Реферат: Переходные процессы в линейных електрических цепях исходные положения

 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЕЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Исходные положения:

Переходный процесс –процесс перехода цепи от одного установившегося состояния (режима) к другому.

Коммутация – любое изменение в цепи, приводящее к возникновению переходного процесса (т. е. переходу в новое установившееся состояние). Примеры: включение (отключение) цепи, сброс (наброс) нагрузки, возникновение аварийной ситуации и др.

Схемное обозначение коммутации – замыкание или размыкание рубильника. Допущение – коммутация происходит мгновенно (искрения или дуги на контактах нет). По умолчанию момент коммутации является началом отсчета времени.

^ Математическая модель цепи в переходном режиме – система уравнений цепи, составленная по законам Кирхгофа для мгновенных значений величин, т.е. система линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для которой известны (или могут быть определены) начальные условия (в такой постановке это называется задача Коши).


Примечание 1. Обычно системы выше 2–го порядка описываются системой уравнений для ограниченного числа величин (переменных состояния), число которых равно порядку системы (числу корней характеристического уравнения). Как правило, в качестве переменных состояния принимают функции, не имеющие разрывов (в ТОЭ это токи индуктивностей и напряжения на емкостях).


Решением системы интегро-дифференциальных уравнений является вектор-функция (токи цепи, напряжения на ее участках), удовлетворяющая этой системе уравнений и содержащая установившуюся и свободную составляющие:

i(t) = iуст(t) + iсв(t). (1)

Установившаяся составляющая искомых величин находится путем решения системы уравнений цепи для установившегося режима. При этом могут быть использованы все известные методы расчета (МЗК, МУП, МКТ и др.) в режиме постоянного тока или в символической форме (синусоидальный режим).

^ Свободная составляющая искомых величин находится путем решения системы однородных уравнений (рi – корень характеристического уравнения; к – индекс ветви или тока). В зависимости от порядка системы общее решение для к - той переменной следует искать в виде:

для системы первого порядка: ;

для системы второго порядка: ;

для системы n-го порядка: .

Постоянные интегрирования (Ак) определяются из начальных условий, которые, в свою очередь, определяются на основании законов коммутации.


^ Законы (правила) коммутации:

потокосцепление и ток индуктивности (а также количество накопленной энергии магнитного поля) за время коммутации не изменяются:

iL (0–) = iL (0+) (2)

электрический заряд и напряжение на емкости (и количество накопленной энергии электрического поля) за время коммутации не изменяются:

uC(0–) = uC(0+) (3)


^ 2. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ




№ п/п

Выполняемая операция

Пути реализации

Пример 1

Пример 2

1
i(0)=0

uc(0)=0

uc(0)=U0


Определение независимых начальных условий:

iL (0–); uC(0–).

Исследуется установившийся режим цепи до коммутации





2

Составление математической модели цепи для переходного режима. (1).

По законам Кирхгофа составляется система уравнений цепи для мгновенных значений величин.

L∙i'+r∙i+∫i∙dt=U0;

^ L∙i'+r∙i+ uC=U0; (4)

C∙u'C ­– i = 0.

r1∙i1 + r2∙i2 = U0;

–r2∙i2 + 1/C∙∫i3∙dt = 0; (5)

i1 – i2 – i3 = 0.

3

Определение нового устано­вившегося режима:

i1уст , i2уст …; u1уст, u2уст… .

Система (1) рассматривается и решается применительно к новому установив­шемуся режиму.

iуст = 0; uCуст = U0.

r1∙i1уст + r2∙i2уст = U0;

i3уст = 0;

uCуст = r2∙i2уст

4

Составл. хар-го уравнения, определение его корней р1 ; р2…, запись общего решения:



Составляется матрица {D} коэффициентов системы (1), ее определитель приравнивается нулю |D| = 0.

Относительно точек разрыва любой ветви составл. вх-е сопр-е в символич. или операторн. форме. Z(p) = 0.

1)

2) Lp + r∙+ 1/pC = 0

i = A1∙ep1∙∙t+ A2∙ ep2∙∙t

uC=uCуст+B1∙ep1∙∙t+В2∙ep2∙∙t



2) 1/pC+r1∙r2/( r1+r2)=0

p = – (r1+r2)/C∙r1∙r2

5

Определение начальных условий для искомых функций: i1(0), i2(0)…; i'1(0), i'2(0)… .

Система (1) рассматривается при t = 0 с учетом независимых начальных условий п.1.

