Реферат: Число выступает основной «динамической харак­теристикой», отражающей как порядок возникновения, так и способ отношения с космическим целым

Глава 3

ОКТАВА


Musika est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi

G.-W.-F. Leibniz


(«Музыка есть потаённое арифметическое упражнение души, не умеющей исчислить самое себя»)

Лейбниц


Итак, мы удостоверились в том, что пропорции тетрактиды (1:2:3:4), согласно Тимею, служат «гармонической скрепой» космического тела, а значения чисел Октавы, в которых эти пропор­ции проявлены, соотнесены со всем многообразием возникших вещей, для которых число выступает основной «динамической харак­теристикой», отражающей как порядок возникновения, так и способ отношения с космическим целым. Этот грандиозный абстрактный план разделённого единства в своей совокупности формирует «тело вре­мени» - той феноменальной реальности, с которой мы лишь и имеем дело в каждом конкретном случае. Эта реальность является фрак­тальным по­добием Целого – его κυνητη εικον – «подвижной иконой».

Легко заметить, насколько этот подход – кстати, вовсе не явля­ющийся прерогативой только Платона, давшего «квинтэссенцию» повсе­местно рас­пространённой в древности доктрины, известной сейчас глав­ным образом в одной специфической её форме - «западной Кабалы» - созвучен столь бурно развившемуся сравнительно недавно фрактально-геометрическому методу анализа нелинейных систем. Естественно, бронзово­му веку не было дела до функционального анализа и компьютерного моделирования, но не порази­телен ли в высшей степени тот факт, что основные черты современного на­учного направления, сместившего акцент от описания мира как уравнения к описанию его как «узора» - паттерна, создающего в непрерывном разви­тии «узоры» всё возрас­тающей сложности - был парадигматически, в глав­ных чертах и на самой общей основе‚ предугадан в космологических по­строениях Тимея? Наука заворожена открывшейся перед ней сверхсложностью естественных процессов - но как знать, не есть ли обнаруживаемые ею всё более глобальные закономер­ности лишь отражения, в конеч­ном итоге, паттерна наиболее общего порядка - законов функционирования самого сознания?

Артур Шопенгауэр в “^ Die Welt als Wille und Vorstellung” (т.2‚ гл.4), предваряя свою таблицу «основных понятий a priori», гово­рит следующее:


«Данную таблицу можно рассматривать либо как свод вечных основных законов мира, следовательно, как основу онтологии, либо как главу физиологии мозга, в зависимости от того, приня­та ли реалистическая или идеалистическая точка зрения, хотя в по­следней инстанции правильной окажется вторая»1.


Такого рода следствия естественно проистекали из критических прозре­ний Канта. В приводимой Шопенгауэром таблице чистых (до опытных) ос­нований познания, пункт 1.1, читаем:


«Существует только одно время, и все раз­личные времена - его части».

И далее (^ 1.8):

«Посредством времени мы считаем»2.


Два этих положения могли бы иллюстрировать учение, развёрнутое Тимеем, но Платон куда более точен: его число есть форма частного вре­мени (как различия - μὴ ὀν) относительно «Единого» (как тождества - το ἑν). В его космосе пропорция тетрактиды (1/2/3/4) образует паттерн развития, согласованный с «четырьмя элементами» натурфилософии, а всё последую­щее многообразие мира - «движение» и «дыхание» космоса - есть образуе­мое этим паттерном фрактальное множество значений 3n/2m (где n и m свя­заны определённым рит­мом) чисел конкретного времени, отвечающих гармоническим ступеням обобщённой пифагорейской октавы.


