Реферат: Анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды доц. А. В. Аксенов 1 год

ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

доц. А.В. Аксенов

1 год

Спецкурс состоит из двух частей, которые можно сдавать как полугодовые спецкурсы:

часть I. Введение в групповой анализ дифференциальных уравнений.

часть II. Современный групповой анализ.

Часть I.

1. Однопараметрические непрерывные группы преобразований. Определение и примеры. Уравнения Ли. Инварианты группы. Инфинитезимальный оператор. Инвариантные многообразия. Группы преобразований и -теорема.

2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Группы точечных преобразований. Формулы продолжения. Определяющие уравнения. Алгебра Ли операторов.

3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. Метод интегрирующего множителя. Метод дифференциальных инвариантов.

4. Групповой анализ уравнений математической физики. Инвариантно-групповые решения. Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения. Групповой критерий возможности линеаризации нелинейных уравнений.

5. Групповая классификация дифференциальных уравнений.

6. Классификация инвариантных решений дифференциальных уравнений.

Часть II.

7. Нахождение фундаментальных решений уравнений математической физики с помощью симметрий.

8. Нелинейный принцип суперпозиции. Теорема Гульдберга-Вессио-Ли.

9. Группы касательных преобразований. Контактные преобразования Ли. Инфинитезимальные контактные преобразования.

10. Группы Ли-Беклунда. Основные представления. Полная группа Ли-Беклунда для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

11. Условные симметрии дифференциальных уравнений.

12. Нелокальные симметрии. Потенциальные симметрии.

13. Симметрии и законы сохранения. Вариационные симметрии. Теорема Э. Нетер. Симметрии и первые интегралы.

14. Приближенные непрерывные группы преобразований. Приближенные инвариантные решения.