L∙i'(0)+r∙i(0)+uC(0)=U0;

C∙u'C (0) –­ i(0) = 0.

i'(0)= U0/L; u'C(0) = 0

r1∙i1(0)+r2∙i2(0)+uC(0)=U0;

– r2∙i2 (0)+ uC(0) = 0;

i(0) – i2(0) – i3(0)= 0.

6

Определение постоянных интегрирования, запись ответов, построение графиков, анализ результатов.

A1∙+A2∙ = i(0) – iуст(0)

p1∙A1∙+ p2∙A2∙= i'(0) – i'уст(0)
^ Ak = ik(0) – ikуст(0).

Примечание 2. Если в качестве переменных состояния принять ток индуктивности и напряжение на емкости , то математическая модель для первого примера (два накопителя энергии,) представляется двумя уравнениями, получаемыми из системы (4):

^ L∙i'+r∙i + uC = U0; (6)

i – C∙u'C = 0. (7)

Схема второго примера, имеющая один накопитель энергии, описывается одним уравнением, получаемым из системы (5) путем исключения из нее трех токов:


u'C C∙(r1∙ r2)/(r1 + r2) + uC = U0∙r2/(r1 + r2). (8)


 3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ


^ Сущность операторного метода заключается в том, что функции времени (ЕДС, токи, напряжения) заменяются их изображениями по Лапласу, решается задача относительно изображений искомых величин с последующим переходом к их оригиналам путем использования таблиц, формул разложения или обратного преобразования Лапласа.

^ Основные свойства преобразования Лапласа:

№ п/п

Наименование

Оригинал f(t)

Изображение F(p)

1

Свойство линейности





2

Теорема дифференцирования





3

Теорема интегрирования





4

Предельные соотношения



5

Интеграл Дюамеля





6

Теорема свертывания






Операторную схему замещения из “обычной“ можно получить так ––––


Обратим внимание на такую “деталь“: независимые начальные условия необходимы при любом методе.



 4. ПЕРЕХОДНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

“^ Типовые“ воздействия и реакция на них:

Переходная характеристика – реакция цепи на единичный скачек 1(t) (функция Хевисайда).

Импульсная переходная характеристика (весовая функция) – реакция цепи на единичный импульс δ(t) (функция Дирака или дельта–функция).

№ п/п

Воздействие

Реакция

Оригинал

Изобр..

Оригинал
Изображение
1

Единичный скачек

(ф-ция Хевисайда):

1(t)


1/р
^ Переходная х-ка
h(t)



W(р)/р
2

Единичный импульс

(функция Дирака):

δ(t) = [1(t)]'


1

К(t) = [h(t)]'

Импульсная характеристика (весовая функция).

W(р)

Передаточная функция, АФЧХ, комплексный коэффициент усиления.



^ Примеры переходных и импульсных характеристик (цепь r–L).

Цепь

Напряжение на активном сопротивлении

Напряжение на индуктивности

Функции

Амплитудно-фазовая частотная х-ка (АФЧХ)1





Передаточная функция





Импульсная х-ка

(весовая функция)





Изображение переходной х-ки





Переходная х-ка







4.3 Способы получения переходных и импульсных характеристик (на примере тока цепи r–L).

Операция
^ Пример (ток цепи r–L)
Примеч.

Первый способ: использование АФЧХ

Составить выражение для тока в символической форме



Получаем АФЧХ

Перейти к изображению импульсной характеристики (jω→p)



Получаем перед. ф-ю.

Передат. ф-ю делим на р (получаем изображ. переходной х-ки)



τ = L/r

Переходим к оригиналу мпульсной х-ки (весовой функции)






Переходим к оригиналу переходной характеристики






Переходная х-ка






Второй способ: расчет перех. процесса – вкл. на пост. напряж. U0

Определяем переходную характеристику






Определяем импульсную характеристику



Дифференцируем переходную характеристику2



Решение (переменные состояния – i1, i2, uс):

Опишем цепь системой уравнений по законам Кирхгофа:

;

(6)



Пример 1. Для цепи, схема которой приведена на рисунке, получить систему уравнений для переменных состояния, причем, их представить в форме Коши (т. е. готовыми к “машинному“ решению).




2. Систему (6) решаем относительно производных переменных состояния:3








Примечание 1. Любой физический объект, математической моделью которого является система интегро-дифференциальных уравнений, часто называют динамической системой (ДС). Электрическая цепь, содержащая хотя бы один накопитель энергии, отвечает этому определению. Иногда динамической системой называют саму математическую модель.


