Реферат: Задачи: Убедится в практической значимости математики

ВВЕДЕНИЕ
Хотя паркеты не изучаются в школьной программе, в повседне۫вной жизни мы нередко встречаемся с покрытиями плоскости многоугольниками: полы в жилых домах застилают паркетами, стены ванных комнат покрывают кафельными плитками, современные здания украшают орнаментами

Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Я задумалась, а как много можно использовать правильных многоугольников в изображении паркета. Сколько всего существует паркетов?
^ Цель исследования: определить количество правильных паркетов
Задачи:

Убедится в практической значимости математики.

Закрепить знания свойств правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками.

Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.

Найти и изучить имеющийся материал о паркетах.
Проблема.
Выяснить насколько математика значима в строительстве и ремонте жилых помещений.

Сколькими разными фигурами правильных многоугольников можно уложить паркет в жилом помещении.
^ Гипотеза исследования.
Вокруг одной точки можно уложить плоскость без щелей:

1. С помощью одноимённых правильных многоугольников:

Тремя правильными шестиугольниками;

Четырьмя правильными четырехугольниками (квадратами);

Шестью правильными треугольниками.

2. С помощью правильных многоугольников двух различных форм:

Тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками.

Четырьмя треугольниками и одним шестиугольником.

Двумя треугольниками и двумя шестиугольниками.

Одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками.
^ Как проводили исследование:
Сформировали группу единомышленников для проведения исследования

Выбрали тему исследования

Сформулировали проблему исследования

Выдвинули гипотезу решения проблемы

Выяснили значение ключевых слов

Выяснили, каким количеством и какими правильными многоугольниками можно уложить плоскость вокруг одной точки

Оформили список используемой литературы.
^ Ключевые слова:
- Правильные многоугольники.

- Величина угла правильного многоугольника.

- Формула суммы углов правильного многоугольника.

- Натуральные числа.


^ История паркета

Во все времена и у всех народов в строительстве интерьера полам и их убранству уделялось большое внимание. Еще в древние времена в Египте, Индии, Китае, и во многих других странах создавали прочные и красивые полы. В средние века «паркету» стали уделять больше внимания, он стал неотъемлемой частью новых домов, дворцов и замков. Но своего художественного совершенства пол из «дубовых кирпичей» достигает к началу XVII века в разных странах Европы. Следует отметить, что художественная форма паркета тесно связана с общим стилистическим развитием искусства и архитектуры.

В общественных зданиях Древней Руси полы делали из дерева, досок или из «деревянных кирпичей». Начиная с XVI в. полы в России стали настилать из дубовых клепок, укладываемых рисунком, который носил название «елочка», а сам пол называли «косящатым». Клепки, как правило, укладывали на грубораспиленное основание из мягкой древесины, большей частью сосны. Исконное и широко распространенное народное искусство резьбы по дереву, а также навыки в художественной обработке и укладке пола в древнерусском зодчестве создали все предпосылки для быстрого развития художественного паркета в России.

Так, уже в XVII в. наиболее распространенным приемом укладки паркета был способ, называемый «дубовым кирпичом»: паркетины в форме кирпичей укладывали на известковой основе, швы между дубовыми кирпичами заливали известью, смешанной со смолой. Вдоль стен иногда делали дубовый бордюр. Такой паркет знали на Руси и раньше, он уже был известен по Дмитровскому собору во Владимире, по храму Василия Блаженного и Донскому монастырю в Москве. Но в отличие от тех полов к концу XVII в. он стал более искусным в художественном отношении. Паркет начала XVIII в. связан с русской резьбой. Высокохудожественная резьба по дереву и металлу процветала в XVII в. в московских мастерских Оружейной палаты. В 1711 г. Петр I закрыл эти мастерские, а всех резчиков перевел в Петербург на корабельные верфи. Эти кадры мастеров и были использованы адмиралтейством при изготовлении паркетов петербургских дворцов.

Архивные документы свидетельствуют, что из «столярных подмастерьев адмиралтейства Гаврила Семенов, Владимир Беклемишев и десять столяров из корабельных и галерных плотников, знающих столярные работы, да их охтинских столяров всего в количестве 38 человек были взяты в команду архитектора Чевакинского для устройства штуч ных полов для Зимнего дворца».

