Реферат: В. И. Моисеев Вэтой работе я хотел бы обратить внимание читателей на возможность сближения двух позиций в философской логике позиции польского логика Станислава Лесьневского, представленной его логической системо

«Онтология» Ст.Лесьневского и логика всеединства


В.И.Моисеев


В этой работе я хотел бы обратить внимание читателей на возможность сближения двух позиций в философской логике – позиции польского логика Станислава Лесьневского, представленной его логической системой, носящей название «Онтология»1, и позиции логических оснований в русской философии всеединства, одна из первых попыток реконструкции которых была предпринята мной в работе «Логика всеединства»2. В течение двух месяцев – октября и ноября - 2001 года, благодаря Фонду королевы Ядвиги Ягеллонского университета в Кракове, я получил возможность более подробно ознакомиться с работами Ст.Лесьневского и хотел бы выразить Фонду за это свою искреннюю признательность. Перед началом работы я ставил перед собой довольно расплывчатую цель, «поискать что-то общее» в философских подходах Лесьневского и Соловьева. Результат этого поиска превзошел все мои самые оптимистические ожидания. Я конечно предполагал, что нечто общее должно обнаружиться, но того, что эта общность будет столь глубока и плодотворна, и представить себе не мог в начале работы. Ниже я и попытаюсь описать, что же в итоге у меня получилось, но уже сейчас хотел бы отметить, что результатом моего исследования стала некоторая аксиоматическая система, также названная мной «Онтологией», которая во многом по логической форме построена близко к «Онтологии» Лесьневского (дальше я буду «Онтологию» Лесьневского называть «L-Онтологией»), а по содержанию выражает основные идеи логики всеединства. Так синтез Лесьневского и Соловьева наиболее наглядно реализовал себя в единстве формы и содержания этой аксиоматической системы.

Чтобы сделать статью относительно независимой от других работ, мне вначале придется хотя бы кратко сказать, что такое L-Онтология и что такое логика всеединства. После этого введения я уже непосредственно перейду к описанию и обсуждению своей версии «Онтологии», которую я еще буду называть «Проективно-модальной Онтологией».


^ 1. «Онтология» Лесьневского (L-Онтология)


Об «Онтологии» Лесьневского сейчас на русском языке уже можно кое-что прочесть (см.3). Вообще у Лесьневского три логические системы: «Прототетика», «Онтология» и «Мереология». «Прототетика» является логической основой всех остальных систем, в том числе и «Онтологии». В основе Прототетики лежит логическая система, содержащая только пропозициональные переменные, которые могут связываться кванторами, и предложениеобразующие функторы любых порядков, в том числе обычные связки исчисления высказываний. Функторы могут присутствовать в форме констант и переменных, последние также способны связываться кванторами. В разных версиях Прототетики могут приниматься различные аксиомы. В первом приближении можно говорить, что Прототетика – это исчисление высказываний с кванторами по пропозициональным переменным. Во всех системах Лесьневского используются определения в качестве теорем системы. В Прототетике – это так называемые прототетические определения, которые обычно имеют вид эквивалентностей p  q, где p и q – пропозициональные выражения. При построении Онтологии все средства Прототетики обогащаются введением именных переменных, способных связываться кванторами, возможностью определения имяобразующих функторов, причем, вновь функторы могут присутствовать и как константы и как переменные, последние могут связываться кванторами. Наконец, в L-Онтологии добавляется двуместный предикат  («эпсилон»), определенный на именных выражениях, и «a  b» читается как «a есть b». В связи с этим функтором, Леćневский использует новый вид определений, который называется им «онтологическими определениями». В простейшем случае такие определения имеют вид

а  С  a  a  (a), где С – вновь вводимое имя, (a) – пропозициональное выражение, содержащее только переменную а в качестве свободной переменной.

В простейшем случае Онтология Лесьневского напоминает обобщение исчисления предикатов без равенства с предикатом . Кроме того, в L-Онтологии принимается новая схема аксиом – так называемое «правило экстенсиональности». Специфической аксиомой является также «аксиома Онтологии», определяющая смысл предиката . Она выглядит так:

(АО) x  X  y(y  x)  yz(y  x  z  x  y  z)  y(y  x  y  X)


В идее предиката  Лесьневский выразил некоторый номиналистический смысл: в выражении «a  b» а должно быть именем единичного материального объекта, например, «Сократ», «Земля», «Варшава», а b может быть как единичным, так и общим именем, например, «человек», «планета». Выражение «a  b» считается истинным только тогда, когда единичный объект, обозначаемый именем а, обозначается также и именем b. Например, если а есть «Земля», b – «планета», то «a  b» читается как «Земля есть планета» и является истинным. Выражение же, например, «b  b», т.е. «планета есть планета», уже ложно, так как «планета» - не единичное имя.