Эту числовую систему в своих наиболее характерных чертах мы хотим предоставить вниманию читателя в качестве обзора музыкального строя‚ из­вестного как квинтовый или пифагорейский строй, - легко опровергающего укоренившееся от начала «века просвещения» и широко распространённое до сей поры мнение, что «совершенная математическая система музыкальной гармонии невозможна»3. Более того, оказывается, что «гармоническими скрепами» связываются - теоретически - любые два числа, только количество требуемых для этого шагов может быть большим или меньшим. Здесь же мы вовсе не касаемся метроритмической организации музыки - компонента её не менее значимого‚ чем звуковысотный состав:


«Мелодия состоит из двух элементов‚ ритмического и гармонического; первый можно назвать также количественным‚ второй качественным... Ритмический элемент наиболее существенен‚ так как он сам по себе без помощи другого элемента может создать некое подобие мелодии‚ что и происходит‚ например‚ на барабане; полная же мелодия требует того и другого. Она состоит в меняющемся разъединении и примирении обоих»;


«подобно тому как в архитектуре регулирующим и объединяющим началом служит симметрия‚ в музыке таковым является ритм»4.


Каждому изучавшему элементарную теорию музыки хорошо известно, что все ноты гаммы могут быть образованы ходами в квинту, если от исходного тона, принятого за основной, брать пятые ступени (вверх либо вниз), и получаемые звуки сводить в исходную октаву, понижая либо повышая их на восемь ступеней. Тем, кому это ничего не говорит, мы попытаемся сей факт как можно убедительнее продемонстрировать, что называется, «на пальцах»; поразительно то, что знанием вышеупомянутого факта, в основном, и ограничивается представле­ние о пифагорейском натуральном строе даже музыкальных специалистов. А ведь именно ему - как станет ясным из дальнейшего - обязана му­зыка важнейшими своими «материями»: семиступенным ладом‚ двена­дцатиполутоновой гам­мой и т.п.

До той поры, как темперированный строй вошёл в широкое употребление (т.е. до времён Баха)‚ в основу музыки были положены отноше­ния консонансов, и её «пифагорейская природа» пред­ставлялась куда как более очевидной.

Шестнадцатое столетие ознаменовалось всплеском интереса к музыкальной акустике - как столетием-двумя ранее «титаны возрожде­ния» увлекались геометрией и экспериментиро­вали в области перспективы в живописи. Именно Галилео Галилею и францисканскому монаху Марену Мерсенну (внесшему свой вклад также в развитие теории чисел) приписывается открытие закона гармонического колебания струны, - при котором частота колебания обратно пропор­циональна длине струны. Впрочем, сей факт на монохорде Пифагора мог бы продемонстрировать уже и Эвклид в III в. до н.э. в приво­димом ниже опыте5.

Мерсенном был также описан обертоновый ряд - после­довательность частот свободных колебаний струны, соотносящихся как це­лые числа 1:2:3:4:5... Начальная фаза волны укладывается по всей длине струны, эта деформация порождает вторую волну, укладывающуюся двумя фазами, затем - тремя и так далее, что в сумме даёт единое звуковое впе­чатление (высоту и тембр) звучащей струны - Фиг. 3.1.

Первый обертон (2) есть гармонический интервал октава, второй обер­тон (3) - гармонический интервал квинта, с четвёртым уже возникает то­ническое трезвучие (до-ми-соль), двенадцать обертонов дают полную семи­ступенную гамму. Обертоновый ряд заключает в себе первый и наиболее общий закон гармонии - вся музыка, в принципе, могла бы уже основываться на нём одном6. Но второе необходимо условие, как мы убедимся в дальнейшем, есть требование подобия части целому - с тем, чтобы система фиксированного звукоряда стала возможной7.

Вопрос о природе консонанса, или почему одни звуки при сочетании создают при­ятное (гармоничное), а другие - неприятное (диссонантное) ощущение находит объяснение в явлении обертона: когда длины двух струн связаны простыми числовыми отношениями – 2:1 (октава), 3:2 (квинта), 4:3 (кварта) и проч., то порождаемые ими колебания будут иметь сов­падающие звуковые частоты. В случае настройки в октаву основной тон второй струны будет первым обертоном первой струны, в квинту - вторым оберто­ном, в кварту - второй обертон второй струны будет третьим обертоном первой, и т.д. Или же, сказать иначе, чем ближе основные частоты двух носителей колебаний к простому отношению, тем больше фазовых совпадений - кон­сонансов - возникает между ними, чем оно дальше‚ тем больше проявляется разност­ных тонов - определяемых как разность основных частот, а также разности обертонов, - низкочастотных «биений», придающих звуку «шероховатость». Эти выводы был сформулированы Германом Гельм­гольцем в середи­не девятнадцатого века в его «Учении о слуховых ощущениях» (1862).


