компонент тензоров деформаций и вращений в локальных областях с высокими градиентами измеряемых величин. Компоненты двух несимметричных тензоров напряжений чаще всего не поддаются раздельному измерению и оцениваются только по их измеряемым интегральным эффектам – параметрам нагружения (приложенные силы, крутящие моменты, давление на поверхности образца и т. п.).

Поэтому в последнее время наибольший интерес проявляется к динамическим краевым задачам моментной теории, обусловленный наличием новых типов нелинейных волн и их особыми дисперсионными свойствами при учете вращательных степеней свободы.

Весьма сложным является вопрос о корректности и адекватности моделирования наблюдаемых эффектов механического поведения с точки зрения их физической природы. Разнообразие механизмов сопротивления деформации, механизмов диссипации механической энергии и связанных с ними механизмов нелинейного поведения реальных гетерогенных материалов при ограниченных экспериментальных данных, измеренных на многообразиях не более трех (как правило) измерений пространства компонент тензора деформации и пространства компонент тензора вращений, могут служить подтверждением не одного, а разных представлений закона состояния.

Существенным осложняющим обстоятельством для идентификации детерминированных моделей несимметричной теории упругости является значительная статистическая вариативность свойств гетерогенных материалов.

Для рассматриваемого континуума Коссера первые публикации об экспериментальном определении упругих констант появились в последней трети ХХ века [3, 26-35]. Основные результаты получены для пористых материалов: костной ткани и пенопластов разной плотности на основе различных полимеров. Их характерной чертой является существенно неоднородное распределение массы материала по объёму тела, причем соседние сгущения массы связаны друг с другом податливыми тонкостенными оболочками переменной толщины. Исключениями являются монолитный композит – отвержденная эпоксидная смола, наполненная на 60 % алюминиевой дробью [27-28] и графит Н237 [29].

Методы, используемые при идентификации констант континуума Коссера, можно разделить на 4 следующие группы [36]:

Методы размерных эффектов, основанные на предсказываемой теорией Коссера зависимости жесткости образцов от их размеров в опытах с изгибом и кручением стержней и пластинок. Численный анализ аналитических решений краевых задач для изгиба и кручения в рамках рассматриваемой модели приведен в [37]. Так как наружные слои образцов вносят максимальный вклад в жесткость образцов на изгиб и кручение, в работах [20, 34] предложены поправки для учета поверхностного поврежденного слоя пористого материала при механической обработке образцов. Рекомендуется вводить поверхностный слой изотропного материала с более низким модулем Юнга (в частности, с нулевым), толщина этого слоя – порядка 0.5 диаметра характерного элемента структуры.

Полевые методы, базирующиеся на сравнительном анализе полей перемещений и деформаций в окрестности различных концентраторов напряжений, где классическая теория и теория Коссера дают отличающиеся результаты [22-25, 38-47].

Методы, основанные на явлении дисперсии сдвиговых волн (зависимости их скорости от частоты). Трудность данного подхода состоит в том, что указанная дисперсия обусловлена также рядом других диссипативных механизмов, присущих гетерогенным материалам [2]. Пример определения констант континуума Коссера для эпоксидного композита с алюминиевой дробью в опытах с прохождением ударных импульсов [28] при отсутствии проявлений размерных эффектов в квазистатических опытах на изгиб и кручение [27] свидетельствует о неоднозначности этих процедур определения констант. Также велики демонстрируемые в [33] статистические вариации результатов измерений по соотношению модулей и по тангенсу угла потерь. Поэтому уместна объективная осторожность авторов [48] по трактовке полученной ими немонотонной зависимости фазовой скорости от частоты для рыхлого грунта. В работах [49-53] предлагается использовать для целей идентификации констант современные датчики перемещений и углов поворота при регистрации и последующей обработке поверхностных волн Рэлея и Лэмба. В [54-55] приведены интересные результаты по идентификации и моделированию нелинейных волн при обработке сейсмических данных. В [56] для волны Лэмба в плоском слое материала с расчетными характеристиками тяжелой нефти при низкой температуры найдена резонансная частота, близкая к частоте вращательного движения частиц, но для материала с моментными свойствами вспененного полиуретана упомянутый резонансный пик не проявился.

