Реферат: Робоча навчальна програма для студентів спеціальності 070100 − фізика Затверджена на засіданні кафедри, протокол №6 від 19. 05. 11

Київський національний університет імені Тараса Шевченка


Радіофізичний факультет


Кафедра математики і теоретичної радіофізики


Укладач професор Юрачківський А.П.


Теорія випадкових процесів


РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА


для студентів спеціальності 6.070100 − фізика


Затверджена на засіданні кафедри, протокол № 6 від 19.05.11


Завідувач кафедри Висоцький В.І.


Декан факультету Анісімов І.О.


КИЇВ – 2011


Робоча навчальна програма з дисципліни

^ Теорія випадкових процесів


Укладач доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.


Лектор доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.


Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 2011


___________________________

^ Підпис голови НМК факультету


Вступ

Теорія випадкових процесів – спеціальний курс для спеціалізації теоретична фізика спеціальності фізика. Читається в сьомому семестрі в обсязі 2 кредити (лекції – 34 год., самостійна робота – 7 год.). Закінчується заліком.


^ Мета і завдання навчальної дисципліни

Навчити студента будувати і досліджувати математичні моделі стохастичних за своєю природою фізичних явищ.

^ Предмет навчальної дисципліни

Випадкові процеси і пов’язані з ними детерміновані диференціальні рівняння.

Вимоги до знань і вмінь

Знання у фундаментальних науках відіграють допоміжну, обслуговуючу роль. Головне – здатність робити власні висновки. Студент повинен: володіти поняттями умовного математичного сподівання, нормального розподілу, гаусового процесу, процесу з незалежними приростами, марковського процесу, стаціонарного (як у вузькому, так і в широкому розумінні) процесу; вміти записувати рівняння (або систему рівнянь) Колмогорова. для перехідних імовірностей (або функцій, що виражаються через них) марковського процесу, знаходити кореляційну функцію і спектральну густину слабко стаціонарного процесу.


^ Місце навчальної дисципліни в структурно-логічній схемі спеціальності

Теорія випадкових процесів відіграє важливу роль у тих розділах фізики, де враховуються стохастичні аспекти фізичних явищ. Апарат цієї теорії використовується в ряді спеціальних курсів.


^ Система оцінювання

Результати навчання оцінюються за модульно-рейтинговою системою. Курс складається з двох змістових модулів (ЗМ). Підсумкова оцінка (ПО) розраховується за накопичувальною системою.



Максимальна кількість балів

ЗМ 1

ЗМ 2

Залік

ПО

За виконання завдань СРС

13

27

60

100



^ ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛІНИ


Змістовий Модуль 1. Додаткові глави теорії імовірностей


№ теми

№ темии
Назва теми кількість годин Лекції
Практичні

Самостійна робота

Контр. модульна робота

1

Підготовчі поняття теорії множин і теорії міри. Означення випадкової функції та випадкового процесу

1




1




2

Загальне поняття умовного сподівання

5




5




3

Багатовимірний нормальний розподіл

2




2




4

Базові поняття і факти теорії випадкових процесів

3




3







Всього

11




11





^ Змістовий Модуль 2. Основні класи випадкових процесів


5

Процеси з незалежними приростами

5




5




6

Марковські процеси

11




11




7

Стаціонарні процеси

7




7



















2




Всього

23




23

2



^ ТЕМАТИЧНО-ЗМІСТОВА ЧАСТИНА КУРСУ


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1


Лекція 1. Означення: вимірного простору, добутку вимірних просторів, випадкового елемента і розподілу його, випадкової функції, випадкового процесу; умовного сподівання відносно дискретної -алгебри.

Лекція 2. Означення і властивості умовного сподівання відносно довільної -алгебри. Умовне сподівання як часткове усереднення. Загальна формула повної імовірності.

Лекція 3. Умовне сподівання відносно випадкової величини. Умовний розподіл однієї компоненти випадкового вектора відносно іншої. Приклади обчислення і застосування умовних сподівань і розподілів.