Открытия европейских ученых только послужили подтверждением тех теоретических представлений что‚ как мы знаем‚ были известны гораздо раньше в древней Гре­ции, а равно в Индии и Китае.


Рассмотрим так называемую «настройку арфы Орфея» и эксперимент, связываемый с именем Пифагора. Обучавшие музыке пифагорейцы демонст­рировали на опыте, что три струны, натянутые на общей основе‚ резонируют при соотношении их длин 2:3:4. При этом возникают гармонические со­звучия октавы - 1-я и 3-я струны, квинты - 1-я и 2-я струны‚ и кварты - 2-я и 3-я струны. В настройке арфы Орфея добавлялась ещё четвёртая - про­межуточная - струна, обра­зующая, обратно, кварту с первой и квинту с последней струнами (т.е. верхним и нижним пределами интервала в октаву). При этом две средние струны создают интервал целого тона (9:8). Продолжая эту процедуру, т.е. построив октаву на средней струне и подобрав квинту в новой октаве, мы получим следующую ступень гаммы и так далее, пока не завершим весь звукоряд - Фиг. 3.2.

Это соотношение четырёх струн - тетрахорд - задавало основное правило - гно­мон - натурального строя античной музыкальной сис­темы.


Вполне вероятно, что древним грекам было удобнее строить звукоряд от си – то есть квинтами вниз, но мы воспользуемся более привычным для нас способом и другой последовательностью ступеней. Назовём исходный тон фа (на самом же деле им может быть любой).

Квинта от фа вверх будет до1 (следующей ок­тавы). Опустим это до1 на октаву вниз. Если началь­ную фа принять за 1, то до1 или квинта есть 1х3/2=3/2, а до в исходной (т.е. малой) октаве отно­сится к до1 как 1:2, по­этому ступень до получает зна­чение 3/2:2=3/4 и есть кварта к фа – обра­щённая квинта. Квинтой от до=3/4 вверх будет следующая ступень, «зер­кально-симметричная» к фа, т.е. соль=3/4х3/2=32/23=9/8. Мы видим, что коль скоро исходный тон фа получил значение единицы, все образуемые квинто­выми ходами величины будут значениями интервалов относительно фа. В данном случае вторая квинта (32) порождает интервал целого тона (9/8). Но с верхним до1 ступень соль образует кварту (обратную квинте относительно интервала октавы): до1/соль = 3/2 : 9/8 = 4/3.

Порождённая двумя квинтами и двумя квартами в пределах октавы четверица до-фа-соль-до1 с отношением частот 1 : 4/3 : 3/2 : 2 есть основа всех гармонических музыкальных соответствий и аналогична «настройке арфы Орфея» (e1-h-a-e); она же отвечает пропорции космических элементов платонова Тимея как выражению пифагорейского тетракса. На этом моменте вследствие его особой значимости можно остановиться чуточку под­робнее. В данное выражение входят все известные пропорциональные отношения, а именно арифметическая, геометрическая и гармоническая прогрессии, а также принцип золотого деления. Закон золотого деления гла­сит, что меньшая часть так относится к большей, как большая часть - к целому, и в нашем случае наименьшая часть, полученная при делении интервала октавы - 1 тон (9/8) так относится к большей части - квинте, как последняя от­носится к октаве: 9/8 : 3/2 =3/2 : 2 =3/4. Далее, 3/2 есть среднее арифметиче­ское 1 и 2, 4/3 - среднее гармоническое 1 и 2, а вместе и среднее арифмети­ческое 2/3 и 2. Сам квинтовый способ образования ступеней умножением на 3/2 есть геометрическая прогрессия8. Квинта относится к кварте как октава (3/2:4/3=2), а квинта к 1 тону ─ как кварта (3/2 : 9/8 = 4/3). На основании этих закономерностей связываются пропорциями и все последующие нисхо­дящие интервалы, основанные на тройственном делении четверицы.

