Реферат: Мысли и афоризмы

Цели: познакомить уч-ся с историей развития геометрии, показать значимость теоремы



История теоремы
Мысли и афоризмы
На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом.

Истинное отечество там, где есть благие нравы.

Не будь членом учёного общества: самые мудрые, составляя общество, делаются простолюдинами.

Почитай священными числа, вес и меру, как чад изящного равенства.

Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.

Ничему не удивляйся: удивление произвело богов.

Если спросят: что есть древнее богов? - ответствуй: страх и надежда.



Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора, а в Египте это соотношение использовалось для построения прямого угла еще пять тысяч лет назад. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более пятиста, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и прочих. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

Существует так называемое дерево Пифагора - гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольных треугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами.

У теоремы Пифагора есть следствие для произвольного треугольника:
^ Сторона треугольника равна корню квадратному из суммы квадратов двух других ее сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В виде формулы это записывается так: теорема Пифагора для произвольного треугольника.

a2 = b2 + c2 - 2bc*cos α


Существует три формулировки теоремы Пифагора:


^ 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

^ 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.
Формула Герона
Выведем формулу для определения площади треугольника через длины его сторон. Эту формулу связывают с именем Герона Александрийского - древнегреческого математика и механика. Герон уделял много внимания практическим приложениям геометрии.

Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны а, b и с, вычисляется по формуле:

S2=p(p-a)(p-b)(p-c), где p - полупериметр треугольника.


Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ=c, ВС=a, AC=b. Во всяком треугольнике по крайней мере да угла острые. Пусть А и В - острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введем обозначения: СН=h, AH=y, HB=x.
По теореме Пифагора

a2 - x2 = h2 = b2 - y2,


откуда

y2 - x2 = b2 - a2, или (y - x)(y + x) = b2 - a2,

а так как y + x = c, то y - x = (b2 - a2)/c. Складывая два последних равенства, получаем:

2y = (b2 - a2)/c, откуда: y = (b2 + c2 - a2)/2c,


и, значит,

h2 = b2 - y2 = (b - y)(b + y) = (a2 - (b - c)2)((b + c)2 - a2)/4c2 = ((2p - 2b)(2p - 2c)(2p - 2a)2p)/4c2 = (4p(p - a)(p - b)(p - c))/c2

S2 = (h2c2)/4 = (4pc2(p - a)(p - b)(p - c))/4c2 = p(p - a)(p - b)(p - c)

Следствие: Площадь равностороннего треугольника со стороной а выражается формулой:

S2= 3a4/16


Это следствие принято называть теоремой косинусов, но по сути - это

теорема Пифагора для произвольного треугольника.





^ Перпендикуляр и наклонная Теорема Пифагора имеет три следствия:

1. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная больше перпендикуляра.

^ 2. Равные наклонные имеют равные проекции.

3. Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше





^ Египетский треугольник
Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Он получил такое название. оттого что был известен и широко применялся еще древними египтянами. Они с помощью такого треугольника строили прямые углы на местности, что имело для них огромное значение, так как каждый год разливы Нила размывали границы между полями, и приходилось заново размечать их. Это делалось очень просто: на веревке узлами отмечалось 12 равных отрезков, а потом из этой веревки складывали треугольник, и угол, оказавшийся напротив стороны 5, являлся прямым.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

^ Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3 ² + 4 ² = 5²

было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.