Расчетные методы определения констант континуума Коссера, основанные на применении процедур осреднения для гетерогенных материалов с известной внутренней структурой, чаще всего, периодической [12, 57-59]. При этом на уровне структурных элементов (микроуровне) обычно используются модели простых классических материалов, для перехода на макроуровень к модели Коссера применяется осреднение по представительному объёму.

Анализ всех постановок решенных краевых задач, предлагаемых в качестве основы для реализации экспериментальных процедур идентификации континуума Коссера показывает, что в них явно или неявно заложена гипотеза об однородности континуума во всем объёме анализируемого тела. Но, как упоминалось выше, наличие в теле носителей моментных напряжений со структурным масштабным фактором длины l обуславливает существование зоны краевого эффекта с толщиной приповерхностного слоя порядка ~(1÷3) l, где гипотеза об однородности континуума Коссера не справедлива и решение такой краевой задачи носит характер нулевого приближения [12].

Поэтому для оценки эффективности использования модели континуума Коссера в каждой конкретной краевой задаче необходимо проверять условие: существенно ли толщина полученного при решении слоя со значимыми моментными эффектами превышает толщину зоны краевого эффекта, определяемую структурным масштабным фактором длины l для данного материала.


^ Анализ масштабных факторов длины для реальных и гипотетических материалов


Основное отличие континуума Коссера от классической теории состоит в принципиальном различии понятий элементарного материального объёма сплошной среды.

Классическая теория оперирует с элементарным объёмом сплошной среды, стягиваемом при предельном переходе в материальную точку, диаметр которой может быть как угодно малым и параметры определяющих уравнений не зависят от степени этой малости. Но физическое содержание материальной точки такого континуума определяется понятием представительного объёма, осреднением по его объёму и его поверхностям определяются все удельные эффективные характеристики материала. Силовое взаимодействие двух соседних материальных элементарных объёмов, разделенных элементарной ориентированной площадкой , характеризуется только главным вектором распределенных усилий на этой площадке. Инерционные характеристики материальной точки с радиус-вектором задаются постоянной плотностью среды . Для задания движения во времени материальной точки такой среды достаточно определения вектора перемещений .

Рассматриваемый континуум Коссера базируется на элементарном объёме в виде конечного ориентированного тетраэдра, наделенного не только массовой плотностью , но и плотностью момента инерции . От характерного размера этого тетраэдра зависят параметры моделей и его нельзя сделать произвольно малым для конкретного моделируемого материала. Представительный объём этого континуума должен иметь характерный линейный размер, на порядок превышающий характерный линейный размер тетраэдра. Силовое взаимодействие двух соседних материальных объёмов континуума Коссера с эффективными осредненными характеристиками и общей элементарной площадкой , характеризуется главным вектором и главным моментом распределенных усилий на этой площадке. Движение материального тетраэдра требует задания векторов перемещения его центра масс и вращения относительно этого центра масс.

Уравнения движения при заданном векторе удельной (на единицу объёма) плотности объёмных сил и заданном векторе удельной плотности объёмных моментов имеют вид

(1)

где – набла-оператор, – несимметричный тензор напряжений, – несимметричный тензор моментных напряжений, – тензор Леви-Чивита (альтернирующий тензор) третьего ранга.

В [1] отмечается, что уравнения движения (1) для рассматриваемого континуума Коссера несколько не согласованы по степени приближения по масштабному параметру длины l: первое имеет нулевой порядок, а второе – второй. Для обеспечения согласованной точности предлагается в соответствующем лагранжиане удерживать производные смещения на один порядок выше, чем для производных микровращения. Эта несогласованность в конечно-элементной реализации краевых задач моментной теории упругости приводит к эффективному использованию более высокой степени аппроксимирующих полиномов для компонент вектора перемещений, чем для компонент вектора вращений [40, 46]. Еще одним важным фактором для численного моделирования поведения моментных сред методом сеток или методом конечного элемента является [56] необходимость дискретизации расчетной области ячейками или элементами с размерами, существенно меньшими характерного линейного размера l.