Напомним, что отношения пропорции 1:2:3:4 соединяют между собой и геометрические элементы пяти правильных многогранников - платоновых тел (дополняясь в случае икосаэдра и додекаэдра пятёркой9).


Продолжим далее наше построение. От полученной второй квинтой ступени соль отложим вверх следующую квинту: 32/23х3/2=33/24. Эта ступень соответствует ре1 следующей, т.е. первой октавы (33/24>3/2=до1), поэтому мы понижаем её в исходную октаву (как ранее поступили с до1), т.е. делим на два: 33/24:2=33/25 или 27/32 – это интервал малой терции (вниз от исходной фа). Квинта вверх от ре есть 33/25х3/2=34/26 или 81/64 и соответствует ля той же (малой) октавы и интервалу большой терции (вверх от фа). Заметим, что показатель степени 3 для каждого интервала соответствует номеру квинты, посредством которой этот интервал был получен.

Пятой квинтой, взятой от новой ступени ля вверх, или 34/26х3/2=35/27 будет ми1, и её мы сводим в исходную октаву: 35/27:2=35/28 - это интервал диатонического полутона (вниз от фа). Шестая квинта‚ взятая от ми‚ составит 35/28х3/2=36/29 и соответствует си малой октавы, завершая семь «основных ступеней» (вме­сте с исходной), образованных в следующем порядке:





Поскольку ряд ступеней был понижен на октаву с тем, чтобы занимать положение в одной октаве с фа, некоторые значения интер­валов оказались меньше единицы, то есть лежащими ниже фа: до=3/4<1, ре=27/35<1, ми=243/256<1. Три другие ступени располагаются выше фа, по­скольку значения их интервалов превышают единицу: соль=9/8>1, ля=81/64>1, си=729/512>1. Все полученные ступени заключены в пределах между до=3/4 и до1 =3/2 - или в октаве до-до1.

Между ступенями‚ расположенными в порядке высотного возрастания‚ разностные интервалы следующие:


ре-до =33/25:3/22=32/23 =9/8,

ми-ре =35/28:33/25=32/23 =9/8,

фа-ми =1:35/28=28/35 =256/243,

соль-фа =32/23:1 =9/8,

ля-соль =34/26:32/23=32/23 =9/8,

си-ля =36/29:34/26=32/23 =9/8,

до1-си =3/2:36/29=28/35 =256/243.


Полученная шестью квинтами семиступенная октавная гамма с разделе­нием на 5 интервалов в 1 тон (9/8) и 2 полутоновых интервала (256/243) в последовательности ТТп/тТТТп/т соответст­вует натуральной диатонической (мажорной) гамме основных музы­кальных ступеней (Фиг. 3.3.).





Как можно заключить из вышеприведённого расчёта, семиступенная диатоника явля­ется математическим фактом, вытекающим из природы пропорции 1:4/3:3/2:2 (квинтово-квартового деления октавы). Музыкальный авангардизм существенно поколебал представление о «нерушимости» лада (лежащего, как известно, в основе тональностей) - ведь разделе­ние октавы на семь частей лишь одна из многих возможно­стей. Тем не менее, семь диатонических ступеней и тональности - не просто «дань традиции» или тем более «вкусу», но имеют прямое отношение к пред­мету: если живопись вообще может быть «нефи­гуративной», то и атональность в му­зыке, оче­видно, должна как-то намекать на то, что именно отсутствует.

Отметим ещё для сообразительного читателя: если промежуток ок­тавы, как нами было только что установлено, поделён на семь основных ступе­ней, то самая октава (с двумя до ─ нижним и верхним) слагается восемью (окта есть восемь) ступенями - 23.

Два основных консонансных - поскольку они являются ближайшими оберто­нами - отношения ^ 3:2 (квинта) и 4:3 (кварта) при их «сложении» (а в музыке сложение интерва­лов есть умножение их высотных отно­шений, основанное на сквозной про­порциональности вида Д/А=Д/С х С/В х В/А) дают интервал октавы‚ равный 2, поскольку 3/2 х 4/3 = 2. Два - бли­жайший обертон‚ и он с необходи­мостью вытекает из самой природы волнового движе­ния, выражаемого гармониче­ской кри­вой - Фиг. 4.1.

