Реферат: Arch процессы. Определение, модели, приложения

ГЛАВА 1. ARCH ПРОЦЕССЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, МОДЕЛИ, ПРИЛОЖЕНИЯ. 1.1 ОСНОВНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ.
Если задано распределение вероятностей , условное по предопределенным к моменту t величинам , составляющим информационное множество , то одношаговым прогнозом значения на основе этой информации является условное математическое ожидание , ошибкой прогноза – условная дисперсия . Оба этих выражения в принципе допускают зависимость от . Если же условная дисперсия в действительности постоянна и не зависит от истории процесса, то такой процесс обладает свойством условной гомоскедастичности.

Рассмотрим в качестве примера авторегрессию



где  - белый шум с дисперсией . Условное среднее равно , тогда как условная дисперсия равна и не зависит от истории процесса, который является поэтому условно гомоскедастичным. Являются таковыми и все процессы авторегрессии – скользящего среднего.

Известно, что вариабельность экономических переменных широко изменяется во времени, соответственно, изменяется и точность эконометрических прогнозов. Гипотеза гомоскедастичности остатков, как правило, не выдерживает тестирования. Ниже изучаются процессы, обладающие свойством условной гетероскедастичности, т.е. такие, условная дисперсия которых нетривиально зависит от истории процесса и более точно характеризует степень присущей прогнозам неопределенности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть – скалярный стохастический процесс, – набор переменных, которым обусловлены математические ожидания:

,

где - экзогенные переменные. Процесс  является авторегрессионно условно гетероскедастичным (Autoregressive Conditionally Heteroskedastic, ARCH), если

(1.1.а)

(1.1.б)

и нетривиально зависит от ; аргумент функции далее будем опускать. Данное определение будет уточнено в последующих параграфах.

Лишь немногие экономические переменные имеют постоянное условное среднее, равное нулю. Как правило, процесс соответствует возмущениям менее ограничительной модели какой-либо переменной :

(1.2) .

В этом случае условные дисперсии и совпадают.

Стандартизованный процесс

(1.3)

имеет неизменные во времени нулевое условное среднее и единичную условную дисперсию.

Приведенное определение охватывает чрезвычайно широкий класс процессов. Ниже рассматриваются некоторые возможные параметризации условной дисперсии.

Пусть, например, ,   0. Тогда при   1 безусловная дисперсия равна нулю, при   1 бесконечна. Такие свойства безусловного распределения делают данную параметризацию непривлекательной, однако некоторые обобщения позволяют избежать подобных проблем.

GARCH

В формулировке, предложенной Энглом (Engle, 1982), условная дисперсия описывается линейной функцией квадратов предшествующих реализаций ряда:

(1.4) .

Для того, чтобы эта величина оставалась положительной с вероятностью единица, требуется .

Высокие по абсолютному значению реализации процесса в непосредственном прошлом влекут увеличение условной дисперсии в данный момент, и, следовательно, условной вероятности появления вновь высокой по модулю реализации  . Напротив, относительно небольшие значения приводят к снижению этой вероятности. Таким образом, можно ожидать, что вслед за большими (по абсолютному значению) наблюдениями вновь последуют большие наблюдения, за малыми - малые. Выбросы имеют тенденцию следовать один за другим, формируя периоды экстремально высокой волатильности. История процесса, однако, не позволяет прогнозировать знак , поскольку ряд серийно не коррелирует. Серийная некоррелированность следует из требования (1.1.а), традиционно предъявляемого к возмущениям в эконометрической модели.

На графике ARCH процесса могут быть обнаружены периоды спокойного движения переменной, характеризующиеся относительно низкой дисперсией, и турбулентные периоды, в течение которых дисперсия высока. В западной литературе такое поведение временного ряда получило название clustering volatility: образование “пучков”, концентрация волатильности. Термин “волатильность” (volatility - изменчивость, непостоянство, англ.) используется, как правило, для неформального обозначения степени вариабельности, разброса переменной. Формальной мерой волатильности служит дисперсия (или стандартное отклонение). Эффект clustering volatility отмечен для многих высокочастотных рядов, таких как изменение цен акций, валютных курсов, доходности спекулятивных активов. Наиболее цитируемым в данной связи является наблюдение Манделброта (Mandelbrot, 1963):

“...большие изменения имеют тенденцию следовать за большими изменениями - любого знака, - и малые изменения имеют тенденцию следовать за малыми, ...”.