Таким образом, в основе L-Онтологии лежит «субъект-предикатная» структура, выражающая некоторый специальный случай отношения субъекта и предиката. L-Онтология представляет из себя логическую систему, выражающую логику этого специального случая субъект-предикатных отношений. Более конкретно, можно говорить о следующих особенностях субъект-предикатных отношений в L-Онтологии: 1) субъект рассматривается как единичный материальный объект (это значение имени «а» в «a  b»), 2) предикат рассматривается либо как тот же объект, либо как общее свойство некоторого класса объектов (это значение имени «b» в «a  b»).

Тот факт, что в L-Онтологии исследуется специальный случай субъект-предикатной структуры, и служил для меня исходной предпосылкой поиска единства идей L-Онтологии и логики всеединства.


^ 2. Логика всеединства


При чтении различных философских текстов меня никогда не покидало ощущение некоторой особой логики философии, которую никак не удается выразить средствами существующих логических систем. Я думаю, что все философы так или иначе знают о существовании некоторого собственного философского языка (Lingua Philosophica), интуитивно обучаются правилам его использования при чтении классических философских работ, однако, до сих пор не существует хотя бы первоначального, но ясного изложения принципов этого языка. Каким-то непостижимым образом этот язык ускользает от формализаций средствами как формальной логики, так и математики.

Чтобы не быть голословным, приведу один характерный, с моей точки зрения, пример подлинно философского рассуждения, содержащего типичный образец Lingua Philosophica.

Например, в «Первоосновах теологии» Прокл утверждает:

«§ 5. ^ Всякое множество вторично в сравнении с единым. В самом деле, если множество раньше единого, то, с одной стороны, единое будет причастно множеству, а, с другой, множество, будучи раньше единого, не будет причастно единому… Если же первично множество, то единого еще не существует. Но невозможно, чтобы существовало какое-нибудь множество, никак не причастное единому. Следовательно, множество не раньше единого…»4).

Очень показательно, что наш разум ощущает здесь некую глубинную логику и столь же показательно, что мы ощущаем себя во многом беспомощными, пытаясь выразить эту логику современными понятийными средствами. Как выразить единое, многое, причастность, первичность-вторичность ? Если я попытаюсь использовать для этого основу современного строгого мышления – логику или математику, - я сразу же столкнусь с проблемой. Логика вырастает из исчисления высказываний, математика – из теории множеств. В обоих основаниях уже изначально заложено нечто настолько сужающее способность разума, что это сужение как раз не позволяет выразить базовые смыслы Lingua Philosophica. Складывается впечатление, что завоевания рациональности в Новое время были куплены несколько дорогой ценой, которой и оказалась своего рода несовместимость точности и универсальности. Пытаясь быть точными, мы оказываемся не в состоянии выразить столь универсальные смыслы, которые особенно существенны для Lingua Philosophica. С этой точки зрения нам по-прежнему есть чему учиться у древних. Мы поражаемся их свободе в использовании универсальных смыслов. Мы как-то усваиваем эти смыслы, не будучи в состоянии их адекватно выразить. В итоге сознание современного философа оказывается разорванным на область точных-неуниверсальных апперцепций и универсальных-неточных перцепций, если использовать терминологию Лейбница. Универсальному, но смутному знанию философ учится в истории философии, которая тем самым превращена в своего рода бессознательное libido современной философской мысли. Точным, но неуниверсальным знанием он обязан современной научной рациональности – царству Super Ego современного философствования. Не пришло ли время сблизить эти два полюса, совершить своего рода психоанализ современного философского сознания, попытавшись расширить образ философской рациональности на универсальные интуиции древних ?

Не претендуя, конечно, на полное решение такой задачи в этой работе, ниже я очень схематично попытаюсь поговорить о некоторых первоначальных возможных предпосылках одной современной версии Lingua Philosophica.

В истории русской философии общепринято сегодня выделение такого направления, которое в современной российской историографии получило название «русская философия всеединства»5. Основателем этой философской школы является замечательный русский философ Владимир Сергеевич Соловьев (1853-1900). К представителям этой школы также обычно относят братьев С.Н. и Е.Н.Трубецких, С.Н.Булгакова, В.Ф.Эрна, С.Л.Франка, П.А.Флоренского, Н.О.Лосского, Л.П.Карсавина, А.Ф.Лосева и др. Сегодня в России произошло как бы переоткрытие этой философии после десятилетий забвения в годы советской власти. В то же время до сих пор отсутствует более глубокий теоретический анализ основных положений философии всеединства. В своей книге6 я попытался восполнить этот недостаток, выдвинув идею существования в русской философии всеединства некоторой единой концептуальной системы – «логики всеединства». В основе логики всеединства лежит представление о некоторой структуре, которая призвана в более строгой форме выразить понятие «всеединство».