Лекція 4. Означення одновимірного нормального розподілу через густину і обчислення його характеристичної функції. Означення багатовимірного нормального розподілу через характеристичну функцію і обчислення його густини. Властивості нормального розподілу.

Лекція 5. Означення: системи скінченновимірних розподілів, коваріаційної та кореляційної функцій, стохастичної неперервності і стохастичної еквівалентності. Теорема Колмогорова про узгоджені розподіли.

Лекція 6. Гаусові випадкові функції. Достатні ознаки неперервності випадкових процесів у термінах моментих функцій. Процеси з незалежними приростами (ПНП). Загальний вигляд характеристичної функції стохастично неперервного однорідного ПНП.


Питання, винесені на самостійну роботу


Вимірні простори, міри на добутках просторів [1, гл. II, § 1 − 2], [2, гл. I].

Загальне поняття умовного сподівання [1, гл. II, § 3].

Багатовимірний нормальний розподіл [1, гл. I, § 2], [4, т. 2, гл. III, § 6], [5, ч. 1, § 5].

Побудова випадкового процесу за його скінченновимірними розподілами. Ознаки неперервності з імовірністю 1 [1, гл. II, § 2], [1, гл. IV, § 5], [3, § 5.1, § 5.2].


Контрольні запитання


Означення: вимірного відображення, випадкового елемента. випадкової функції, нормального розподілу. Означення і властивості умовного сподівання відносно σ-алгебри.

Означення: системи скінченновимірних розподілів, стохастичної неперервності, коваріаційної та кореляційної функцій, гаусової випадкової функції. Теореми: про узгоджені розподіли; про достатню умову неперервності випадкового процесу; про задання скінченновимірних розподілів гаусової випадкової функції; про достатню умову неперервності гаусового процесу.


^ ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2


Лекція 7. Однорідний вінерів процес. Загальний вінерів процес.

Лекція 8. Пуассонів процес. Задачі про ПНП.

Лекція 9. Три означення марковського процесу і доведення еквівалентності їх. Перехідна функція марковського процесу. Рівняння Чепмена – Колмогорова.

Лекція 10. Еволюційні та інфінітезимальні оператори. Зворотне і пряме рівняння Колмогорова.

Лекція 11. Ланцюги Маркова з неперервним часом. Розподіл часу перебування в стані, незалежність часу перебування в поточному стані і наступного за ним стану.

Лекція 12. Рівняння Колмогорова для перехідних імовірностей і одновимірних розподілів ланцюга Маркова з неперервним часом.

Лекція 13. Задачі про ланцюги Маркова. Означення дифузійного процесу і обчислення його зворотного і прямого інфінітезимальних операторів. Рівняння Фоккера − Планка.

Лекція 14. Детерміновані динамічні системи як марковські процеси. Картини руху у формах Гамільтона і Ліувіля в статистичній механіці як окремі випадки зворотного і прямого рівнянь Колмогорова. Зв’язок марковських процесів із рівняннями математичної фізики. Формула Фейнмана − Каца. Означення строго стаціонарного випадкового процесу. Формулювання строгої стаціонарності в термінах зберігаючич міру перетворень (ендоморфізмів простору з мірою).

Лекція 15. Теорема Ліувіля про необхідну і достатню умову строгої стаціонарності марковського процесу, еволюція якого задається детермінованим диференціальним рівнянням першого порядку на гладкому многовиді з мірою. Індивідуальна ергодична теорема. Поняття інваріантної функції, інваріантної множини, ергодичної (напів)групи ендоморфізмів і ергодичного процесу. Ергодичність послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин. Посилений закон великих чисел.

Лекція 16. Поняття оператора, спряженого до ендоморфізму. Еквівалентне означення строго стаціонарного процесу в термінах функціонального аналізу. Означення слабко стаціонарного процесу в термінах функціонального аналізу. Імовірнісний еквівалент. Ортогональний розклад неперервного в середньоквадратичному слабко стаціонарного випадкового процесу.