На рисунке 1 изображены темпы приростов фондового индекса РТС. Имеются три ярко выраженных и продолжительных всплеска волатильности, которые чередуются с периодами относительно предсказуемого развития переменной; в целом РТС демонстрирует поведение, характерное для ARCH процесса.

Память ARCH(q) процесса ограничена q периодами. При использовании модели часто требуется длинный лаг q и большое число параметров  . Обобщенный ARCH процесс (Generalized ARCH, GARCH), предложенный Т. Боллерслевом (Bollerslev, 1986), имеет бесконечную память и допускает более экономную параметризацию:

(1.5) .

ARCH процесс, очевидно, является частным случаем (1.5). Помимо (1.5), часто используются следующие представления процесса:

При помощи оператора сдвига L и многочленов

:

(1.6) .

В виде процесса авторегрессии – скользящего среднего. Перегруппировав члены (1.6), приходим к уравнениям

 

(1.7) ,

,

которые говорят о том, что квадраты ошибок подчиняются ARMA модели с полиномом авторегрессии   x   (x) степени p q, полиномом скользящего среднего - (x) степени p и серийно некоррелированными инновациями . Для ARCH процесса (при p=0) представление (1.7) сводится к авторегрессии порядка q:

.

 

В виде распределенного лага значений

.

(1.8) .

Такое представление допустимо, если все корни 1- (x) лежат вне единичного круга и не совпадают с корнями  (x). Полином бесконечной степени, участвующий в (1.8), соответствует разложению в ряд Тейлора  (x)/(1- (x)). GARCH процесс является корректно определенным, лишь если все коэффициенты  данного разложения неотрицательны, что для GARCH(1,1) равносильно условию .

^ EGARCH

Простая структура GARCH модели существенно ограничивает динамику временного ряда. Как правило, указывается на три недостатка моделей данного типа.

I. Отмечено, что отдача вложений в акции имеет отрицательную корреляцию с изменениями волатильности. Благодаря предложенному экономическому объяснению феномен получил название “левередж-эффекта” (leverage effect). Снижение рыночной стоимости акционерного капитала увеличивает отношение заемных средств к собственным и, следовательно, повышает рискованность вложений в фирму. Последнее проявляется увеличением волатильности. В результате, будущие значения волатильности отрицательно коррелируют с текущей отдачей. Nelson (1991) описывает феномен таким образом:

‘‘Отрицательные инновации, или “плохие новости” – ситуация, в которой фактическая отдача ниже ожидаемой – приводят к увеличению волатильности. Напротив, положительные инновации (“хорошие новости” – фактическая отдача выше ожидаемой) влекут снижение волатильности.’’

Речь идет, таким образом, об отрицательной корреляции между и . Корреляция между этими величинами, однако, игнорируется GARCH моделью. Действительно, есть функция собственных лагов и значений и поэтому инвариантна к изменениям алгебраического знака : лишь абсолютные значения, но не отрицательность или положительность ошибок определяют условную дисперсию. Если распределение  симметрично, то будущее значение условной дисперсии не коррелирует с текущей ошибкой прогноза.

II. Применительно к процессам типа GARCH различные определения стационарности не согласованы. Строго стационарный GARCH процесс не всегда слабо стационарен. Различие между строгой и слабой стационарностью несущественно для линейных моделей: традиционно проверяемый набор условий является необходимым и достаточным как для ковариантной, так и строгой стационарности. Некоторые утверждения, устанавливающие ту или иную форму стационарности GARCH и EGARCH процессов, обсуждаются далее в параграфе 3.

III. Наконец, ограничения области допустимых значений параметров  и  создают трудности при оценивании ^ GARCH модели.

В экспоненциальной модели (exponential GARCH, EGARCH), предложенной Д.Нельсоном (Nelson, 1991), логарифм условной дисперсии определяется с помощью некоторой функции g( ) стандартизованных ошибок:

(1.9)

Описанные выше эффекты учтены через данную функцию, которая зависит как от абсолютной величины, так и знака z:

(1.10) .

Процесс имеет нулевое условное математическое ожидание, поэтому логарифм условной дисперсии является процессом линейной фильтрации. Соотношением (1.9) представлен как скользящее среднее бесконечной степени, однако для практических целей применяется ARMA(p,q) репрезентация:

(1.11) .

