Реферат: Воснові всіх числових множин лежить натуральний ряд чисел. Елементи натурального ряду відображають найпростіші кількісні співвідношення

Еволюція поняття числа.

В основі всіх числових множин лежить натуральний ряд чисел. Елементи натурального ряду відображають найпростіші кількісні співвідношення.

, це рівняння має розв’язок в натуральних числах при , тому для отримання розв’язку при будь-яких були введені від’ємні числа та , які з натуральним рядом утворили множину . В цій множині рівняння має розв’язок при будь-яких цілих числах .

Розглянемо інше рівняння при і . Це рівняння не має розв’язків в цілих числах якщо не ділиться на . Тому , щоб одержати розв’язок рівняння при будь-яких цілих введені раціональні чисельні множини.

Розглянемо квадрат зі стороною рівною 1. Відомо, що діагональ квадрата в такому випадку рівна Покажемо, що не є раціональним числом.

Припустимо супротивне. і - взаємнопрості, тоді



, де

тобто мають спільний дільник , ця суперечність доводить твердження.

Для того щоб одержувати довжини відрізків було введено розширення множини раціональних чисел – множина дійсних чисел. Кожне дійсне не раціональне число можна записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.


, де . Відрізок ділимо на 10 різних частин, за беремо число, яке на 1 менше за номер відрізка на якому знаходиться число . Аналогічно цей відрізок ділиться на 10 рівних частин і за беремо число за номером відрізка на якому знаходиться число . Одержимо наступне Розглянемо рівнняння , де . Це ріняння має розв’язок в дійсних числах тільки якщо . Щоб одержати розв’язки цього рівняння при будь-яких необхідно ввести розширення поля дійсних чисел, а саме поле комплексних чисел. В цій множині рівняння має розв’язки при будь-яких комплексних .

Якщо - деякий многочлен з комплексними коефіцієнтами то рівняння завжди має корінь в полі комплексних чисел (Основна теорема алгебри).


Комплексні числа

Розглянемо рівняння , це ріняння має розв’язок в множині комплексних чисел, його позначимо через . Тоді . Множина - розширення множини дійсних чисел , тому . Для елементів множини введемо арифметичні операції:. Ці числа складові множини .

Комплексним числом називається число вигляду , де . Якщо то - дійсна частина , а - уявна частина комплексного числа . Якщо одержимо, що , дійсне число, якщо , то - чисто уявне комплексне число.

Числа і вважєють рівними якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто , .

Нехай комплексне число, тоді комплексноспряженим до нього назвемо число .