С моей точки зрения, логика всеединства – это версия философской логики не только русской философии всеединства, но и одно из наиболее полных представлений Lingua Philosophica вообще. Здесь можно выделить следующие основные положения этой логики:

1. Есть источник бытия («единое») и есть его проявления («многое»). Каждое проявление бытия образуется как результат наложения тех или иных условий на источник и само оказывается источником более низкого порядка. В такой структуре мы находим единство четырех основных элементов: 1) логического субъекта, источника предицирования (я называю его модусом), 2) ограничивающих условий, накладываемых на субъект (ограничивающие условия были названы мной моделью), 3) процедуры образования предикации (эту процедуру я обозначил как проектор), 4) самой предикации – как результата наложения ограничений на субъект в некоторой процедуре предицирования (предикации назывались мною модами). Для выражения отношений всех этих четырех элементов я обычно использовал следующую нотацию: X = YZ – «X есть Y-при-условии-Z», где X – мода, Y – модус, Z – модель,  - проектор как некоторый функтор (Y,Z) = Х, ставящий в соответствие Y и Z моду X. В формуле X = YZ Y есть источник бытия, X – проявление этого источника, Z – условия, ограничивающие Y до X,  - операция выражения источника в своем проявлении. Эта онтологическая тетрада является, с моей точки зрения, некоторым инвариантом любой онтологии, некоторой ядерной структурой всякой философской логики как Lingua Philosophica, т.е. логики тех или иных философий. Здесь можно было бы привести множество примеров. Я пока ограничусь следующими (там, где мне не ясны явные выражения соответствующих категорий у того или иного философа, я ставлю знак вопроса):


Философ

Модус

Мода

Модель

Проектор

Адвайта веданта (Шанкара)

Брахман

Конечное сознание

Майя

Погружение в майю

Демокрит

Атом

Атом

?

Тождество

Платон

Идея

Вещь

Материя

Мимезис

Аристотель

Сущее

Предикат сущего

?

?

Плотин

Единое

Эманация Единого

Материя

Истечение эманации

Фома Аквинский

Сущее (ens)

Существование (existentia)

?

?

Спиноза

Субстанция

Атрибут, модус

Небытие

Ограничение небытием

Кант

Вещь-в-себе

Вещь-для-нас

Сознание, Я

Познание

Гегель

Дух-в-себе-и-для-себя

Дух-в-себе,

Дух-для-себя

Инобытие Духа

Воплощение Духа

Соловьев

Сущее-акт (сущее-всеединое)

Бытие

Сущее-потенция (сущность)

Бытие Сущего

Фрейд

Либидо

Символы Либидо

Среда Супер-Эго, цензуры Либидо

Сублимация Либидо, комплекс Эдипа

Хайдеггер

“Присутствие” (Anwesen) как «несокрытое» (das Unverborgene, )

Бытие, Время

«сокрытое» ?

“Посыл” (das Geschick)


Как видно из таблицы, обычно в разного рода философских системах лучше выражались категории «модуса» и «моды», хуже – категории «модели» и «проектора». Но в общем случае видно, что категория «модели» - это те или иные вариации Майи-Материи-Небытия, т.е. начала ограничения и иллюзии. Категория «проектора» выражалась в разного рода актах Воплощения-Погружения источника бытия в более плотную и тесную для него среду. «Модусы» - это разного рода Сущие-Субстанции-Идеи, т.е. некоторые источники и генераторы свойств. «Моды» - разного рода проявления, аспекты, стороны модусов. По моему мнению, пока есть философия, эта онтологическая тетрада будет продолжать себя воспроизводить все в новых вариациях. Особый случай – в разного рода атомизмах, например, у Демокрита. Здесь источник бытия, атом, одновременно оказывается и своим единственным положительным проявлением, так что проектор выражается в совпадении с собой, а в качестве условий (модели) выступает «самая слабая майя», не изменяющая модус. В связи с этим случаем, я далее буду принимать, что

2. Для каждого модуса существует такая модель, которая не изменяет модус. Это как бы безусловность как предельно слабый случай условности. Такую модель можно называть «модельной единицей» модуса, сравнивая ее с единицей в операции умножения, когда x 1 = x – умножение х на 1 оставляет х неизменным. Точно так же, если Z – это модельная единица для модуса Y, то получим: Y = YZ, т.е. Y окажется модой самого себя. Представления всякого источника бытия как предикации самого себя я буду называть также «тождественной модой» этого источника (модуса).