Гармоническая кривая - как свиде­тельствуют математика и физика - суть наиболее общий закон движения: ко­лебаниями или волновыми процессами описываются электромагнитные волны (свет), состояния электронов в ато­мах, природа микрочастиц‚ а также движения в простран­стве – от качания листа до об­ращения планет. Уравнения классической механики могут быть представлены в виде сумм гармониче­ских кривых посредством раз­ложения в ряды Фурье. В современном направ­лении синергетики компью­терное моделирование сложных (нелинейных) процессов различной природы - качест­венный функциональный анализ диффе­ренциальных уравнений - приводит к фи­гурам тем или иным образом связанных циклов как к «конеч­ным решениям» не­предсказуемых иным способом так назы­ваемых «хаотиче­ских систем».

Учитывая сказанное‚ вовсе не удиви­тельно, что в природе музыки (кото­рую обычно склонны рассматривать только как эстетический фено­мен), осно­ванной на физическом явлении - волновом колебании воздушной среды - также прояв­лено основное числовое свойство гармони­ческой кривой, а именно – её свойство двой­ственности. Это было известно и древним (в этой книге мы говорим лишь об из­вестных вещах), обозначавшим неорганизо­ванную мировую субстанцию - первоматерию или «потенциальный ва­куум» (ὔλη - «хюле») двоицей, которая с тем‚ чтобы обнаружить свои проявленные‚ т.е. энергетические свойства‚ должна быть расчленена - численно органи­зована оп­ределённым способом‚ в нашем случае - делением 3:2 или сле­дующим за окта­вой обертоном. Архаический миф орфи­ческой религии гласит следующее:




«^ Ночь выносила Луче­зарное Яйцо. Фанет (он же Брахма – «первородный»)‚ выйдя из Яйца (сингулярно­сти), расколол его на две по­ловины - Небо и Землю‚ породив начало всех бо­гов» (1+2=3).


В этом же смысле говорит первый стих первой главы книги ^ Бытия:

«В начале сотворил Бог небо и землю».


Этим отступлением мы вновь акцентируем внимание на онтологических корнях музыки – как в её непосредственном отношении к теории числа и основаниям физики и математики, так и в том особенном мировоззренческом значении, которое ей придавалось эзотерической традицией древних10.

Возвращаясь к анализу музыкальной гаммы, мы должны отметить и то, что паттерн или отношение четверицы 1:4/3:3/2:2 (кварты, квинты и октавы) повторён для любых четырёх ступеней, взятых в последовательном порядке:





В этих «схемах порождения» роль ок­тавы (т.е. тоники), делимой квин­той и квартой - то есть «пассивного элемента» - берёт на себя ступень, полученная на предыду­щем этапе (как доминанта), а роль «активного (делящего) элемента» - та ступень, что выполняла роль октавы на предыдущем этапе (как субдоми­нанта). Так, в октаве до-до1 интервал фа-до1 - квинта в предшествую­щей октаве фа-фа1, а вновь получаемая ступень соль («уравновешивающий элемент») образу­ется симмет­рично к фа квинтой до-соль: как бы зеркальным отражением предыдущей квинты от ступени до (Фиг. 3.2). Между средними членами («порождающим» и «порождён­ным») всегда лежит интервал целого тона (9/8).

Мы подробно останавливаемся на этих (очевид­ных для музыкантов) об­стоятельствах для того, чтобы прояснить здесь далеко уводящую от собст­венно музыки параллель. Поря­док порождения ступеней соответствует так называемым эволю­тивным тер­нерам Кабалы, составленным из букв Неска­зуемого Имени (тетраграмма­тона), а их подразделение на «пассивный»‚ «активный» и «уравновешивающий» отвечает трём гунам - принципу, как будет пока­зано ниже, носящему вполне универсальный характер.