Запись (1.11) корректна, если полиномы 1+ (x) и 1- (x) не имеют общих корней. Никаких ограничений на параметры, связанных с требованием неотрицательности условной дисперсии, в (1.9)-(1.11) не налагается.

Оба слагаемых имеют нулевое среднее; если распределение z симметрично, они ортогональны. В интервале g(z) линейна по z с коэффициентом наклона    ; в интервале g(z) линейна по z с коэффициентом наклона  -  . Таким образом, условная дисперсия реагирует асимметрично на неожиданные падения и подъемы рынка.

Член представляет “эффект абсолютного значения” в духе GARCH моделей. Предположим, . Тогда инновация логарифма условной дисперсии g(z) положительна (отрицательна), если абсолютное значение z больше (меньше) ожидаемого. Член  z ответственен за “эффект алгебраического знака”. Предположим, . Инновация условной дисперсии положительна (отрицательна), если ошибка прогноза доходности отрицательна (положительна).

Если распределение z симметрично, то равно нулю и

.

Левередж-эффект имеет место, если   0. Гипотеза об отрицательной ковариации между и находит эмпирическое подтверждение в работах Nelson (1991) и Bollerslev, Engle и Nelson (1993), отдельные результаты которых более подробно обсуждаются в следующих разделах.

^ ДРУГИЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ.

Одним из представлений условной дисперсии GARCH процесса служит распределенный лаг квадратов остатков. Бесчисленные модификации базовой модели были получены применением различных функциональных форм для h( ) в рамках более общего представления:

.

Так, Higgins и Bera (1992) определяют класс нелинейных ARCH процессов (Non-linear ARCH), для которых .

Если , то условная дисперсия асимметрично реагирует на ошибки разных знаков; в частности, при  >0 возникает левередж-эффект, однако в отличие от EGARCH спецификации, инновации всегда неотрицательны. Возможная модификация, соответствующая n=2: . Другая параметризация, допускающая эффекты асимметрии:

(1.12) ,

где I( ) обозначает индикаторную функцию. Такая параметризация допускает неодинаковую чувствительность условной дисперсии к ошибкам разных знаков, однако утверждает, что минимум волатильности достигается при отсутствии ошибок.

Bollerslev, Engle и Nelson (1993) отмечают два недостатка параметризации ^ EGARCH (1.9)-(1.10). I. Условные по вариация и ковариация и постоянны. Желательно, чтобы оба момента могли изменяться в зависимости от . II. Условная дисперсия излишне чувствительна к выбросам. Авторы предлагают модификацию базовой модели



Параметры и отвечают первому требованию, , и  регулируют уровень чувствительности условной дисперсии к инновациям в зависимости от их абсолютного значения. Положительные и приписывают хвостовым реализации относительно небольшой вес.

ARCH-M

Зависимость между ожидаемой отдачей и риском - центральный аспект финансовой теории. Традиционная модель ценообразования для капитальных активов (Capital Asset Pricing Model) и ее динамическая модификация Р. Мертона, арбитражная теория ценообразования С. Росса указывают на пропорциональную зависимость между ожидаемой избыточной отдачей рыночного портфеля и его условной дисперсией. ARCH-M, или ARCH in Mean модель является естественным инструментом для изучения этой проблемы в динамическом контексте, когда отдача и условная дисперсия развиваются во времени.

Модель типа ARCH-M предполагает явную функциональную зависимость условного среднего случайной величины от собственной условной дисперсии. Отвлекаясь от прочих регрессоров, возможно, участвующих в уравнении для условного среднего, можно записать

(1.13) .

Как правило, используется линейная от , , или форма функциональной зависимости, например , которая допускает следующую интерпретацию. Ожидаемая отдача рыночного портфеля распадается на две компоненты: безрисковый доход  и премию за риск . Экономические агенты ожидают увеличения доходности в связи с нарастанием неопределенности, коэффициент чувствительности ожидаемой доходности к изменениям условного стандартного отклонения связан с мерой относительного неприятия риска (relative risk aversion) и предполагается положительным.

Феномен положительной связи между условным средним и условной дисперсией может быть проиллюстрирован наблюдениями за доходностью ГКО в период январь 97 – август 98. Очевидно синхронное развитие условных моментов: наименьший уровень доходности зафиксирован в интервале июнь - сентябрь 97 года, этот же период характеризуется наименьшей турбулентностью, после чего увеличение доходности сопровождается видимым ростом волатильности.