3. Возможно, что модус Y образует свои моды не в любых ограничивающих условиях (моделях), но только в некоторых «подходящих» для него условиях. Например, образование проекций у трехмерного тела также можно рассматривать как случай образования мод модуса. Рассмотрим такой пример (см. рис.1).



рис. 1


Здесь Т – трехмерное тело (цилиндр), 1 и 2 – плоскости проецирования, Р1 и Р2 – проекции, образованные из тела Т при его проецировании на плоскости 1 и 2 соотв. Это так же пример нашей тетрады, где Т – модус, Р1 и Р2 – моды, 1 и 2 – модели, а в качестве проектора  выступает оператор проецирования, который в математике как раз и называется проектором. Таким образом, здесь Р1 = Т1 и Р2 = Т2. Представим теперь случай, когда в качестве Т выступает голова человека, а проекции Р1 и Р2 – это фотографии, выполняемые с некоторых фиксированных позиций. С такой ситуацией мы можем встретиться, например, в случае фотографий преступников, где есть по крайней мере две классические позиции «фас» и «профиль». Другие позиции не приняты в такой практике и не могут рассматриваться как официальные моды данного модуса. А на фотографиях, например, на современных польских документах нужно повернуть голову немного вправо. Так что выходит, что в этих примерах не все геометрические проекции трехмерного объекта считаются официально признанными проекциями, т.е. не на всех возможных моделях разрешается образовывать моды модуса. Другой пример такого же свойства. Например, в качестве модуса можно рассмотреть личность человека в целом, в качестве моделей – те или иные ситуации, обстоятельства, в которых может проявлять себя личность. В качестве мод – проявления (образы, роли, имиджы) личности в тех или иных обстоятельствах. Например, в качестве ситуаций могут выступать ситуации общения с другими людьми. Для личности Х начнут возникать ее моды Х-в-общении-с-Y, где Y – другая личность. Так, например, в качестве мод личности для меня возникают такие мои моды, как: Я-с-друзьями, Я-с-родителями, Я-на-работе, Я-в-семье, и т.д. Это все мои стороны, мои аспекты, мои моды. Но я не могу как личность образовать свою моду в рамках геометрической плоскости, поскольку личность – это не геометрическое тело. С другой стороны, трехмерное тело, например, камень не может проявить себя как личность в ситуации общения с людьми. Так получается, что для некоторого модуса Y не все ограничивающие условия (модели) имеют смысл ограничения этого модуса. С этой точки зрения приходится специально оговаривать, какие именно модели определены для модуса как именно те модели, на которых он может образовывать свои моды. Такие модели я буду называть «(собственными) моделями для данного модуса».

4. Может возникнуть случай иерархии модальных отношений, когда у моды модуса есть свои моды. В этом случае возникает вопрос: «является ли мода моды модуса модой этого модуса ?». Я буду принимать положительный ответ на этот вопрос, называя это свойство «свойством транзитивности» модальных отношений. Таким образом, если С – мода В, и В – мода А, то С – мода А. Это свойство мне понадобится для выражения идеи порядка, связанного с модальными отношениями. Я буду предполагать, что мода модуса в каком-то смысле не сильнее модуса, т.е. меньше или равна ему по некоторой «силе бытия». Эта интуиция порядка, связанного с онтологической тетрадой, также является одной из центральных интуиций различных версий философской логики. В античности, Средние века, Новое время этот порядок обычно называли «порядком по природе», и, например, Платон или Прокл, как мы это могли увидеть выше, рассуждали о том, что Единое первее по природе, чем Многое. Или у Спинозы Первая теорема в «Этике» утверждает, что «Субстанция первее по природе своих состояний». Чтобы выразить эту фундаментальную интуицию, необходимо связать модальное отношение моды к модусу с отношением нестрогого порядка типа «меньше или равно». Но для такого порядка, как известно из математики, должны выполняться три основные свойства: 1) рефлексивность, т.е. любой элемент должен быть меньше или равен самому себе, 2) антисимметричность, т.е. если А меньше или равно В и В меньше или равно А, то А и В должны быть равны между собой (следовательно, здесь возникает и некоторая идея равенства, которая должна быть согласована с нестрогим порядком), 3) транзитивности: если А меньше или равно В и В меньше или равно С, то А меньше или равно С. Свойство рефлексивности будет выполняться для всякого модуса в силу того, что есть модельная единица. Поэтому можно утверждать, что всякий модус – это мода самого себя, т.е. модус модально меньше или равен самому себе. Здесь, таким образом, нужно понимать «А меньше или равно В» как «А есть мода модуса В». Выполнение антисимметричности нужно попытаться обеспечить введением равенства как одновременного выполнения условий «А есть мода В» и «В есть мода А» - тогда будем считать, что А и В равны. И наконец, принимаем свойство транзитивности. Так отношение «А есть мода В» должно превратиться в отношение нестрогого порядка.