Для дворцовых паркетов в 1749 г. было прислано из Астраханской губернии 26 косяков и 64 креста дубового леса, которые хранили в запасном Смольном дворе вместе с косяками грушевого дерева, кизилового карагача, чинары, самшита, ясеня и буковых кряжей — об этом мы узнаем из истории Царского села, выпущенной в свет в 1827 г. Весь перечисленный запас древесины в 1750 г. был отправлен в Царское село и послужил материалом для первых наборных паркетов. В дальнейшем ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, значительно увеличился, и наряду с местными породами стали все более широко применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев, среди которых были якаранда, жикитиба, чефраз.

Эти разнообразные сорта деревьев по расцветке древесины и по рисунку наслоений давали возможность мастерам набирать самые прихотливые и нарядные узоры паркетом. В зависимости от материалов паркет носил различные названия: цветной (набранный из привозных деревьев), полуцветной, штучный (набранный из местных пород) и дубовый.

Паркет — лицевой слой пола, настилаемый по определенному рисунку из отдельных строганых дощечек (клепок). Паркетом называют также и сам материал, из которого выкладывается паркетный пол. Полы из паркета настилаются в жилых и общественных зданиях, они отличаются красивым внешним видом, малой тепло- и звукопроводностью. Для изготовления паркета применяется древесина дуба, ясеня, клена, бука, вяза, ильма, граба, сосны, лиственницы и березы, а для художественного паркета, помимо этого, и древесина таких ценных пород, как орех, красное дерево, черное дерево и др. Наиболее практичной породой дерева для паркета является дуб.

По текстуре древесины паркет разделяется на радиальный и тангенциальный. При радиальном рисунке годовых колец полосы на клепках параллельны, паркет красивый и дорогой. При тангенциальном, когда наплывы колец хаотичны, рисунок более живой, а паркет — более дешевый. Очень редко можно еще встретить поперечный распил с концентрическим рисунком годовых колец. Вообще, особняком стоят, не похожие на другие породы дерева, клепки из карельской березы. Последние два вида широкого применения не имеют и используются лишь для небольших фрагментов в наборном художественном паркете.

В зависимости от способа изготовления различают паркет планочный (или наборный), щитовой (иногда модульный) и щитковый (тафельный).

Лучшими техническими и художественными качествами обладает щитовой паркет, распространенный в России в XVIII—XIX вв. Для щитового паркета употреблялось свыше 50 пород древесины разнообразного рисунка (текстуры) и окраски. Изготовляемые отдельно части узора либо врезывались в основную породу, служившую общим фоном (так называемая интарсия), либо наклеивались на общее основание и плотно пригонялись друг к другу (маркетри). В создании паркета использовалась главным образом природная окраска древесины, а подкраска, подкуривание, инкрустация другими материалами и своеобразная гравировка дерева применялись редко. Основы технологии настилки паркета почти не изменялись до последней четверти XX века, часто встречаются и в наши дни. Постепенно эти работы механизируются — для резки паркета сейчас применяются циркулярные пилы, для шлифовки — специальные станки. Криволинейные участки и различные узоры для художественного паркета также выполняются на специальных станках или лазером по специальной программе ЭВМ.

Срок службы паркета в большой степени зависит от правильной его эксплуатации. Паркет нельзя мыть и оставлять длительное время ненатертым; он должен чиститься влажными опилками, тряпками и щетками; вычищенный паркет следует натерать воском или мастиками не реже одного раза в месяц. Однако более практично паркет покрыть лаком.

Нельзя не сказать несколько слов и еще об одном типе пола — ламинированном, выпуск которого начался в Швеции двадцать лет назад. Это — не паркет, хоть похож на паркет, уложенный рисунком «палуба». Пол прочен, имеет хороший вид, требует минимальных затрат труда на уборку, легко и просто настилается, для устройства такого пола не требуется высокой квалификации мастеров, но нужно соблюдать технологию и работать аккуратно.

