Реферат: Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка квадратичная форма от двух переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Тема 7


КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Квадратичная форма от двух переменных. Приведение квадратичной формы

к каноническому виду.


Пусть A, B, C- некоторые действительные числа, не обращающиеся в нуль одновременно.

Рассмотрим однородный многочлен второй степени

(1)

«Однородный» означает, что в многочлен входят только члены второй степени,

при этом степень второго слагаемого есть сумма степеней l и m в этом слагаемом.

Такой многочлен называется квадратичной формой от двух переменных l и m.

Чтобы пояснить геометрический смысл приведения квадратичной формы к каноническому (наиболее простому) виду, рассмотрим

Пример. Дана квадратичная форма


Перейдем к новым переменным l’, m’ по формулам



Имеем (2)



Говорят, что при этом квадратичная форма приняла канонический вид( в данном случае исчезло слагаемое с произведением l’, m’).

Рассмотрим уравнение, в левой части которого стоит данная квадратичная форма:



Это- уравнение кривой второго порядка. Указанное преобразование координат переводит это уравнение в уравнение вида

или



Линия с таким уравнением является эллипсом с полуосями a=1, b=2.


Если записать более общее преобразование (поворот осей Olm на угол )

(3)

то в нашем случае tg=½, и переход к новым переменным l’, m’ означает поворот осей Olm на угол , для которого tg=½. Известно, что уравнение является каноническим уравнением эллипса (в системе координатOl’m’). Так что линейное преобразование (2) переменных l, m приводит к новой системе координат Ol’m’, в которой эллипс имеет каноническое уравнение (повторим, что при этом в квадратичной форме исчез член с произведением текущих координат).

Вернемся к квадратичной форме (1). Приведем ее к каноническому виду, для этого повернем координатные оси на угол  так, что в новых координатах l’, m’ исчезнет слагаемое, содержащее произведение l’ m’(или исчезнут слагаемые с квадратами переменных l’ и m’, что соответствует, как мы увидим ниже, гиперболическому случаю). Рассмотрим кривую второго порядка

(4)

Пусть коэффициенты A, B, C таковы, что эта кривая представляет собой одну из следующих кривых: невырожденный эллипс, невырожденную гиперболу, невырожденную параболу.

После приведения формы (1) к каноническому виду приведется к каноническому виду и уравнение этой кривой.

Уравнение (4) определяет эллипс, если AC-B2>0 (проверьте, что в приведенном выше примере это неравенство выполняется),

гиперболу, если AC-B2<0.

Если AC-B2=0, то уравнение (4) определяет параболу.


^ Приведение к каноническому виду

линейного дифференциального оператора второго порядка.

Классификация дифференциальных уравнений с частными производными.


Рассмотрим линейный дифференциальный оператор



где A, B, C- те же действительные числа, что и в (1).

Применим этот оператор к функции u(x, y):



Сделаем линейное преобразование (сравните с (3)):



При этом

Имеем

где точки заменяют слагаемые, не содержащие частные производные функции u(x’, y’) второго

порядка. Таким образом, выражение Lu(x, y) принимает вид

где

(5)

В то же время рассмотрим квадратичную форму (1). Положим в (3)

Покажем, что с помощью преобразования (6)

она переходит в квадратичную форму с коэффициентами  из(5):



Итак,

Рассмотрим кривую второго порядка Приведем это уравнение к каноническому виду, подобрав соответствующее значение угла  в (6). Мы видели, что возможны три случая.

1. AC-B2>0, кривая (4)- эллипс.

2. AC-B2<0, кривая (4)- гипербола.

3.AC=B2, кривая (4)- парабола.

Соответственно этому дифференциальный оператор L называется

В случае 1. эллиптическим,

в случае 2. гиперболическим,

в случае 3. параболическим.

При AC-B2>0 квадратичная форма (1) приводится к виду (в координатах 

При AC-B2<0- к виду (или 2

При AC-B2=0- к виду 2.

В соответствии с этим оператор Lu после преобразования (3) перейдет

при AC-B2>0 в оператор , >0 (7.i)

(каноническая форма эллиптического оператора);

при AC-B2<0 в оператор , <0 или (7.ii)

(каноническая форма гиперболического оператора);

при AC-B2=o в оператор (7.iii)

(каноническая форма параболического оператора).

Если дифференциальное уравнение Lu=F(x, y) с некоторой функцией F(x, y) с помощью преобразования (3) перешло в уравнение где функция, в которую при этом перешла функция F(x, y), а имеет один из указанных видов (7.i)- (7.iii), то данное уравнение называется эллиптическим в случае (7.i), гиперболическим- в случае (7.ii), параболическим- в случае (7.iii).

В задачах, которые мы рассмотрели на предыдущих лекциях, мы встретились

1) с уравнением Лапласа легко проверяется, что уравнение Лапласа является уравнением эллиптического типа;

2) с волновым уравнением легко проверяется, что волновое уравнение является уравнением гиперболического типа;

3) с уравнением теплопроводности легко проверяется, что уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа.

Эти уравнения стали уже классическими. Они называются уравнениями математической физики.


При описании физических процессов в неоднородных средах возникают дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и краевые задачи для них. В XIX в. такие задачи иногда удавалось решить, делая замену переменных, позволяющую сводить исходное уравнение к уравнению, разрешимому в квадратурах. Это привело к идее классификации уравнений в частных производных второго порядка. В 1889г. немецкий математик Поль Дюбуа- Реймон (1831- 1899г.г.) выделил три классических типа уравнений, о которых мы только что говорили.


Пусть в некоторой открытой области Oxy рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (предполагается равенство коэффициентов ):

(8)

Это уравнение называется эллиптическим в области , если оно является эллиптическим в каждой точке (x, y).

Уравнение (8) называется гиперболическим (параболическим) в области , если оно является гиперболическим (параболическим) в каждой точке (x, y).


Литература та же, что в теме 1.0>0>