Условия 1-4 – это некоторый минимум логики всеединства. Он вводит онтологическую тетраду «модус-мода-модель-проектор», предполагая тем самым множество каких-то модусов, мод, моделей и проекторов, определяет собственные модели для каждого модуса, на которых он может образовывать свои моды, обеспечивает нестрогий порядок модального отношения «А есть мода В», предполагая наличие модельных единиц у каждого модуса, равенства на модусах и транзитивности модальных отношений.

Далее может быть развит уже некоторый чуть более богатый вариант онтологии, о котором я тоже скажу уже здесь несколько слов в связи и с его широкой распространенностью в разных версиях Lingua Philosophica.

5. Для множества всех модусов мы можем ввести два предела: нулевую моду, определив ее как моду всех мод, и бесконечный модус, определив его как модус всех модусов. Эти два объекта как бы выражают два онтологических предела – максимального небытия (нулевая мода) и максимального бытия (бесконечный модус).

6. Можно ввести понятие положительной моды – как такой моды, для которой найдется неравная ей ее мода, и положительного модуса – как такого модуса, который обладает положительной модой. И положительная мода, и положительный модус «приподняты» над нулевой модой и с этой точки зрения не являются минимумом бытия.

7. По-видимому, идею бытия можно определять в разных смыслах. Одним из возможных решений здесь являлось бы такое, когда существование (бытие) модуса понимается как положительность этого модуса. Существовать в этом смысле – не быть небытием, т.е. не быть нулевой модой, хотя бы как-то положительно проявлять себя, обладая положительной модой. Такое определение бытия замечательно тем, что оно переносится с мод на модусы этих модусов (как бы снизу вверх): если А есть мода модуса В и А существует, то В также существует. Так реализуется идея того, что модусы не слабее по бытию, чем их моды. Замечу также, что развиваемая ниже аксиоматика позволяет доказать равносильность понятий моды и модуса. Следовательно, эти состояния будут различимы лишь относительно: мы сможем сказать, например, что А есть мода В, а В не является модой А, но мы не сможем доказать, что А есть только мода, а В – только модус, более того, и А и В будут одновременно и модами и модусами.

Далее я буду использовать термин «модальный» в двух смыслах – широком и узком. В широком смысле под прилагательным «модальный» я буду иметь в виду «относящийся к онтологии с модусами, модами, моделями и проекторами», как это имелось в виду выше и более строго будет определено в дальнейшем. В узком смысле под термином «модальный» я буду иметь в виду «относящийся к модам». Сегодня прилагательное «модальный» оказалось тесно связанным с идеей разного рода модальных логик. Подчеркивая специфичность моего понимания этого термина в отличие от общепринятого, я использую более комплексный термин «проективно-модальный», подчеркивая этим связь широкого понимания термина «модальный» с идеей проектора в процессе образования мод из модуса.