Для рассматриваемого континуума определяющие соотношения в работах различных авторов отличаются обозначениями констант. Так, для ортонормированной системы координат в интерпретации В. Новацкого [22] выражения для компонент тензоров напряжений имеют вид

(2)

а в интерпретации А. Эрингена [40]

(3)

где – компоненты несимметричного тензора деформаций , – компоненты тензора изгиба-кручения ,

– константы в интерпретации В. Новацкого,

–– константы в интерпретации А. Эрингена.

Из сравнения этих представлений имеем связь

(4)

В работах Р. Лейкса [3, 30-32, 35] приведены экспериментально измеренные значения констант, связанные с представленными выше константами моментной теории:

инженерные константы – модули сдвига, Юнга, коэффициент Пуассона

; ; ; (5)

масштабные параметры кручения и изгиба , имеющие размерность длины и коррелирующие с характерными размерами структурных элементов в исследованных материалах

; ; (6)

безразмерные параметры

; . (7)

Из этих формул легко получить значения констант в представлении В. Новацкого для экспериментально исследованных материалов

(8)

Теория размерностей позволяет выделить другие комбинации констант определяющих соотношений, имеющих размерность длины. В [22] введены масштабные параметры (далее без указания индекса будут использоваться константы в представлении В. Новацкого и масштабные параметры длины Р. Лейкса)

; ; . (9)

В [2] при рассмотрении плоской задачи используется параметр

. (10)

При учете инерционных эффектов появляется ещё один характерный размер – радиус инерции элементарного объёма однородного и центрально симметричного континуума Коссера

. (11)

Термодинамические ограничения на константы имеют вид [40]:

(12)

Используя приведенные выше формулы, вычислим масштабные параметры длины и константы рассматриваемого континуума Коссера в представлениях (2-11) для различных материалов, исследованных разными экспериментальными методами. Названия материалов, метод их испытания и ссылки на источник информации приведены в таблице 1. В таблице 2 приведены различные исходные и рассчитанные по (4-11) характеристики (исходное значение d – размер структурного элемента неоднородности) для материалов, представленных в табл. 1.

Анализ масштабных факторов длины , , – для конкретных материалов свидетельствует об их существенной вариации и корреляции с характерным размером структурного элемента d, приведенным в последней строке табл. 2. В таблице 3 приведены вычисленные коэффициенты корреляции величин , , – со средним значением dср.


Таблица 1. Экспериментально исследованные материалы и методы испытаний.


№

Материал

Метод испытаний

Источник

1

Syntactic foam (полые стеклянные сферы в эпоксидной матрице)

Изгиб, кручение стержней круглого сечения

[3, 31, 32]

2

Dense polyuretane foam (пенополиуретан высокой плотности)

Изгиб, кручение стержней круглого сечения

[3, 31, 32]

3

Human bone (человеческая кость)

Кручение квадратной пластинки

[3, 32]

4

Low density foams (foam PC – полистирольный пенопласт низкой плотности)

Кручение стержня квадратного сечения

[3, 32]

5

Эпоксидный композит, наполненный на 60% по объёму алюминиевой дробью

Прохождение волновых возмущений

[28]

6

Graphite H237 (графит)

Изгиб пластинки

[29]

7

WF300 (вспененный полиметакрилимид)

Кручение стержня квадратного сечения

[34]

8

WF300

Изгиб стержня квадратного сечения

[34]

9

WF300

Кручение стержня круглого сечения

[34]

10

WF300

Изгиб стержня круглого сечения

[34]

11

WF110 (вспененный полиметакрилимид)

Кручение стержня круглого сечения

[34]

12

WF110

Изгиб стержня круглого сечения

[34]

13

WF51 (вспененный полиметакрилимид)

Изгиб, кручение стержней

[34]


И.А. Кунин отмечает [1], что в моментная теория упругости «… вводится чисто феноменологически по аналогии с классической теорией упругости, и параметр l не предполагается малым 1). В результате характерными задачами, которые часто решаются в рамках моментных теорий, являются расчеты концентрации напряжений на неоднородностях порядка или даже меньше l. Естественно, значения концентрации могут при этом заметно расходиться со значениями, полученными на основе классической теории упругости, что создает некоторую иллюзию существенного уточнения теории».

