Реферат: Вступление: Можете использовать эти доказательства и определения как хотите, они предоставляются по принципу «as is»… т е

ü http://justworks.ru/vmk

Вступление: Можете использовать эти доказательства и определения как хотите, они предоставляются по принципу «as is»… т.е. никакой ответственности за их 100%ю правильность нет, ибо они не очень просты и я умею ошибаться…Соответственно, приветствуются вопросы и поправки… ICQ: 411-928-384


Поля

Необходимые определения:

1. Поле – кольцо, являющееся группой по умножению. (Пример: {R,+,*})


2. Если F2 подмножество F1, то F1 – расширение F2 (Записывается: F1 = F2(M), где множество добавленное к F1 для получению F2)


3. Раcширение поля F простое, если оно получается добавлением одного элемента (это НЕ значит «числа», элементом может быть все что угодно, в том числе, какая то линейная комбинация чисел)

Простое расширение можно представить себе следующим образом:

F(∂) = {a0+a1∂+a2∂2+…|ai из F}


4. Минимальный многочлен для ∂ над F – многочлен наименьшей степени, корнем которого является ∂


5. Многочлен неприводим над F, если он не раскладывается в произведение 2-х сомножителей многочленов (как минимум первой степени)


Маленькая лемма, которую я посчитал нужным доказать отдельно от теоремы.

Лемма: Пусть g(x) минимальный многочлен для α в поле F, α не принадлежит F, тогда g(x) не приводим над F

Доказательство:

Пусть g(x) приводим над F, тогда g(x) = f(x)*s(x) где α корень либо f(x) либо s(x) (ведь это же корень g(x)). Из того, что степени f(x) и g(x) меньше, чем g(x) мы получаем новый многочлен, степени меньшей, чем g(x) корнем которого является α, что противоречит тому, что g(x) – минимальный многочлен.


Теорема: Всякое конечное алгебраическое расширение является простым

Дано: F(α, β)

Доказать: Существует ∂ из F(α, β), такое что F(∂) = F(α, β)

Доказательство:

Пусть g(x) и f(x) минимальные многочлены над F для α и β соответственно.

α1 … αn – корни g(x)

β1 … βm – корни f(x)

Пусть для определенности α1 = α и β1 = β

f(x) и g(x) взаимно просты над F, т.к. g(x) неприводим над F (по лемме)

Найдем в F такое c, что αi + c*βj ≠ α1 + c*β1 для всех пар (i, j) отличных от (1, 1)

Возьмем из F(α, β) ∂ = α + c * β.

f(x) имеет корнем β

g(∂ - c*x) имеет корнем β (т.к. ∂ - c * β = α, а α – его корень)

Заметим, что f(x) и g(x) многочлены коэффициенты, которых принадлежат F(∂) (g(x) можно упростить до такого многочлена, возведя все в нужные степени и приведя подобные слагаемые).

Имеем НОД(f(x), g(∂ - c*x)) = x – β. (над F(∂))

А здесь делаем заключение: НОД 2-х многочленов над заданным полем будет иметь коэффициенты над тем же полем, т.е. β из F(∂), но и ∂ из F(∂). Следовательно и α (их линейная комбинация) будет находиться в F(∂). А отсюда имеем, что F(α, β) – подмножество F(∂) (т.к. и α и β мы можем найти в F(∂))

Но ∂ = α + c * β (всего лишь их линейная комбинация) и следовательно F(∂) – подмножество F(α, β). Вспомним Прилуцкого (недобрым словом?) и хором скажем: «Тогда F(α. β) = F(∂)»

Вот, собственно, и все…


^ Конечные поля


Определение: n – характеристика поля, если 1+1+…+1 (n раз) = 0 (n единичных элементов по умножению в сумме дают единичный по сложению)


Утверждение: Если поле имеет конечную характеристику, то она – простое число

Доказательство:

Пусть n – характеристика поля и n = p * q, (p ≠ 0, q ≠ 0), тогда рассмотрим g1 = (1+1+…+1)pраз и g2 = (1+1+…+1)qраз g1 * g2 = 0, следовательно g1 не имеет обратного (чего не может быть)...

(если бы g1 имел обратный то при умножении нашего равенства g1 * g2 = 0 на него слева, получили бы g2 = 0, что означало бы что q – характеристика поля)


Утверждение: Если поле F имеет характеристику p, то оно содержит поле вычетов по модулю p: Zp = {0, 1, … p-1}

Доказательство:

Если поле имеет характеристику p, то оно содержит элементы 1, 1+1, 1+1+1, (1+1+…+1)pраз = 0, т.е. содержит Zp = {0, 1, … p-1}. НО: из этого еще не следует что это поле вычетов. То что это именно поле следует из того, что p – простое (по выше доказанному).


^ Примечание: Такая конструкция будет полем вычетов тогда и только тогда, когда p – простое (в противном случае возникают делители нуля и это будет только кольцо)


Утверждение: Конечное поле имеет порядок pk, где p – простое число.

Доказательство:

Рассмотрим конечное поле F c характеристикой p. По выше доказанному, оно содержит в себе поле вычетов по модулю p, т.е. Zp = {0, 1, … p-1}, тогда F – расширение Zp. Пусть a1, a2…an – базис надстройки F над Zp. Тогда каждый элемент из F представим в виде:

a1 * x1 + … + an * xn, где xi из Zp, т.е. |F| = pk

Теперь нам предстоит доказать, что такое расширение F существует (т.е. его можно построить). Рассмотрим мультипликативную(т.е. относительно умножения) группу F\{0}.По следствию из т. Лагранжа имеем: x(p^k)-1 = 1 для любого элемента x из F\{0}. Следовательно, все элементы F\{0} удовлетворяют этому уравнению. Но тогда все элементы F удовлетворяют уравнению: xp^k = x, т.е. являются корнями многочлена f(x) = xp^k – x, не нулевые его корни являются корнями g(x) = x(p^k)-1 – 1.

g’(x) = (pk-1)x(p^k)-2 , тогда g(x) и g’(x) не имеют общих корней, следовательно, различны и все корни многочлена f(x), т.е. наше поле действительно существует и |F| = pk.