«Активный элемент» (Йод (י) - «отец»), нала­гаемый на «пассивный элемент» (Хе (ה) - «мать»), порождает третий или «уравновешивающий эле­мент» (Вау (ו) - «сына» либо «дочь»), записываются справа налево (Фиг 3.7.). В следующей по порядку триаде «пассивный» элемент ставится на место «активного» (Хе®Йод), а «уравновешивающий» - на место «пассив­ного» (Вау®Хе). Пять таких нисходящих тетрад - в числе равных пяти элемен­там природы или пяти «творческим светам» - расчленяют «пустое пространство» двоицы (Октавы) с образованием семи промежутков и шести промежуточ­ных ступеней: «размерил Вселенную в шесть шагов», как гласят индийские шастры:


«Я есмь Отец и Мать, я – также Сын;

Я есмь душа всего что есть, что было

И что будет»

(^ Махабхарата 5. 45. 24-28).


В чисто-математическом плане это указывает на определённый симмет­рический рисунок (паттерн) - повторяемый, как мы увидим в дальнейшем, на всех уровнях строения Октавы.


Приводимая (эзотерическая) трактовка четверицы как генетической ос­новы семитонового разделения октавы-двоицы может быть дополнена двумя сле­дующими числовыми построениями (Фиг. 3.8 а,б). Первое из них следует порядку треугольной Фигуры 3.7., второе включает четыре «четвёрки» (№№ 1-7) полной диатонической гаммы. Интересно, что в первом случае (а) сумма входящих цифр есть удвоен­ная декада (2х10=20) или виналь, во втором случае (б) она составляет 64 (26) – число Пере­мен И цзина (!) Если же мы возьмём числовые значения букв Фигуры 3.7. - а именно, י=10, ה=5, ו=6, то их сумма будет 72 - Шем хамфирош Несказуемого Имени или пятая часть от 360-ти ( см. об этом ниже).


Очевидно, что шесть квинтовых ходов вверх от фа не исчерпывают всех ступеней гаммы; этот процесс может быть продолжен и далее двояким способом. Мы можем продолжать наращивать квинты вверх от си, а можем опускать их от исход­ной ступени фа вниз, получая новые значения интерва­лов. Проследуем же обоими этими путями.

Квинта вверх от си=36/29 (по счёту седьмая) составит интервал 37/210, поскольку же она приходится на следующую октаву (превышая до1=3/2), это значение должно быть разделёно на 2, что в исход­ной октаве даёт 37/211. Подобным образом получаются и следующие ступени:

VIII квинта 37/211х3/2=38/212>3/2,

поэтому 38/212:2=38/213;

IX квинта 38/213х3/2=39/214;

X квинта 39/214х3/2=310/215>3/2,

поэтому 310/215:2=310/216;

XI квинта 310/216х3/2=311/217;

XII квинта 311/217х3/2=312/218>3/2,

поэтому 312/218:2=312/219.


Седьмая квинтовая ступень ниже на полутон (28/35) ступени соль: 32/23 : 28/35 =37/211, поэтому она получает значение соль, пониженной на полтона (сольb). Восьмая квинта даёт пониженную на полтона ре, так как 33/25:28/35=38/213 (соответствует реb), девятая, точно так – ляb (34/26:28/35=39/214), десятая – миb (35/28:28/35=310/216), одиннадцатая – сиb (36/29:28/35=311/217). Наконец, двенадцатая квинта должна прийтись на по­ниженный на полтона интервал седьмой ступени, поскольку 37/211 (сольb): 28/35=312/219. Что же это за новая ступень сольbb с двойным бемолем?

Каждый, кто имел дело с нотными обозначениями в современной трактовке (т.е. равномерного темперированного строя) скажет, конечно, что это ступень фа, но в пифагорейском натуральном строе два пол­утона (дубль-бемоль) не дают интервала, равного целому тону (28/35х28/35=216/310<9/8), равно как и полученное значение интервала сольbb312/219=531441/524288 =1.0136432 превышает единицу - интервал примы (30). Приняв во внимание эти два соображения мы должны признать, что двенадцатая квинта вверх от исходной ступени фа=1 порож­дает малый интервал 312/219 больший примы‚ и численно соответствующий разнице интервала целого тона и двух полутонов: 32/23:(28/35)2=312/219, что составляет примерно 1/8,69 целого тона (или, как можно ещё записать, 1.01364328,69=9/8).