Таблица 2. Исходные и расчетные значения констант для материалов табл.1.


Параметр

Материал и метод испытания согласно табл. 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

, МПа

1033

104

4000

0.60







285

282







80




30

, МПа

2758

300

12000







4500




637










216

65



0.34

0.44




0.07




0.06




0.13
















, мм

0.065

0.62

0.22

3.8




1.6

0.8




0.43

0.38

0.51

0.36

0.54

, мм

0.032

0.327

0.45

5.0

0.59

2.8

0.77

0.78




0.48

0.36

0.49

0.55



0.1

0.04

>=0.5

0.09







0.01

0.01

0.04

0.09

0.04

0.16




 

1.5

1.5

1.5































, МПа

2096

763

∞

0.098

7590







99
















, МПа

1033

104

4000

0.60

1890




285

282







80




30

, МПа

115

4.33

>=400

0.059

7.45




2.88

2.85







3.33







, Н

-2.73

-26.6

-12.9































, Н

4.1

40

19.4

5.69







182










20.8




8.46

, Н

0.13

4.5

305

54.3







494










20.6




26.6

+, Н

4.23

44.5

324.4

59.99

2640




676










41.4




35.06

, мм

0.101

1.64

0.64

16.7

16.7




7.7










1.8







, мм

0.11

1.75

0.13































, мм

0.136

2.26

0.64

22.5

22.5




10.8










2.5







, мм

0.045

0.46

0.64

7.7

0.84




1.09

1.10




0.68

0.51

0.69

0.78

, мм













1.4

























, г/см3

0.585

0.34

2.0




2.19




0.38

0.38

0.38

0.38

0.11

0.11

0.06

J, г/см













4.29

























d, мм

0.07÷0.18

0.05÷0.15

0.2




1.4




0.6÷0.7

0.45÷0.55

0.62÷0.72


Таблица 3. Коэффициенты линейной корреляции.


Пара случайных величин

- dср

- dср

- dср

- dср
Заключение


Модель континуума Коссера несомненно обладает более высокой общностью по сравнению с классической моделью сплошной среды, что позволяет получать качественно новые теоретические результаты при решении краевых задач статики и динамики.

Задачи экспериментального обеспечения и идентификации констант однородного континуума Коссера для реальных материалов не доведены уровня стандартных методик из-за различных проблем, затронутых в данной работе.

При корректной (по физическому содержанию) оценке практической значимости учета моментных составляющих в численных решениях краевых задач наряду с термодинамическими ограничениями на константы континуума Коссера (12) необходимо контролировать выполнение геометрического условия по масштабному фактору длины для конкретного материала

,

где – характерный линейный структурный размер материала, который определяется по известной структуре материала или выбирается из характерных масштабных параметров длины (, , –), вычисляемых по известным константам континуума Коссера;

– характерный минимальный линейный размер или минимальная длина волны в рассматриваемом теле.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН «Трибологические и прочностные свойства структурированных материалов и поверхностных слоев» и в рамках Программы поддержки ведущих научных школ (НШ-3717.2008.1).


Литература


И.А. Кунин. Теория упругих сред с микроструктурой: Нелокальная теория упругости. М.: Наука. 1975, 416 с.

В.И. Ерофеев. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1999, 328 с.

R.S. Lakes. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized continua // Continuum models for materials with micro-structure, ed. H. Muhlhaus, J. Wiley, N. Y. Ch. 1. 1995, P. 1-22.

С.А. Лурье, П.А. Белов. Математические модели механики сплошной среды и физических полей. М.: Изд-во ВЦ РАН. 2000, 151 с.

А.М. Кривцов. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физматлит. 2007, 304 с.

Смолин И.Ю. Моделирование деформации и разрушения материалов с явным и неявным учётом их структуры. Дисс... докт. физ.-мат. наук: 01.02.04. Томск. 2008, 310 с.

Вычислительная механика сплошных сред. 2009, т. 2, № 4, 124 с.

