Реферат: Тема 1-2 курс

Темы курсовых работ

на 2011-2012 учебный год

доцент П.А.Сапонов


Курс

Тема

1-2 курс

. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.

Определение, способ построения, важнейшие свойства.

Литература: М.А. Наймарк, «Теория представлений групп», М., Наука, 1976.

страницы 382-388.


2-3 курс

2. Алгебры Хопфа: определение и простейшие примеры.

Предлагается разобраться в определении алгебры Хопфа и рассмотреть простейшие примеры: универсальная обертывающая алгебра простой алгебры Ли, алгебра функций на группе Ли, квантовая универсальная обертывающая алгебра Uq(sl(2)).

Литература: а) Ю.А. Бахтурин «Основные структуры современной алгебры», Москва, издательство «Наука», 1990.

б) Н.Решетихин, Л. Тахтаджян, Л. Фаддеев, «Квантование групп Ли и алгебр Ли», Алгебра и Анализ, том 1, выпуск 1 (1989) стр. 178-206.

Для 2-3 курса.


3. Пространство Фока квантового гармонического осциллятора.

Разобраться в алгебраическом решении задачи о квантовании одной из важнейших механических систем — одномерного гармонического осциллятора. Выяснить связь пространства Фока и универсальной обертывающей алгебры нильпотентной алгебры Гейзенберга.

Литература: Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский, «Лекции по квантовой механике для студентов-математиков», изд. Ленинградского университета, 1980, стр. 76—79. (для студентов, не посещающих лекции по квантовой механике).


3-4 курс

^ 4 . Цепочка Тоды как динамическая система на орбите коприсоединенного действия группы треугольных матриц.

Выяснить, как уравнения движения классической цепочки Тоды (интегрируе- мой физической системы многих частиц на прямой или окружности) связана с

Пуассоновой структурой на орбите коприсоединенного действия группы треугольных матриц на пространстве, дуальном к соответствующей алгебре Ли.

Литература: A.M. Perelomov, «Integrable systems of Classical Mechanics and Lie Algebras», Birkhauser Verlag, 1990, параграфы 1.11, 1.12 и глава 4..

^ 5. Уравнение Кортевега-де-Фриза и его солитонные решения.

Уравнение Кортевега-де-Фриза является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных. Один из важнейших примеров интегрируемых уравнений математической физики. Имеет так называемые солитонные решения — в виде локализованных волновых пакетов, сохраняющего свою форму при движении (отсутствие дисперсии).

Литература: A. Das, «Integrable Models», World Scientific Lecture Notes in Physics, Vol. 30, 1989.


2-4 курс

6. Алгебра уравнения отражений и теория ее конечномерных представлений.

Алгебра уравнения отражений является одной из квантовых матричных алгебр с широкой областью приложений в математической физике.

Литература: а) P.Saponov, "Weyl approach to representation theory of reflection equation algebra", Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 37, no. 18 (2004) pp. 5021--5046.

б) Д. Гуревич, П. Пятов, П. Сапонов, ''Теория представлений алгебры уравнения отражений GL(m|n) типа'', Алгебра и Анализ, том 20, no. 2 (2008), стр. 70—133.