Этот микроинтервал, который мы будем обозначать значком Δ («дельта»), известен под наименованием «пифагорейской коммы»‚ и в музы­кальной теории определяется как «разница между исходным тоном и двена­дцатой квинтой вверх при сведении в ту же октаву».

«Наличие коммы ведёт к акустическому недостатку»‚ - говорит руководство по настройке инструментов. Различие по высоте в 1/9 тона вряд ли уловимо на слух при раздельном звучании двух звуков (находится в пределах «зоны»), но при одновре­менном исполнении оно порождает «шероховатость» (низкочас­тотное биение). Присутствие же биений, как известно, уже изначально заложено настройкой в темперированном строе11. Этот и прочие «недостатки», равно как и сравнительные особенности различных строев мы попытаемся вкратце рассмотреть ниже (Приложение 2). Пока же лишь заметим, что приводимый нами здесь расчёт квинтовой музыкальной системы вызван, строго говоря, не узко-музыкальными задачами - хотя и имеет самое прямое отношение к выяснению природы музыки: ­он определяется той ролью, которую этой числовой системе придавало учение древности. Далее будут выявлены интригующие параллели между музыкальной онтологией пифагорейцев, рассматривавших гармонию в качестве чисто-дедуктивной теории, выводимой из общего принципа (наравне с геометрией)‚ и число­выми моделями времени в космологиях древнего мира.


Полученная нами последовательность интервалов из двенадцати восхо­дящих квинт (Фиг. 3.9.) есть не что иное, как




хорошо известный «квинтовый круг» тональностей - или, говоря более точно, «квинтовая спи­раль». Но в обозначении современной европейской музыки (основанной на замкнутом строе равномерной темперации, в котором полутон в точности равен половине тона и пониженная ступень может быть заменена равной ей повышенной) в восходящих квинтах вместо ступеней бемоля как дань тёмной традиции фигурируют ступени диеза (вместо сольb - фа#‚ и т.д.)‚ а в нисходящих квинтах - обратное‚ что при общем неведении относи­тельно оригинальной системы способно вконец спутывать карты.

Прежде чем всмотреться более пристально, что же представляет из себя этот «квинтовый круг» и лучше уяснить его структуру, придадим ему симметричность путём построения нисходящих квинт.

Первая квинта вниз от ступени фа (поскольку теперь мы пони­жаем значение на квинту, это означает не умножение, а деление на 3/2 - или, что то же самое, умножение на 2/3) есть 2/3 х 2 = 4/3 или 22/3: поскольку эта ступень приходится на нижележащую октаву До (2/3<3/4)‚ то для её приведения в исход­ную октаву значение 2/3 должно быть умножено на 2. Полученная ступень образована интервалом на пифагорейский полутон выше ля=34/26, поскольку 34/26х28/35=22/3, поэтому она соответствует ля#.

Вторая нисходящая квинта 22/3х2/3=23/32 на полтона выше ре=33/25:

33/25х28/35=23/32, и получает обозначение ре#.

Далее продолжаем аналогично:

III квинта 23/32х2/3=24/33<3/4 даёт

24/33х2=25/33 (=соль#);

IV квинта 25/33х2/3=26/34 (=до#);

V квинта 26/34х2/3=27/35<3/4 даёт

27/35х2=28/35 (фа#);

VI квинта 28/35х2/3=29/36<3/4 даёт

29/36х2=210/36 (ля##).


Обратим внимание, что все получаемые нисходящими квинтами альтерированные ступени отличаются от построенных восходящими квинтами - при­ходящихся на те же номера двенадцатичленного круга - на интервал коммы. Например,

сиb/ля#=311/217:22/3=312/219,

миb/ре#=310/216:23/32=312/219,

и так далее.

В полном согласии с этой закономерностью, интервал шестой квинты вниз от фа 210/36 (ля##) принимает значение пониженной на комму ступени си =36/29, поскольку

36/29:210/36=312/219, и поэтому мы обозначаем её сиΔ- - так же как ранее увеличенная на комму фа получила обозначение фаΔ+.