Лекція 17. Поняття спетральної функції розподілу і спектральної густини. Теорема Хінчина про кореляційну функцію неперервного в середньоквадратичному слабко стаціонарного випадкового процесу. Задачі про стаціонарні процеси.


^ Питання, винесені на самостійну роботу


Теорема Леві − Хінчина про будову стохастично неперервного процесу з незалежними приростами [1, гл. VI, § 5].

Закон повторного логарифма для вінерового процесу [1, гл. VI, § 5], [2, гл. III, § 11].

Стрибкові марковські процеси [1, гл. VII, § 2].

Кінетичне рівняння [7, гл. 5].

Гіллясті процеси [1, гл. VII, § 5], [5, ч. 2, § 4].

Прогноз і фільтрація стаціонарних випадкових процесів [1, гл. V, § 6], [2, гл. VII, § 15−16].


Контрольні запитання


Означення: процесу з незалежними приростами, однорідного процесу з незалежними приростами, кумулянти, вінерового і пуассонового процесів.

Теореми: про загальний вигляд характеристичної функції стохастично неперервного однорідного процесу з незалежними приростами, про розподіл загального вінерового процесу.

Означення: марковського процесу, однорідного марковського процесу, перехідної функції, еволюційних операторів, інфінітезимальних операторів, ланцюга Маркова, дифузійного процесу.

Рівняння Чепмена – Колмогорова. Рівняння Колмогорова для ланцюга Маркова і дифузійного процесу. Формула Фейнмана − Каца.

Означення: строго стаціонарного процесу, інваріантної функції, ергодичності, слабко стаціонарного процесу, спектральної функції, спектральної густини.

Індивідуальна ергодична теорема. Ортогональний розклад слабко стаціонарного процесу.


^ ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ НА ЗАЛІК

Означення і властивості умовного сподівання відносно σ-алгебри. Означення: вимірного відображення, випадкового елемента. випадкової функції.


Означення: системи скінченновимірних розподілів, перенесення міри, стохастичної неперервності, коваріаційної та кореляційної функцій, гаусової випадкової функції. Два основні функціональні простори. Теореми: Колмогорова про достатню умову неперервності випадкового процесу; про задання скінченновимірних розподілів гаусової випадкової функції; про достатню умову неперервності гаусового процесу.


Означення: процесу з незалежними приростами, однорідного процесу з незалежними приростами, кумулянти, однорідного вінерового процесу, загального вінерового процесу, пуассонового процесу (однорідного простого, неоднорідного простого і складеного).

Теореми: про загальний вигляд характеристичної функції стохастично неперервного однорідного процесу з незалежними приростами, про розподіл загального вінерового процесу.


Означення: марковського процесу, однорідного марковського процесу, перехідної функції, еволюційних операторів, інфінітезимальних операторів, ланцюга Маркова, однорідного ланцюга Маркова, дифузійного процесу.

Еквівалентні форми марковської властивості. Рівняння Чепмена – Колмогорова для загального і однорідного марковського процесу. Рівняння Колмогорова: в абстрактній формі, для ланцюга Маркова, для дифузійного процесу (пряме – рівняння Фоккера–Планка), зокрема для гладкої динамічної системи. Формула Фейнмана −Каца.


Означення: строго стаціонарного процесу, ендоморфізму, автоморфізму, (строго) інваріантних функцій і множин, ергодичності, спряженого оператора, слабко стаціонарного процесу, неперервності в середньому квадратичному, спектральної функції, спектральної густини.

Теореми: про зв’язок строго стаціонарних процесів з напівгрупами ендоморфізмів, Біркгофа–Хінчина, Крамера–Лоева, Хінчина.


ЛIТЕРАТУРА


Гихман И. И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. − 1977.

Булинский А.В. Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. − 2003.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. − 1975.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. − 1984.

Розанов Ю. А. Случайные процессы. Краткий курс. − 1979.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естествознании. − 1987.

Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. − 1990.