^ 3. Онтология как синтез L-Онтологии и логики всеединства


Теперь остается соединить методы L-Онтологии, которые Лесьневский использовал для своей номиналистической версии, с логикой всеединства. Для этого нужно суметь различить, что в L-Онтологии является общим для любой возможной онтологии, а что связано с частными смыслами именно L-Онтологии. Конечно, в первую очередь таким специфическим моментом L-Онтологии является номинализм Лесьневского. Он выражается в наложении ограничений на субъекты предикации в формулах a  b. Как я уже говорил, в формуле a  b Лесьневский использовал субъект-предикатную структуру, которую теперь можно увидеть как частный случай отношения модуса и моды. В формуле a  b в качестве субъекта (модуса) выступает а, в качестве его предиката (моды) – b. Отсюда мы получаем первый ключ к переинтерпретации L-Онтологии: мы можем прочесть формулу a  b как некоторый специфицированный случай модального отношения «b есть мода модуса a». Номинализм здесь выразится в том, что модус a у Лесьневского оказывается максимальным модусом, т.е. нельзя найти, отличный от a, модус, для которого a был бы модой. Имена, стоящие слева от -функтора у Лесьневского, выражают собой материальные объекты как вершины модальной иерархии. В номинализме нет ничего выше отдельных вещей. Все остальное – предикаты (моды) этих вещей. Вот это конечно нечто неуниверсальное, что принимается не любой версией онтологии, но только номиналистическими вариантами. И от этого ограничения Лесьневского нужно суметь отойти. Хотелось бы построить наиболее универсальную версию философской Онтологии, в рамках которой затем можно было бы выражать любые частные онтологии – номиналистические, реалистические, какие-угодно. С другой стороны, очень заманчиво использовать мощные логические средства L-Онтологии, включающие в себя бесконечную иерархию функторов и кванторов по ним, огромные выразительные возможности этой системы. Так постепенно у меня оформилась идея строить некоторую версию Онтологии, используя языковые средства L-Онтологии, насколько это возможно без -функтора (как он понимался Лесьневским. Функтор  у Лесьневского я буду далее обозначать как L). Сначала я хотел обойтись некоторым трехместным предикатом Mod(a,b,c) – «a есть мода модуса b в модели c». Затем я осознал необходимость явного указания и участвующего в этом отношении проектора и начал использовать четырехместный предикат Mod(a,b,c,f) – «a есть мода модуса b в модели c с проектором f». Так я вплотную подошел к средствам некоторой аксиоматической системы, которая: 1) должна содержать некоторый первичный предикат Mod(a,b,c,f), выражающий онтологическую тетраду, 2) должна быть максимально близкой к L-Онтологии, насколько это возможно при смене первичного предиката, 3) должна опираться на L-Онтологию как на некоторый источник возможных аналогий, которые можно пытаться воспроизводить в новой версии Онтологии. Так L-Онтология и работа, проведенная Лесьневским, должна была стать некоторой «нитью Ариадны» при построении новой системы, но только в меру универсального заряда L-Онтологии, выходящего за рамки только номинализма. Для этого приходилось постоянно отслеживать меру универсальности тех или иных конструкций L-Онтологии. Не могу сказать, что мне все здесь кажется адекватным и до конца понятным. Скорее массив нового логоса еще только в некоторой мере оказался проявленным для меня и очень многое еще в ментальном тумане. Но уже и эта проявленная часть очень интересна.

Ближайшая цель теперь состоит в следующем. Представим, что мы начали лепить Онтологию заново, размягчив глину Лесьневского. Мы можем что-угодно принять, что-угодно отбросить из этой вселенной. Я предпочитал двигаться осторожно, минимально изменяя логическую вселенную польского мыслителя. Мы отбрасываем его -функтор, но нам понадобится своя версия этого функтора, способная выражать модальное отношение теперь уже в общем, а не только номиналистическом, смысле. Нужно, кроме того, выразить все основные понятия логики всеединства, сформулированные в пунктах 1-7. Наконец, нужно будет подумать над аксиомами новой системы, соотнося их с Аксиомой L-Онтологии. Вот первая задача.


^ 4. Аксиомы и первичные определения Онтологии


Думая над определениями, я постепенно и пришел к идее четырехместного предиката Mod(a,b,c,f), поскольку на его основе можно единообразным способом породить множество нужных производных предикатов. Хочу заметить, что Лесьневский использует два вида первичных переменных – пропозициональные переменные (этот класс выражений обозначается как «тип S») и именные переменные («тип N»). На основе этих первичных выражений языка могут образовываться более сложные выражения. Например, конъюнкция p  q может быть выражена как функтор (p,q), что соответствует типу (S,S)/S (порядок чтения – слева направо) - двуместному функтору на выражениях типа S, образующему в результате так же тип S. В общем случае, если даны типы Т1, Т2, …, Тn, то на их основе могут быть построены два вида n-местных функторов: имяобразующий функтор типа (Т1, Т2, …, Тn)/N и предложениеобразующий функтор типа (Т1, Т2, …, Тn)/S. Так продолжая и далее, можно строить бесконечную иерархию типов выражений L-Онтологии.

Я предположил, что, коль скоро функтор f в предикате Mod(a,b,c,f) несет смысл проектора, определенного на модусах и моделях, т.е. f(b,c) дает моду а, то функтор f, во-первых, должен иметь тип (N,N)/N, поскольку имена a, b, c для обозначений мод, модусов и моделей имеют тип N, т.е. это либо имена-константы, либо именные переменные. Следовательно, весь предикат Mod имеет тип: (N,N,N, (N,N)/N)/S. В соответствии с порядком мест 4-местного предиката Mod, я буду также называть моды 1-объектами (им отводится 1-место в предикате Mod), модусы – 2-объектами, модели – 3-объектами, проекторы – 4-объектами. С этими номерами будут связаны формы различных нотаций в Проективно-модальной онтологии.