Т.Д. Шермергор. Теория упругости неоднородных сред. М.: Наука. 1977, 400 с.

Р. Кристенсен. Введение в механику композитов. М.: Мир. 1984, 334 с.

Б.Е. Победря. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ. 1984, 336 с.

Р.И. Нигматулин. Динамика многофазных сред. Ч. I. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. 1987, 464 с.

Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. 1984, 352 с.

Э. Санчес-Паленсия. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир. 1984, 472 с.

В.М. Левин, В.Н. Николаевский. Осреднение по объему и континуальная теория упругих сред с микроструктурой. Совр. проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение. 1982, с. 182 – 193.

А.Л. Свистков, С.Е. Евлампиева. Использование сглаживающего оператора осреднения для вычисления значений макроскопических параметров в структурно-неоднородных материалах. Прикладная механика и теоретическая физика. 2003, т. 44, № 5, с. 151–161.

П.А. Жилин. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПб: Нестор. 2001, 275 с.

В.А. Еремеев. О локальной группе материальной симметрии в механике микрополярных сред. Матем. моделир. систем и процессов; межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та. 2006, № 14, с. 62-73.

К. Геракович. Кромочные эффекты в слоистых композитах. Прикладная механика композитов. Сб. статей 1986-1988 гг. Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 44. М.: Мир. 1989, с. 295–341.

А.Н. Гузь, Ю.В. Коханенко. Краевые эффекты в композитах. Прикладная механика. 1995. т. 31, № 3, с. 3–23.

В.А. Поляков, Ю.Ю. Перов. Экспериментальные методы оценки кромочного эффекта. Обзор. Механика композитных материалов. 1989, №2, с. 318-331.

R. Brezny, D.J. Green. Characterization of edge effects in cellular materials. J. of Material Science. 1990, v. 25, p. 4571-4578.

В. Новацкий. Теория упругости. М.: Мир. 1975, 872 с.

W. Nowacki. Theory of asymmetric elasticity. Warszawa: Polish Scientific Publishers. 1986, 383 p.

H. Neuber On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua. Proc. 11th Int. Congr. Appl. Mech. Springer. 1965, p. 153–158.

Г.Н. Савин Основные задачи плоской моментной теории упругости. Г.Н.Савин. Механика деформируемых тел. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1979, c. 222-237.

G. Adomeit. Ausbreitung elastischer Wellen und Bestimmung von Materialkonstanten im Cosserat-Kontinuum. Aachen: Techn. Hochschule. 1967, 78 s.

R.D. Gauthier, W.E. Jahsman. A quest for micropolar elastic constants. Part 1. Trans. ASME. Ser. E., J. Appl. Mech. 1975, v. 42, № 2, p. 369-374.

R.D. Gauthier, W.E. Jahsman. A quest for micropolar elastic constants. Part 2. Arch. Mech. 1981, v. 33, № 5, p. 717-737.

P.Y. Tang. Interpretation of bend strength increase of graphite by the couple stress theory. Comp. and Structures. 1983, v. 16, – p. 45-49.

R.S. Lakes. Size effects and micromechanics of a porous solid. J. Mat. Sci. 1983, v. 18, p. 2572-2580.

R.S. Lakes. Experimental microelasticity of two porous solids. Int. J. Solids and Structures. 1986, v. 22, № 1, p. 55-63.

R. Lakes. Cosserat micromechanics of structured media: Experimental methods. Proc. Amer. Soc. for Composites, 3rd Technical Conference, Seatle, Sept. 25-29. 1988, p. 505-516.

C.P. Chen, R. Lakes. Dynamic wave dispersion and loss properties of conventional and negative Poisson’s ratio polymeric cellular materials. Cellular Polymers. 1989, v. 8, p. 343-369.

W.B. Anderson, R.S. Lakes. Size effects due to Cosserat elasticity and surface damage inclosed-cell polymethacrylimide foam. J. Mat. Sci. 1994, v. 29, p. 6413-6419.