Примечание 2. Можно доказать, что любая ДС полностью определена, если для любого момента времени определены (известны) значения нескольких ее переменных, количество которых равно порядку ДС (т. е. числу корней характеристического уравнения). Эти переменные называют переменные состояния.


Примечание 3. Метод математического описания ДС при помощи переменных состояния с представлением системы уравнений в форме Коши часто называют методом переменных состояния. В качестве переменных состояния рекомендуется выбирать величины, являющиеся непрерывными функциями времени (в электротехнике это токи индуктивностей и напряжения на емкостях).


Примечание 4. ^ Метод переменных состояния следует рассматривать, как частный случай классического метода с математическим описанием, удобным для применения численных методов. Его удобно использовать для анализа систем выше второго порядка, а также для нелинейных систем.


Примечание 5. В практике исследования динамических систем кратные корни характеристического уравнения не встречаются.


Таким образом, исследование линейной цепи в динамике может быть выполнено:

Классическим методом ( в частном случае методом переменных состояния).

Операторным методом.

При помощи интеграла Дюамеля (при этом необходима переходная характеристика по исследуемой величине, полученная аналитически или экспериментально).

При помощи теоремы свертывания (при этом необходима импульсная характеристика по исследуемой величине, полученная аналитически или экспериментально).

Исследование нелинейной цепи в динамике (в переходном режиме) из перечисленных методов может быть выполнено только методом переменных состояния.


Пример 2. На входе последовательной цепи r – L (r = 1 Ом, L = 0,001 Гн) действует одиночный прямоугольный импульс, площадь которого (вольт-секундная площадь) равна 1 В·с и не зависит от длительности импульса t0 и его высоты U0/t0, причем, U0 = 1 В·с. Определить напряжение на активном сопротивлении (или, что то же самое, ток) ur(t, t0) и напряжение на индуктивности uL(t, t0) от времени и длительности импульса. Построить графики напряжений ur(t) при различных значениях t0.


Примечание. Свойства импульса входного напряжения таковы, что при t0 → 0 он превращается в функцию Дирака (δ-функцию). Данный пример, кроме всего прочего, имеет целью изучение реакции цепи r – L на возмущение типа единичный импульс или δ-функция.


Решение:


Задачи повышенной сложности (второго и более высокого порядка, трехфазные, с индуктивной связью, “нестандартные”) решаются, как правило, относительно переменных состояния. В данном примере в качестве переменной состояния удобно принять ток или напряжением на активном сопротивлении.

Ввод исходных данных:




Формирование входного напряжения, как функции времени и длительности импульса:

. (7)


Формирование вспомогательной функции – напряжения на активном сопротивлении при действии входного импульса (в интервале 0 ≤ t ≤ t0):



Формирование напряжения на активном сопротивлении, как функции времени и длительности импульса:


. (8)


Построение графиков функции ur(t, t0).




Определение функции uL(t, t0) и вывод ее значений:


, (9)




Комментарии к графикам функции ur(t, t0) и значениям функции :uL(t, t0):

Хотя, как следует из (7), высота входного импульса с уменьшением его длительности растет вплоть до бесконечности, графики показывают, что рост напряжения на активном сопротивлении ограничен и имеет предел, который в нашем примере составляет около 1000 В (точное значение можно определить аналитически, анализируя функцию (7) при условии t0 → 0. Действительно (при вычислении предела применяется правило Лопиталя).

Напряжение на индуктивности :uL(t, t0) с формальной точки зрения может “прыгать“ в бесконечность, благодаря чему при достаточно малом t0 обеспечивается почти мгновенное возрастание ее тока (и напряжения на активном сопротивлении). При этом создается впечатление нарушения первого закона коммутации. Как следует из (9) первый бросок :uL обратно пропорционален длительности импульса.

Естественно возникает вопрос, каков физический смысл и каков механический аналог δ-функции. Предлагаем студентам обдумать этот вопрос.





Пример. Трехфазное короткое замыкание


Исходные данные (единицы измерения В, Ом, А, с, рад. или 1/с):





Подготовительные расчеты:



Расчет токов в режиме до коммутации, определение независимых начальных условий:






Расчет токов нового установившегося режима:






Расчет постоянной времени:

Примечание: Вследствие симметрии данная сеть является системой первого порядка

Расчет постоянных интегрирования:







1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) – это отношение комплексов выходной величины (четырехполюсника) ко входной. Ее также иногда называют передаточной функцией.

2 Если переходная х-ка имеет скачек, то результатом дифференцирования в этой точке является δ-функция.

3 Для сложных, “запутанных“ схем можно использовать символьные операции Mathcad.