Реферат: Теория размерности общих топологических пространств

ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ОБЩИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

проф. Б.А. Пасынков

1-1½ года, 3-5 курс, аспиранты

Предполагается знакомство с основными фактами классической теории размерности (сепарабельных метризуемых пространств), общей топологии (аксиомы отделимости, бикомпактность и бикомпактификации, паракомпактность и метризуемость), обратными спектрами.

1. Определение (лебеговой) размерности . Функтор Тихонова , редукция случая общих пространств к случаю тихоновских. Случай нормальных пространств.

2. nМерность предела обратного спектра из n-мерных бикомпактов.

3. Факторизационная теорема для отображений в бикомпакты и в сепарабельные метризуемые пространства.

4. Равенство для тихоновского пространства X.

5. Универсальные бикомпакты веса и лебеговой размерности n. Бикомпактификация того же веса и той же размерности , что и тихоновское пространство. Лебегова n-мерность бикомпакта эквивалентна его разложимости в спектр из nмерных метризуемых бикомпактов.

6. Возможность использовать в определении размерности счетные, дискретные и локально конечные покрытия. Случай нормальных пространств и паракомпактов.

7. Разного рода теоремы суммы (в том числе, и для счетной системы замкнутых в нормальном пространстве множеств) для размерности .

8. Теорема Катетова о равномерно нульлмерных отображениях (nмерных) метрических пространств в гильбертов кирпич (на nмерное сепарабельное метризуемое пространство). Факторизационная теорема для отображений в метризуемые пространства.

9. Монотонность размерности по  и zвложенным подмножествам. d-правильные (в частности, dрасположенные) подмножества, монотонность размерности по ним. Случай вполне (в частности, сильно) паракомпактных подпространств.

10. Кусочно прямоугольные и прямоугольные топологические произведения, связь с dправильностью и dрасположенностью, неравенство для таких произведений. Различные случаи (кусочной) прямоугольности произведений.

11. Случай лебеговой nмерности предела обратного спектра и обратной последовательности из лебегово nмерных пространств (в частности, для предела обратной последовательности метризуемых пространств).

12. Формула Гуревича для отображения .

13. Размерности ind и Ind, их свойства (обзор).

14. Соотношения между , Ind и ind (в частности, в случае бикомпактов и метризуемых пространств).

15. Равенство размерностей и Ind для пространств, близких к метризуемым.