R.S. Lakes. Elastic freedom in cellular solids and composite materials // Mathematics of Multiscale Materials / Ed. K. Golden, G. Grimmert, R. James, G. Milton, P. Sen.  IMA V. 99, Springer, NY, Berlin. 1998, p. 129-153.

И.Ю. Смолин. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне. Матем. моделир. систем и процессов: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та. 2006, № 14, c 189-204.

P. Neff, J. Jeong, A. Fischle. Stable identification of linear isotropic Cosserat parameters: bounded stiffness in bending and torsion implies conformal invariance of curvature. Preprint 2574, http://www3.mathematik.tudarmstadt.de/fb/mathe/bibliothek/preprints.html, submitted, 2/2009, 13 p. (дата обращения: 01.06.2009).

Р.Д. Миндлин, Г.Ф. Тирстен. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости. Механика, сб. перев. 1964, № 4, с. 80 – 114.

Р.Д. Миндлин. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений. Механика, сб. перев. 1964, №4 (85), с. 115-128.

А.К. Эринген. Теория микрополярной упругости. Разрушение. Под ред. Г. Либовица. Т. 2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир. 1975, с. 646–751.

S. Nakamura, R.S. Lakes. Finite element analysis of stress concentration around a blunt crack in a Cosserat elastic solid. Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1988, v. 66, № 3, p. 257-266.

И.Н. Шардаков, М.А. Кулеш. Построение и анализ некоторых точных аналитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера. Матем. моделир. систем и процессов; Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та. 2001, № 9, c 187-201.

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости. Известия РАН. МТТ. 2002, № 5, c. 69–82.

M.A.Kulesh, V.P. Matveenko, I.N. Shardakov. Parametric analysis of analytical solutions to one - and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity. Z. Angew. Math. Mech. 2003, v. 83, №4, p. 238-248.

V.V. Korepanov, M.A. Kulesh, V.P. Matveenko, I.N. Shardakov. Analytical and numerical solutions of two-dimensional problems of asymmetric elasticity theory. European Congress on Comput. Meth. in App. Sci. and Eng. ECCOMAS 2004, Jyväskylä, Finland, 24–28 July. 2004, p. 1-19.

В.В. Корепанов, М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков. Аналитические и численные решения статических и динамических задач несимметричной теории упругости. Физ. мезомеханика. 2007, т. 10, № 5, с. 77–90.

В.В. Корепанов, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков. Численное исследование двумерных задач несимметричной теории упругости. Известия РАН. МТТ. 2008, № 2, с. 63–70.

В.В. Гущин, А.И. Потапов, С.Н. Рубцов. Измерение скорости ротационной компоненты импульса, распространяющегося в рыхлом грунте. Труды Нижегородской акустической научной сессии: ННГУ. 2002, с. 366-368.

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера. ПМТФ. 2005, т. 46, № 4, с. 116-124.

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера. Акустический журнал. 2006, т. 52, № 2, с. 227–235.

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера. Известия РАН. МТТ. 2007, № 4, с. 100–113.

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках в рамках континуума Коссера. ПМТФ. 2007, т. 48, № 1, с. 143-150.

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, М.В. Улитин, И.Н. Шардаков. Анализ волнового решения уравнений эластокинетики среды Коссера в случае плоских объёмных волн. ПМТФ. 2008, т. 49, № 2, с. 196-203.

С.К. Дараган, Е.И. Люке, В.Н. Николаевский. Нелинейная сейсмическая волна в зоне дробления массива каменной соли. ДАН. 1996, т. 351, № 3, с. 393-397.

И.А. Гарагаш, В.Н. Николаевский. Механика Коссера для наук о Земле. Вычислительная механика сплошных сред. 2009, т. 2, № 4, с.44-66.

В.М.Садовский, О.В. Садовская, М.П. Варыгина. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах. Вычислительная механика сплошных сред. 2009, т. 2, № 4, с. 111-121.

И.С. Павлов. Гранулированная среда с вращением частиц. Двумерная модель. Пробл. прочн. и пластич. 2003, Вып. 65, с. 53–64.

Б.Е. Победря. Элементы структурной механики деформируемого твердого тела. Матем. моделир. систем и процессов; Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. го