Далее встал вопрос о производных предикатах, которые можно образовать на основе предиката Mod. Допустим, нам нужно ввести трехместный предикат Mod(a,b,c), утверждающий, что «а является модой модуса b в модели с». Здесь оказывается не важен конкретный проектор f, при котором образуется эта мода. Поэтому естественно определить предикат Mod(a,b,c) через Mod(a,b,c,f), связав в последнем квантором существования переменную f. Получим: Mod(a,b,c)  fMod(a,b,c,f). Так можно действовать и дальше, связывая кванторами существования те или иные переменные в Mod(a,b,c,f).

Под первичными определениями Онтологии я буду в первую очередь понимать прототетические определения вида


Dk1…km. (xk1,…,xkm)  хp1...хpnMod(xk,xp),


где (xk1,…,xkm) – определяемое выражение типа S. Выражение (xk1,…,xkm) содержит в качестве свободных переменных только переменные xk1,…,xkm типа , где 1≤kj≤4 при j=1,..,m, тип  - это либо тип N при kj < 4, либо (N,N)/N при kj = 4. Под обозначением хp1...хpnMod(xk,хp) имеется в виду выражение, образованное навешиванием кванторов существования хp1...хpn на предикат Mod по переменным хp1,...,хpn типа , где 1≤ps≤4 при s=1,..,n, и тип  - это либо тип N при ps < 4, либо (N,N)/N при ps = 4. В предикат Mod входят только переменные xk1,…,xkm и хp1,...,хpn, так что переменная kj стоит на kj-ом месте в предикате Mod, перменная ps – на ps-ом месте, и m+n = 4.

При m свободных переменных xk1,…,xkm в предикате Mod возможно всего = первичных определений. Так как m  1, n  1 и m+n = 4, то m может принимать три значения 1, 2 и 3. Отсюда общее количество первичных определений равно ++ = 4 + 6 + 4 = 14. Я буду обозначать выражения типа (xk1,…,xkm) также символом Modk1…km(a1,…,am), где выражения a1,…,am подставлены в предикат Mod на места вхождения переменных xk1,…,xkm соотв., согласуясь с ними по типам. Специально можно выделить следующие случаи (после двоеточия приведены уникальные обозначения выражения Modk1…km(a1,…,am)):


D123. Mod123(a,b,c) : Mod(a,b,c)  fMod(a,b,c,f),


где “Mod(a,b,c)” читается как “а есть мода модуса b в модели с” (т.е. универсальное обозначение Mod123(a,b,c) передано здесь как уникальное обозначение Mod(a,b,c). Индексы «1», «2» и «3» указывают номера мест в предикате Mod, переменные на которых не связаны квантором существования. Таким образом, здесь свободны 1-, 2- и 3-объекты, а 4-объекты связаны). Аналогично и ниже:


D12. Mod12(a,b) : Moda(a,b)  cfMod(a,b,c,f),

где “Moda(a,b)” читается как “a есть мода модуса b”


D23. Mod23(b,с) : Model(c,b)  afMod(a,b,c,f),

где “Model(c,b)” читается как “c есть модель для модуса b”


D1. Mod1(а) : Moda(a)  bcf Mod(a,b,c,f),

где “Moda(a)” читается как “a есть мода”


D2. Mod2(b) : Modus(b)  acf Mod(a,b,c,f),

где “Modus(b)” читается как “b есть модус”


D3. Mod3(с) : Model(c)  abf Mod(a,b,c,f),

где “Model(c)” читается как “c есть модель”


D4. Mod4(f) : Projector(f)  abcMod(a,b,c,f),

где “Projector(f)” читается как “f есть проектор”.


Во-вторых, под первичными определениями я буду понимать прототетические определения вида


DIik1…km. a ik1…kmb  xk1…xkm(yp1...ypnMod(...a...)  yp1...ypnMod(...b...)).

DEik1…km. a ik1…kmb  xk1…xkm(yp1...ypnMod(...a...)  yp1...ypnMod(...b...)).


Эти записи означают, что переменные xk1,…,xkm стоят соотв. на k1,…, km-ных местах, переменные yp1,..., ypn – на p1,..., pn-ных местах соотв. в предикатах Mod. Здесь m+n = 3, все i, kj и ps где j=1,.., m, s=1,.., n, не равны между собой. Термы а и b стоят на i-том месте в предикатах Mod. Переменные с индексом 4 (или стоящие на 4-м месте в предикатах Mod) – это переменные типа (N,N)/N. Все остальные переменные имеют тип N.

Из этих определений видно, что a ik1…kmb  (a ik1…kmb)  (b ik1…kma).