Многочисленные примеры применения ARCH-M модели к отдаче вложений в различные фондовые индексы приводят к неоднозначным результатам. French, Schwert и Stambaugh (1987) для ежедневного индекса S&P, Chou (1988) для еженедельного NYSE, другие авторы для индексов США и Великобритании обнаружили положительную зависимость между отдачей и риском: полученные в этих работах оценки коэффициентов неприятия риска положительны и значимо отличаются от нуля. Напротив, Glosten, Jagannathan и Runkle (1991), Nelson (1991), Bollerslev, Engle и Nelson (1993) указывают на отсутствие такой зависимости, причем оцененный коэффициент неприятия риска в работе Nelson (1991) оказался отрицательным. Кроме того, некоторые регрессоры, например, лаги зависимой переменной, остаются значимыми в присутствии ARCH-M эффекта, величина и даже знак которого чувствительны к выбору инструментов, включаемых в уравнение среднего или дисперсии.

В связи с моделированием фондовых индексов особый интерес представляют работы Nelson (1991), Bollerslev, Engle и Nelson (1993). Нельсон моделирует отдачу вложений в средневзвешенный индекс CRSP за период 1962-1987. Исследованием Боллерслева и др. охвачена динамика фондовых индексов США на протяжении более чем столетнего периода: Dow Jones за два отдельных периода 1985-1914 и 1914-28, Standard 90 (1928-52), S&P (1953-90).

В обеих работах применяются ^ EGARCH модели. По критерию Schwartz для логарифма условной дисперсии четырех временных рядов выбрана ARMA(2,1) репрезентация, исключением стал DJ (1914-28), для которого выбрана AR(1) репрезентация. Все пять оцененных моделей свидетельствуют о левередж-эффекте (в обозначениях (1.10)    ,    ).

Функции условного среднего параметризованы как

(Nelson)

(Bollerslev).

Обе параметризации отвергают наличие связи между уровнем доходности и ее волатильностью за единственным исключением. t-статистики коэффициента составляют

 

-1,6588

для избыточной доходности вложений в CRSP (1962-1987)

-0,9826

для дохода от увеличения рыночной стоимости CRSP (1962-1987)

0,0287

для DJ (1985-1914)

0,7149

для DJ (1914-1928)

2,7941

для Standard 90 (1928-1952)

0,2347

для S&P (1953-1990).

Подтверждение получила гипотеза об отрицательной зависимости между серийной корреляцией и волатильностью, возможность которой учтена при помощи множителя в квадратных скобках ( обозначает выборочную безусловную дисперсию ): для DJ (1985-1914 и 1914-28), Standard 90 и для S&P параметр положителен и значимо отличается от нуля. Для Standard 90, например, оцененная условная корреляция составляет 0.17, если и -0.07, если .

ARCH-M модель привлекалась также для идентификации премии за риск во временной структуре процентных ставок и в связи с гипотезой эффективности валютного рынка.

Под временной структурой процентных ставок понимается соотношение между доходностью ценных бумаг с различными сроками погашения. Такая структура может быть проиллюстрирована в виде кривой дохода и демонстрирует меньший доход для краткосрочных ценных бумаг и больший - для долгосрочных. Рост ставок при движении от кратко- к долгосрочным бумагам можно объяснить возрастающим риском инвестирования. Engle, Lilien, Robins (1987) моделируют разницу в доходности 6-ти и 3-х месячных казначейских векселей (используются поквартальные данные за период 1960-1984, применяется ARCH(12) спецификация условной дисперсии). Динамика сверхдоходности относительно более длинных бумаг (excess holding yield) обнаружила значимую компоненту, связанную с изменением условной дисперсии; однако, среднее значение этой компоненты составляет лишь 0.14 процента за квартал.

Гипотеза эффективности валютного рынка утверждает, что форвардный валютный курс является лучшим несмещенным прогнозом будущего курса наличной валюты. Однако практические наблюдения вселяют сомнения относительно эффективности валютного рынка в этом смысле. Смещенность форвардного курса не обязательно свидетельствует о нерациональности участников рынка и может быть манифестацией премии за риск. Эмпирически тестировались различные аппроксимации премии за риск, в том числе связанные непосредственно с условной дисперсией курса спот (Domowitz и Hakkio (1985); Kendall и McDonald (1989)); эти работы приводят к противоречивым результатам относительно адекватности ARCH-M спецификации.
1.2 СТАЦИОНАРНОСТЬ.
В данном параграфе мы обратимся к некоторым утверждениям, устанавливающим ту или иную форму стационарности ^ GARCH и EGARCH процессов. Строгая форма стационарности предполагает, что все вероятностные характеристики процесса не меняются с течением времени; в частности, безусловное распределение вероятностей при всех t является одним и тем же. При слабой (ковариантной) форме стационарности безусловная дисперсия ограничена и совпадает для всех t.

