Реферат: Интегральное исчисление неопределённый интеграл § Первообразная функция и неопределённый интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ


§ Первообразная функция и неопределённый интеграл


Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если F /(x) = f(x)  x  X.




Лемма

Функция, производная которой на некотором промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.




^ Теорема

(о множестве первообразных)

Если F(x) − одна из первообразных для f(x) на промежутке X, то любая другая первообразная Ф(x) для функции f(x) на промежутке X имеет вид: Ф(x) = F(x) + C, где C − некоторая постоянная.




^ Определение неопределённого интеграла

. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке X и обозначается .

В силу теоремы о множестве первообразных = F(x) + С, где F(x) − одна из первообразных для f(x), C − произвольная постоянная.

Замечание. Иногда символом обозначается не вся совокупность первообразных, а какая-либо одна из них.

^ Теорема (существования первообразной)

Всякая непрерывная на промежутке X функция имеет первообразную на этом промежутке.




Примеры «неберущихся» интегралов











§ Основные свойства неопределённого интеграла


Свойство 1

(о дифференциале интеграла)

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: .

Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: .

Свойство 2 (об интеграле от дифференциала)

Неопределённыё интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянного слагаемого: .

^ Вывод из свойств 1 и 2: знаки интеграла и дифференциала взаимно уничтожаются.



Свойство 3 (линейности)


Если существуют первообразные функций f(x) и g(x), а  и  − любые вещественные числа, то существует первообразная функции f(x) + g(x), причем .


§ Метод замены переменных (подстановки) в неопределённом интеграле


Теорема

(о замене переменных)

Пусть функция x = (t) определена и дифференцируема на промежутке T, а промежуток X − множество её значений. Пусть функция f(x) определена на X и имеет на этом промежутке первообразную F(x).

Тогда на промежутке T функция F((t)) является первообразной для функции f((t)) /(t).

То есть




^ Следствие (алгоритм замены переменных в неопределённом интеграле)

;

.

Замечание. Частным случаем замены переменной является приём подведения некоторой функции под знак дифференциала, когда замена переменной делается устно.


§ Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле


^ Теорема

(об интегрировании по частям в неопределённом интеграле)

Пусть на промежутке X функции u(x) и v(x) дифференцируемы и функция v(x)u'(x) имеет первообразную на X.

Тогда u(x)v'(x) также имеет первообразную на X , и справедлива формула интегрирования по частям: ,

или



Выберите методы, которыми можно найти следующие интегралы:


1.




2.



3.



4.



5.



6.



7.



8.



9.



10.



11.



12.




§ Интегрирование дробных рациональных функций

А. Правильные и неправильные рациональные дроби

^ Определение рациональной дроби

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:






Определение правильной и неправильной рациональной дроби

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ().

Рациональная дробь называется неправильной, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ().




Теорема

Интегрирование неправильной рациональной дроби можно свести к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.



^ Б. Основная теорема алгебры

Теорема (основная алгебры)

Любой многочлен степени имеет ровно корней и может быть представлен в виде произведения сомножителей.




Теорема

(о разложении многочлена на множители)

Любой многочлен степени можно разложить на линейные и квадратичные множители: в соответствии с его вещественными () и комплексными сопряжёнными корнями с учётом кратности его вещественных и комплексных корней,

причём +.


^ В. Разложение правильной дроби на сумму простых дробей

Теорема (о сумме простых дробей)

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простых дробей с неопределёнными коэффициентами единственным образом, руководствуясь следующим правилом:




Вид множителя в знаменателе дроби

Сколько

дробей


Сумма простых дробей, соответствующая множителю в знаменателе правильной рациональной дроби


(x-a)k



k



(x2+px+q)w


w





^ Г. Методы нахождения неопределённых коэффициентов

Метод задания частных значений

1. Сумму простых дробей приводят к общему знаменателю.

2. Приравнивают числители данной дроби и дроби с неопределёнными коэффициентами.

3. В полученное уравнение подставляют вещественные корни знаменателя или другие любые значения.




Метод неопределённых коэффициентов

Сумму простых дробей приводят к общему знаменателю.

Приравнивают числители данной дроби и дроби с неопределёнными коэффициентами.

Из полученного уравнения получают систему линейных уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента х в правой и левой частях уравнения.




Метод комбинированный

1. Сумму простых дробей приводят к общему знаменателю.

2. Приравнивают числители данной дроби и дроби с неопределёнными коэффициентами.

3. В полученное уравнение последовательно подставляют все вещественные корни знаменателя, остальные коэффициенты находят методом неопределённых коэффициентов.


^ Д. Интегрирование простых дробей

а) дроби первого типа

б) дроби второго типа

в) дроби третьего типа

г) дроби четвертого типа

– рекуррентная формула.


Пример 1. Найти .

Пример 2 . Найти .

Пример 3. .


§ Интегрирование некоторых тригонометрических функций


^ Определение рациональной функции двух переменных

Рациональной функцией двух переменных называется функция, полученная путём применения к аргументам конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.


Примеры.

1. . 2. . 3. . 4. .


§ Интегрирование некоторых иррациональных функций


^ Определение иррациональной функции

Функция называется алгебраической иррациональной, если она получена путём применения к аргументу х конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в рациональную степень.


Примеры: 1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

При нахождении первообразной функции можно пользоваться следующим алгоритмом:

Попытаться применить непосредственное интегрирование и подведение функции под знак дифференциала;

Если это не приводит к успеху, определить класс подынтегральной функции (дробная рациональная, тригонометрическая, иррациональная функция) и применить соответствующие подстановки,

а если функция смешанных классов – интегрирование по частям.