В его основе — новый композиционный материал — искусственно созданные трехслойные пластины толщиной всего 8 мм. Он может настилаться на любой старый пол, при этом его не нужно приклеивать или прибивать гвоздями — это так называемый «плавающий пол».


^ Ход исследования

Итак, чтобы определить кол-во правильных паркетов, прежде всего вспомним определение правильных многоугольников из учебника А. Атанасяна «Геометрия 7-9»:

«Правильным многоугольником называется выпуклый многогранник, у которого все углы и все стороны равны». Что же называется правильным паркетом?

Приведу определение, данное И.М. Смирновой и В.А. Смирновым в учебном пособии «Многоугольники».

Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Обратившись к статье О. Михайлова из журнала «Квант», я узнала что паркетов, необязательно правильных существует бесчисленное множество. Однако, подобно тому как при бесчисленном множестве многогранников вообще существует лишь конечное число правильных многогранников, так и при бесчисленном множестве паркетов, существует лишь конечное число правильных паркетов.

Обозначим через n число сторон правильного многоугольника, тогда ( n – 2 ) · 180 – сумма всех внутренних углов многоугольника - каждый угол правильного многоугольника.

Чтобы можно было сгруппировать вокруг какой – то точки определенное число одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 360.

Наименьшее число n может равняться 3.

Этап I

Если n = 3, то , значит это возможно сделать


правильными треугольниками и их число равно 360 : 60 = 6.




Этап II

Если n = 4, то , значит это возможно сделать

правильными четырехугольниками (квадратами) и их число равно 360 : 90 = 4.




Этап III



Если n = 6, то . 360 : 120 = 3 – натуральное число, значит


это возможно тремя правильными шестиугольниками.



Этап IV

Если n = 5 и n > 6 значение дроби больше 120 и правильных многоугольников не существует.
^ Вывод первый:
Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов, следующими одноимёнными правильными многоугольниками:

- шестью правильными треугольниками (рисунок 1);

- четырьмя квадратами (рисунок 2);

- тремя правильными шестиугольниками (рисунок3).








Рисунок2 Рисунок 3 Рисунок 1

Этап V

Обозначим n – количество треугольников, m – количество квадратов, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+90m=360.

Рассмотрим следующие случаи:

1) Если n = 1, то 90m = 360-60·1;

90m = 300;

m =.

При n = 1, задача решений не имеет.

2) Если n = 2, то 90m = 360-60·2;

90m = 240;

m =.

При n = 2, задача решений не имеет.

3) Если n = 3, то 90m = 360-60·3;

90m = 180;

m =.

При n = 3, m = 2 задача имеет решение.

4) Если n = 4, то 90m = 360-60·4;

90m = 120;

m =.

При n = 4, задача решений не имеет.

5) Если n = 5, то 90m = 360-60·5;

90m = 60;

m =

При n = 5, задача решений не имеет.

При n большем пяти, задача решений не имеет, так как значения получаются больше 360.

Вывод: Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов

тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками.




Этап VI

Обозначим n – количество треугольников, m – количество шестиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+120m=360.

Рассмотрим следующие случаи:


1) Если n = 1, то 120m = 360-60·1;

120m = 300;

m =.

При n = 1, задача решений не имеет.

2) Если n = 2, то 120m = 360-60·2;

120m = 240;

m =.

При n = 2, m = 2 задача имеет решение.

3) Если n = 3, то 120m = 360-60·3;

120m = 180;

m =.

При n = 3, задача решений не имеет.

4) Если n = 4, то 120m = 360-60·4;

120m = 120;

m =.

При n = 4, m = 1 задача имеет решение.

5) Если n = 5, то 120m = 360-60·5;

120m = 60;

m =

При n = 5, задача решений не имеет.

При n, большем пяти, задача решений не имеет, так как значения получаются больше 360.

Вывод: ^ Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов двумя

треугольниками и двумя шестиугольниками ;

четырьмя треугольниками и одним шестиугольником.




Этап VII
Обозначим n – количество квадратов, m – количество восьмиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 90n+135m=360.

Рассмотрим следующие случаи:


1) Если n = 1, то 135m = 360-90·1;

135m =270;

m =.

При n = 1, m = 2 задача имеет решение.

2) Если n = 2, то 135m = 360-90·2;

135m = 180;

m =.