Вернемся к определению параграфа 1.1 и рассмотрим ARCH-N – процесс, т.е. такой, условное распределение которого является нормальным:

(2.1) .

Соответствующий стандартизованный процесс имеет условно нормальное распределение с параметрами 0 и 1: . Поскольку нормальная плотность определяется лишь двумя своими параметрами, плотность распределения неизменна при всевозможных значениях . Следовательно, независимы от входящих в набор случайных величин и любых функций от этих случайных величин. В частности, не зависит от . Это наблюдение позволяет сформулировать эквивалентное (2.1) определение ARCH-N процесса:



В общем случае (без предположения об условной нормальности) свойство одинаковой распределенности и независимости стандартизованных остатков не является следствием определения, данного в параграфе 1. Однако это свойство упрощает изучение вопросов данного параграфа. Поэтому мы усилим определение ARCH процесса:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

является ARCH процессом, если

(2.2.а)

(2.2.б) .

GARCH

Теорема 1 описывает множество таких значений параметров  и  , при которых GARCH(1,1) является стационарным в строгом смысле.

 

Теорема 1 (Nelson, 1990).

Пусть процессы определены (2.2) и (1.5), причем p=1, q=1,  >0. Процесс строго стационарен если и только если

(2.3) .

Условие ковариантной стационарности для GARCH(p,q) установлено теоремой 2. Свойство ограниченности безусловной дисперсии представляется желательным из соображений экономического порядка, однако для реальных процессов является скорее исключением, чем правилом.

Теорема 2 (Bollerslev, 1986).

Пусть процессы определены (1.1) и (1.5). Процесс ковариантно стационарен если и только если все корни 1- (x)- (x)=0 лежат вне единичного круга. Безусловная дисперсия равна

.

Условие теоремы очевидно в свете представления (1.7). Для GARCH(1,1) критерий ковариантной стационарности сводится к

(2.4) .

Применением неравенства Иенсена в (2.3) можно установить, что слабая форма стационарности является достаточным, но не является необходимым условием для строгой формы стационарности. Например, процессы, для которых , или являются строго стационарными, однако безусловная дисперсия этих процессов бесконечна.

Указания на ковариантную нестационарность высокочастотных временных рядов объединяют большую часть эмпирической литературы. О возможной ковариантной нестационарности говорит близость оцененного значения  (1)+ (1) к единице. Формальные тесты на единичный корень в дисперсии представлены рядом авторов, включая French, Schwert и Stambaugh (1987) для индекса S&P, Chou (1988) для средневзвешенного NYSE; нулевая гипотеза не была отвергнута ни в этих, ни во многих других работах.

Engle и Bollerslev (1986) определяют процессы с единичным корнем в дисперсии как интегрированные ^ GARCH (Integrated GARCH, IGARCH), например, для IGARCH(1,1)

.

IGARCH процессы строго стационарны, однако не имеют ограниченной безусловной дисперсии. Прогноз волатильности на s шагов вперед определен как

,

так что текущая информация остается значимой, каков бы ни был горизонт прогнозирования.

Определенный интерес представляет четвертый безусловный момент: согласно многочисленным свидетельствам, распределения цен  доходностей различных финансовых активов имеют положительный куртозис. Это наблюдение столь распространено в литературе, что Bollerslev, Engle и Nelson (1993) относят его к эмпирически установленным закономерностям (необходимые ссылки представлены Bollerslev, Chou и Kroner (1992)). Пусть ARCH-N процесс (2.1) имеет конечный безусловный момент четвертого порядка. Тогда, поскольку и независимы, и в силу неравенства Иенсена

,

причем равенство выполняется, лишь если – константа, т.е. условная гетероскедастичность не имеет места. В противном случае безусловное распределение характеризуется положительным куртозисом. Для GARCH(1,1)-N безусловный куртозис

,

если и  = +  , иначе. В обоих случаях условная гетероскедастичность является источником безусловного избыточного куртозиса.