Выражение a ik1…kmb я буду называть «слабым ik1…km-включением а в b», выражение a ik1…kmb - «слабым ik1…km-равенством а и b».

Каждому «слабому равенству» «a ik1…kmb» соответствует свое «сильное равенство»:


DSE ik1…km. a =ik1…km b  a ik1…km b  Mod(…a…)  Mod(…b…),


где под обозначением Mod(…a…) здесь имеется в виду предикат Mod, в котором связаны кванторами существования все переменные, кроме переменной а, стоящей на i-том месте. В выражениях с индексной формой ik1…km индекс i может пробегать значения от 1 до 4, и при каждом фиксированном i m может принимать значения от 1 до 3. Таким образом, при каждом i получим ++= 3+3+1 = 7 вариантов определений, следовательно, всего 47 = 28 вариантов. Отношение с индексной формой ik1…km выражает равенство или включение i-объектов по k1-, k2-,…,km-объектам.

Например, модусы могут быть равны между собой по следующим семи основаниям:


a 21 b  x1(y3y4Mod(x1,a,y3,y4)  y3y4Mod(x1,b,y3,y4)) – равенство по модам


a 23 b  x3(y1y4Mod(y1,a,x3,y4)  y1y4Mod(y1,b,x3,y4)) – равенство по моделям


a 24 b  x4(y1y3Mod(y1,a,y3,x4)  y1y3Mod(y1,b,y3,x4)) – равенство по проекторам


a 21,3 b  x1x3(y4Mod(x1,a,x3,y4)  y4Mod(x1,b,x3,y4)) – по модам и моделям


a 21,4 b  x1x4(y3Mod(x1,a,y3,x4)  y3Mod(x1,b,y3,x4)) – по модам и проекторам


a 23,4 b  x3x4(y1Mod(y1,a,x3,x4)  y1Mod(y1,b,x3,x4)) – по моделям и проекторам


a 21,3,4 b  x1x3x4(Mod(x1,a,x3,x4)  Mod(x1,b,x3,x4)) – по модам, моделям и проекторам


Отдельно можно выделить следующие равенства и включения:


DE21. a 21 b : a  b  c(Moda(c,a)  Moda(c,b)),

где “a  b” читается как “a слабо равно b”


DSE21. a =21 b : a = b  a  b  Modus(a)  Modus(b),

где “a = b” читается как “a равно b”


DI21. a 21 b : a  b  c(Moda(c,a)  Moda(c,b)),

где “a  b” читается как “a слабо включено в b”


DE23. a 23 b : a * b  x(Model(x,a)  Model(x,b)),

где “a * b” читается как “a модельно равно b”


В-третьих, под первичными определениями я буду понимать т.н. валентные определения, среди которых, по крайней мере, содержатся следующие:


DPModa1. PModa(a)  b(Moda(b,a)  Moda(a,b))  Moda(a),

где “PModa(a)” читается как “a есть положительная (ненулевая) мода”

Здесь положительная мода определяется как такая мода, которая имеет не равную себе моду.


DNModa. NModa(a)  b(Moda(b)  Moda(a,b))  Moda(a),

где “NModa(a)” читается как “a есть нулевая мода”

Таким образом, нулевая мода определяется как мода всех мод.


DPModa2. PModa(a,b)  Moda(a,b)  PModa(a),

где “PModa(a,b)” читается как “a есть положительная мода модуса b”

Здесь вводится двуместный предикат, утверждающий, что а является не просто модой модуса b, но его положительной модой.


DPModus. PModus(a)  bPModa(b,a),

где “PModus(a)” читается как “a есть положительный модус”

Положительный модус определяется как модус, у которого найдется положительная мода.


DIModa. IModa(a)  Modus(a)  b(Modus(b)  Moda(b,a)),

где “IModa(a)” читается как “a есть бесконечный модус”

Бесконечный модус – модус всех модусов, т.е. все модусы являются его модами.


DAt. At(a)  PModus(a)  b(PModa(b,a)  (b =2134 a)), здесь “At(a)” читается как “a есть атом”. В этом смысле атом – это такой положительный модус, который не имеет отличных от себя положительных мод.


На основе отношения «быть положительной модой» также можно определить эквивалентность, когда два модуса a и b являются положительными модами друг друга. Эта эквивалентность (ниже будет показано, что это в самом деле эквивалентность) отличается от просто равенства двух модусов, представляя из себя более сильный – позитивный – вариант такого равенства.


^ Определение положительной эквивалентности


DPE. a  b  PModa(a,b)  PModa(b,a),

где “a  b” читается как “a положительно эквивалентно (равно) b”


Теперь после этих первичных определений я введу аксио