Реферат: Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора, а в Египте это соотношение использовалось для построения прямого угла еще пять тысяч лет назад. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более пятиста, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и прочих. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

Существует так называемое дерево Пифагора - гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольных треугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами.

У теоремы Пифагора есть следствие для произвольного треугольника:
^ Сторона треугольника равна корню квадратному из суммы квадратов двух других ее сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В виде формулы это записывается так:

a2 = b2 + c2 - 2bc*cos α

Это следствие принято называть теоремой косинусов, но по сути - это теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Существует три формулировки теоремы Пифагора:

^ 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

^ 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.


ДОКОЗАТЕЛЬСТВА:

На рисунке изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2= a2+ b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.




^ 2) Доказательство ан-Найризия*
Доказательство ан-Найризия тоже довольно легкое. Оно примечательно тем, что все фигуры совпадают с равными им исключительно при параллельном переносе.
Дано: при разделении на фигуры надо учитывать, что DE=BF.
Доказательство:
По чертежу ясно видно, что фигруы. отмеченные одинаковыми цифрами, равны. Треугольники 1 и 1, 3 и 3, 4 и 4 равны между собой. Четырехугольники 2 и 2, 5 и 5 также равны. Следовательно, теорема доказана.


* - Латинизированное имя - Аннариций.

^ 3) Одно из возможных доказательств Пифагора
Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, возможно принадлежащих Пифагору.
Дано: ΔАВС - прямоугольный с прямым углом С; СМ - высота; b1 - проекция катета b на гипотенузу, а1 - проекция катета а на гипотенузу.
Доказательство: Из того, что ΔABC подобен ΔACM следует:

b2 = cb1; (1)

из того, что ΔABC подобен ΔBCM следует:

a2 = ca1. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.Теорема доказана.
Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.


^ 3) Доказательство Гарфилда
Дано: Три пря моугольных треугольника.
Доказательство: На иллюстрации три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

S = (a + b)2,

а во втором случае

ab/2 + ab/2 + c2/2.

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.




^ 4) Доказательство основанное на теории подобия.
В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия треугольников (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.
Т.к. катеты прямоугольного треугольника являются средним геометрическим между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, имеем:

a2 = a1c и b2 = b1c.

Складывая почленно эти равенства, получаем:

a2 + b2 = c2.

Теорема опять доказана.


Циолколвский

Королёв

Гагарин

Ловаль


Ватт

Никола Леонаром Сади Карно (1824)