^ EGARCH

В экспоненциальной модели логарифм условной дисперсии является линейным процессом, поэтому свойства стационарности (как строгой, так и ковариантной) и эргодичности могут быть проверены сравнительно легко. Если шоки угасают достаточно быстро, то логарифм условной дисперсии, условная дисперсия и сам ARCH процесс являются строго стационарными и эргодическими.

Теорема 3 (Nelson, 1991).

Пусть процессы определены (2.2) и (1.9)-(1.10), положим,  и  не равны нулю одновременно. Тогда процессы строго стационарны и эргодичны, и ковариантно стационарен если и только если

.

Критерий теоремы 3 является традиционным для линейных процессов. Если логарифм условной дисперсии задан в форме авторегрессии – скользящего среднего соотношением (1.11), то условие теоремы сводится к требованию, чтобы все корни 1- (x) лежат вне единичного круга. Так, например, если в (1.11) присутствует единственная авторегрессионная компонента (p=1), то критерий состоит в .

Будучи строго стационарными, изучаемые процессы могут не иметь конечных безусловных моментов и, следовательно, не быть слабо стационарными. Это, в частности, так, если имеет распределение Стьюдента. Если же распределение принадлежит семейству ^ GED (Generalized Error Distribution - Обобщенное Распределение Ошибки), то при условии строгой стационарности безусловное распределение обладает конечными моментами произвольного порядка.

Семейство ^ GED охватывает симметричные распределения с различными коэффициентами куртозисами. Плотность распределения GED

(2.5)

где - гамма-функция, и

.

параметризована  , регулирующим “толщину хвоста”. При  =2 ^ GED совпадает со стандартным нормальным распределением, при  <2 плотность GED имеет более толстые, при  >2 – более тонкие хвосты, чем нормальная плотность. В частности, при  =1 z имеет двойное экспоненциальное распределение, при    z равномерно распределен на интервале .

Теорема 4 (Nelson, 1991).

Пусть процессы определены (2.2) и (1.9)-(1.10), положим,  и  не равны нулю одновременно, кроме того, имеют распределение GED с параметром   1. Пусть выполнено требование теоремы 3. Тогда процессы обладают конечными, неизменными во времени моментами любого порядка.

Свидетельства нестационарности основных фондовых индексов США были получены в работах Nelson (1991), Bollerslev, et al (1993) применением EGARCH параметризации. Авторы указывают, что один из оцененных авторегрессионных корней ARMA(2,1) модели для логарифма условной дисперсии близок к единице, тогда как другой корень имеет невысокое абсолютное значение.
2>^ ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ.
– последовательность наблюдаемых скалярных случайных величин. - набор предопределенных к моменту t переменных. Функции условных мат. ожидания и дисперсии совместно параметризованы вектором : . – известные функции, которые далее будем обозначать, опуская аргумент и используя нижний индекс t. Существует единственный такой, что

(М.1)

(М.2) ,

называется вектором истинных параметров. Определим также функции остатков и стандартизованных остатков

.

Условия (М.1)-(М.2) позволяют вычислить математическое ожидание и дисперсию в произвольной точке параметрического пространства. Например, в точке

(М.3)

(М.4) .

Процедура, используемая наиболее часто для оценки , состоит в максимизации функции правдоподобия, построенной в предположении о том, что распределение при условии нормально со средним и дисперсией, определенными (М.1)-(М.2). Гипотеза об условной нормальности, однако, часто не выдерживает тестирования; в этой связи возникает проблема выбора метода, устойчивого к различным ее нарушениям.

Обоснован метод квази-максимального правдоподобия, который предполагает максимизацию нормальной функции правдоподобия при том, что распределение в действительности не является нормальным. При этом оценки сохраняют свойства состоятельности и асимптотической нормальности, однако утрачивают свойство асимптотической эффективности.

В данной работе предпринята попытка оценить модель обобщенным методом моментов. Оказалось возможным построить оптимальные инструменты, приводящие к оценкам, асимптотически более эффективным, чем оценки метода квази-максимального правдоподобия.
^ 2.1 ОЦЕНИВАНИЕ ARCH-N МОДЕЛИ: МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.
Применение метода максимального правдоподобия требует явного задания функции плотности распределения случайных величин . Предположение о нормальном характере распределения позволяет воспользоваться простой и детально разработанной процедурой оценивания неизвестных параметров, которая и является предметом рассмотрения настоящего параграфа. Гипотеза об условной нормальности процесса формально записывается как

(^ N) .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Оценки метода максимального правдоподобия (ММП) доставляют максимум критериальной функции, составленной из вкладов отдельных наблюдений:

(3.1) ,

где вклад t-го наблюдения определяется как

(3.2) .

