Реферат: Математическая модель укладки армирующих волокон в сферической оболочке

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УКЛАДКИ АРМИРУЮЩИХ ВОЛОКОН В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ


Копытов Н.П., Митюшов Е.А.

Екатеринбург, Россия


В данной статье рассмотрена процедура получения математической модели укладки армирующих волокон при создании сферической оболочки, которая обеспечивает ее однородность и трансверсальную изотропию. Процесс укладки волокон при моделировании происходит по окружностям большого радиуса, плоскости которых поворачиваются таким образом, чтобы обеспечивалась их равновероятная ориентация.

Запишем уравнение окружности лежащей в плоскости и c центром в начале системы координат, следующим образом:

, где, а - радиус окружности.

Используя матрицу поворота относительно оси на угол и матрицу поворота относительно оси на угол , получим уравнение окружности:

.


Сферические углы, определяющие пространственное распределение окружностей, в случае равновероятного их распределения имеют следующую совместную плотность распределения:

, где , .

При генерировании случайных чисел и, удовлетворяющих указанному закону, получается модель оптимального армирования сферической оболочки. В данной работе значения и генерировались согласно формулам:

, , где - случайное число с равномерным распределением на интервале .

Расчеты и визуализация выполнены с использованием программного комплекса Mathematica 5.0. На рисунке сверху представлено распределение точек по поверхности сферы, на рисунке снизу – распределение полуокружностей по поверхности полусферы. Оба рисунка получены на основании описанной выше математической модели.

Литература


1. Isotropic distribution in Spherical polar coordinate, http://www.astro.gla.ac.uk/users/mikelb/log/200808/20080807/probspherical.pdf

2. Sphere Point Picking, http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html

3. Моделирование случайной величины с заданным законом распределения, http://stratum.ac.ru/textbooks/modelir/lection24.html