При n = 2, задача решений не имеет.

3) Если n = 3, то 135m = 360-90·3;

135m = 90;

m =.

При n = 3, задача решений не имеет.

4) Если n = 4, то 135m = 360-90·4;

135m =0;

m =.

При n = 4, задача решений не имеет.

При n, большем четырёх, задача решений не имеет, так как значения получаются больше 360.

Вывод: Вокруг одной точки можно уложить плоскость без пробелов

одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками




^ Вывод второй:
Вокруг одной точки можно уложить плоскость ,без пробелов, следующими правильными многоугольниками двух различных форм:

- тремя треугольниками и двумя четырёхугольниками.

- треугольниками и двумя шестиугольниками ;

- четырьмя треугольниками и одним шестиугольником.

- одним четырёхугольником и двумя восьмиугольниками.




Где применить правильные многоугольники, человеку подсказка сама природа.

Пчелы – удивительно творцы. Геометрические способности пчел проявляется при построение сот. Возникают вопросы: “Почему пчелы строят соты именно так? Почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?”

Почему пчела выбрала правильный шестиугольник?

Во-первых, в каждой точке сходится не более трех шестиугольников. Во-вторых, при таком построение мало уходит воска. Поэтому, если мы хотим разбить поле на участки так, чтобы на ограждения пошло как можно меньше материала, то участкам нужно будет придавать форму правильных шестиугольников.

Подобные расчеты находят применение в обувной промышленности. Для изготовления обуви используют колодки определенных размеров. Для определения размера используют паркет, составленный из правильных шестиугольников.

В математике 6 является совершенном числом. Есть много примеров: в Древней Греции на 6 – м месте на званом перу возлежал самый уважаемый и самый знаменитый и почетный гость; в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей; в Библии утверждается, что мир создан за 6 дней. 6 – самое маленькое, самое первое совершенное число, не даром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер.

Обратим внимание на один из видов народного ремесла. Этот древний вид искусства использовали разные народы. У тех, кто дома пользуется иголкой и ножницами, всегда остаются лоскутки тканей. Из них можно изготовить покрывала, наволочки, коврики.


Заключение

В результате изучения научной литературы о паркетах я подробно изучила паркеты, поняла принципы их построения, научилась строить паркеты с помощью компьютерных программ, сделала вывод, что правильных паркетов одиннадцать, увидела их широкое применение в жизни людей, обнаружила связь геометрии и информатики.

В результате изучения данной темы я поняла, что существует бесчисленное множество паркетов, но правильных только одиннадцать. Назначение своей работы я вижу в её использовании на занятиях элективных курсах, уроках и внеклассных мероприятиях.

Работа выполнялась в течение года, при подготовке работы использовались статьи Колмогорова, Михайлова о паркетах из журнала «Квант», учебное пособие И.М. Смирновой и В.А. Смирнова «Многоугольники», учебник «Геометрия 7-9» А. Атанасяна,

интернет-ресурсы.

Одним из важных этапов был выбор темы, в этом мне помогла мой преподаватель математики Мукина С.Г. В процессе работы я узнала много нового, интересного. Данная тема дала мне возможность математического, информационно-технологического творчества, и уже поэтому я оцениваю свою работу: хорошо выполненной.

Кроме того, полученные результаты довольно интересны и открывают широкие перспективы дальнейшего развития работы и применения полученных результатов. Также хочу сказать, что свою работу я планирую продолжить, меня сильно поразили рисунки Эшера и я хочу продолжить работу, добавив в неё материал об орнаментах и рисунках Эшера.
^ Применение исследовательской работы: Использование данной исследовательской работы в строительстве и ремонте жилых помещений.


Используемая литература:

Геометрия 7 – 9 , учебник для общеобразовательных школ.


П.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и другие,13 – е издание, Просвещение , 2003 г.


Иванов И.И. «Метод проектов», Учебное пособие, 1999 г.


Щепан Еленьский «По следам Пифагора», Занимательная математика, 1961 г.


Журнал «Математика в школе» , № 3 (1993 г.).


http://distkonf2009.forum24.ru/


Приложение

Некоторые формы паркетов