совпадает с логарифмом совместной плотности распределения вектора . Градиент и гессиан критериальной функции также составлены из вкладов отдельных наблюдений:

,

вклады наблюдения t записываются как

(3.3)

(3.4)





.

Вычислим условные ожидания (3.3) и (3.4) в точке истинных параметров. Значения функций и , производные этих функций по  предопределены к моменту t. Выражения, заключенные в квадратные скобки, обращаются в нуль. Имеем

(3.5)

(3.6)

Обозначим матрицу условной ковариации вклада t-го наблюдения градиент:

(3.7) .

Вследствие (3.5) безусловное ожидание градиента критериальной функции равно нулю:

(3.8) .

Определим информационную матрицу как безусловную ковариацию градиента в точке :

(3.9) .

Поскольку последовательность вкладов наблюдений в градиент критериальной функции серийно не коррелирует (равенство (3.5)), информационная матрица может быть также вычислена по формуле

(3.10) .

Для дальнейшего изложения существенно, что соотношения (3.3)-(3.10) были выведены вне связи с гипотезой (N).

 

^ ИНФОРМАЦИОННАЯ МАТРИЦА.

В теории метода максимального правдоподобия известно равенство

(3.11) ,

которое нетрудно установить и в данном случае. Внешнее произведение вклада t-го наблюдения в градиент содержит в степени от первой до четвертой. Условные мат. ожидание и дисперсия истинных остатков определены равенствами (М.3)-(М.4), тогда как для вычисления третьего и четвертого моментов необходимо прибегнуть к дополнительному предположению (N). (3.11) влечет равенство

(3.12) ,

однако вычислить полные ожидания не представляется возможным.

В некоторых случаях вектор  можно разделить на компоненты b и  , первая из которых параметризует условное среднее, вторая – условную дисперсию. Тогда, однако даже в этом случае . Если, кроме того, распределение симметрично, выполнены некоторые ограничения на функциональную форму , то информационная матрица является блочно-диагональной:

.

Engle (1982) приводит набор достаточных условий и формальное доказательство для ARCH(q)-N модели. Блочная диагональность информационной матрицы между параметрами b и  означает, что оценки параметров среднего состоятельны даже при неверной спецификации функции условной дисперсии. В частности, оценки методом наименьших квадратов являются состоятельными, однако, выигрыш в эффективности от использования ММП по сравнению с МНК может оказаться сколь угодно великим. Более того, оценки , полученные на основе состоятельных, но не эффективных оценок b (например, на основе МНК), сохраняют свойство асимптотической эффективности.

Не обладают свойством блочной диагональности информационные матрицы ^ ARCH-M моделей: для них разбиения  = (b, ) не существует. Иное исключение составляют EGARCH модели и другие, в которых является асимметричной функцией остатков. Присутствие ошибок в спецификации функции условной дисперсии приводит к несостоятельности оценок параметров среднего, и наоборот. Состоятельное оценивание требует верной спецификации полной модели.

При определенных условиях регулярности оценки максимального правдоподобия состоятельны, асимптотически нормальны и эффективны с асимптотической матрицей ковариации

(3.13) .

Существуют два базовых способа состоятельно оценить информационную матрицу. Первый способ основан на связи информационной матрицы и гессиана (равенства (3.11)-(3.12)). В качестве оценки приемлема матрица , где

(3.14) .

Данная оценка построена как сумма выражений вида , причем участвующие в функции исчислены в точке .

Второй способ вытекает из равенства (3.10) для информационной матрицы. Опустив знаки мат. ожиданий и воспользовавшись оценками неизвестных параметров, приходим к

(3.15) .

Второй способ восходит к статье Berndt, Hall, Hall, and Hausman и потому называется BHHH. Другое название - метод внешнего произведения градиента (outer product of the gradient, OPG).

Как , так и состоятельны для I. Обращенная информационная матрица служит оценкой матрицы ковариации оценок максимального правдоподобия . Возможны, следовательно, два выражения:

(3.16.а)

(3.16.б) .

 
^ 2.2 НАРУШЕНИЯ ГИПОТЕЗЫ ОБ УСЛОВНОЙ НОРМАЛЬНОСТИ: МЕТОД КВАЗИ-МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.
Гипотезу (N) позволяет протестировать верное в нуле свойство независимости и нормальной распределенности стандартизованных остатков. Как правило, гипотеза отклоняется из-за того, что оцененные демонстрируют положительный куртозис. Реже причиной отклонения нулевой гипотезы становится асимметрия (необходимые ссылки представлены Bollerslev, Chou и Kroner (1992)).

Рядом авторов реализован ММП в предположении о том, что плотность распределения принадлежит некоторому параметризованному семейству (z,). Так, Bollerslev (1987), Nelson (1990), Bollerslev, Engle и Nelson (1993) применяют, соответственно, t-Стьюдента, GED, и обобщенное t-Стьюдента распределения. Плотности t и GED имеют единственный параметр, регулирующий величину куртозиса, плотность обобщенного t-распределения имеет два параметра и включает t и GED как частные случаи (свойства GED обсуждались в параграфе 2). Параметры  и  оцениваются одновременно максимизацией логарифмической функции правдоподобия

.

С точки зрения асимптотической эффективности ММП с корректно определенной функцией плотности  ( , ) является наилучшим решением. Реализация его, однако, технически крайне трудна: поскольку производные соответствующих функций правдоподобия не могут быть представлены аналитически, для максимизации их прибегают к методам численного дифференцирования.

Качество подбора функции плотности  ( , ) можно установить, сравнивая фактическое и ожидаемое количества таких значений , которые превосходят некоторое заданное Z. В этом смысле GED не вполне адекватно отражает частоту “хвостовых событий”: фактическое число выбросов гораздо больше, чем если бы были реализациями ^ GED-распределенной случайной величины со значением параметра  , равным оцененному. Кроме того, t и GED симметричны, тогда как асимметрия – одна из важных особенностей изучаемых в данной работе российских финансовых активов. По этим причинам ММП был предпочтен методам квази-максимального правдоподобия и моментов. Среди других распределений, примененных при оценивании ARCH модели, – смесь нормального и логнормального, нормального и Пуассона распределений.

Установлено, что максимизация критериальной функции (3.1)-(3.2) приводит к состоятельным и асимптотически нормальным оценкам независимо от того, как именно распределены случайные величины . В тех случаях, когда истинное распределение неизвестно, эту процедуру принято называть методом квази- (псевдо-) максимального правдоподобия (МКМП). Отличие ее от традиционного ММПсостоит в матрице ковариации оценок:

(3.17)

.

Равенство неверно в общем случае без предположения об условной нормальности, поэтому (3.17) не эквивалентно (3.13). МКМПнеизбежно приводит к потере асимптотической эффективности. Потери эффективности, возникающие, в частности, при t-распределенных ошибках невелики, однако могут быть весьма существенными, если распределение ошибок асимметрично.

Для вывода равенств (3.5), (3.6), (3.8), и (3.10) предположение (N) не привлекалось, все они являются следствием верной спецификации функций условного среднего и дисперсии, т.е. (M.1)-(M.2). Поэтому матрица остается состоятельной для гессиана, – состоятельной для информационной матрицы. Однако и не являются асимптотически эквивалентными, как не являются асимптотически эквивалентными минус гессиан и информационная матрица. Оценкой ковариацонной матрицы КМП-оценок служит

(3.18) .

Оценка (3.18) устойчива к нарушению гипотезы об условной нормальности в том смысле, что остается состоятельной для ковариации оценок, полученных максимизацией (3.1)-(3.2). Оценки и при указанном нарушении свойства состоятельности не сохраняют.

ТЕСТИРОВАНИЕ

Асимптотическая нормальность оценок КМП позволяет воспользоваться стандартными процедурами. Пусть нулевая гипотеза формулируется как

(3.19) ,

где дифференцируема на и l. Если и матрица имеет ранг l, то применима статистика Вальда

(3.20) ,

где - оценки параметров при альтернативной гипотезе (оценки полной модели, без ограничений (3.19)), - состоятельная оценка ковариации . При верной гипотезе (N) следует использовать , в противном случае - . Верно предположение (^ N) или нет, в нуле статистика Вальда имеет асимптотическое хи-квадрат распределение с m-l степенями свободы. Тест Вальда

(3.21)

где - 5%-й квантиль распределения, характеризуется асимптотической ошибкой первого рода 5%: вероятность отвергнуть тогда как она верна



при увеличении числа набл