Полученные результаты заключают в себе много большее, чем просто разделение октавы на двенадцать полутонов. Не будет пре­увеличением сказать‚ что порождаемый квинтами 12-ти ступенный цикл (Фиг. 3.10. а-д) являет чудо совершенства формальных свойств‚ нисколько не уступая в этом известным платоновым телам (правильным пространственным многогранникам) - с тем отличием‚ что последние представляют собою статичные‚ а октава - динамически разворачивающуюся структуру.


Все построенные числа интервалов связаны между собой единой систе­мой пропорций: она не столь проста, как на первый взгляд, поскольку мы переводили предыдущую ступень то на квинту (3/2 или 2/3), то на обратную ей кварту (3/4 или 4/3), порождая неравномерную числовую последовательность в пределах двух крайних значений октавы – от нижнего до = 3/4 до верхнего до1 = 3/2.



Этими операциями задаётся нелинейный про­цесс итеративного отображения - подобный тем, что используются во фрактальной геометрии:

х → 3/2 x при x<1,

х → 3/4 x при x≥1 (1).

Ниже мы покажем, что процедура квинтовых итераций в самом деле создаёт фрактальную пау­тину в интервале октавы, характеризующуюся ре­гулярными циклами и повторяющимися паттер­нами.


Чередование квинты и кварты в двенадцати­ступенном круге описывается закономерностью, являющейся ни чем иным, как перестановкой две­надцать по пять (12)5 - Фиг. 3.11.

Далее, все значения интервалов относительно фа=1 вида 3n или 3-n, делённых или умноженных на 2m (где n и m связаны упомянутым перестановочным законом), определяя ступени звукоряда, в свою очередь образуют между собой разностные интервалы, выражаемые частными от деления чисел двух ступеней:


1) 31 - интервалы квинты и кварты (3.5 и 2.5 тона) между соседними номерами круга;

2) интервалы 32 - отвечающие целому тону (1 тон)‚ через один номер;

3) интервалы 33 - соответствующие малой терции (1,5 тона)‚ через каж­дые два номера;

интервалы 34 - соответствующие большой терции (2 тона)‚ через каж­дые три номера;

интервалы 35 через каждые четыре номера дают полутоновые интер­валы (0.5 тона) - или, точнее, пифагорейские «лейммы» (см.);

интервалы 36 через каждые пять номеров - располагающиеся по диа­метрам круга - отвечают интервалу тритона (3 тона)‚ или «увеличенной кварте» (= «уменьшенной квинте»).


Обозначение разностных интервалов степенью числа 3 (или просто разно­стью номеров двух ступеней) - как мы сейчас увидим, позволяет обобщить различия «интервалов полученных квинтами вверх от фа» и «полученных квинтами вниз от фа», когда числитель и знаменатель меняются местами, а также все обраще­ния основных интервалов, отличающиеся на единицу в показателе степени 2.

Указанные шесть основных интервалов (не включая седьмой - приму 30, а также обращения) образуются первыми шестью квинтами и исчерпывают собою практически все используемые интервалы «реальной музыки». Уже седьмая квинта (сольb) порождает новый разностный интервал 37/211 относительно №1 фа - заметим, что все остальные интервалы между ступенью №8 37/211 и №№ 2-7 остаются в числе упомянутых шести. Этот седьмой интервал, как легко за­метить, есть «увеличенный полутон» (фа-сольb) - или полутон 28/35, повышенный на комму 312/219:

28/35х312/219=37/211 (вверх от фа).

Следующая ступень 38/213,соответствующая реb, даёт разностный ин­тервал 37/211 с №2 до =3/4, а также и новый интервал с фа - «уменьшенная малая терция» (т.е. 1.5 тона за вычетом коммы):

34/26 : 312/219=213/38 ( вниз от фа)‚ и т.д.

Все изменённые на микротон интервалы располагаются зер­кально-симметрично относительно шести основных интервалов по оси симметрии №1 – №7 (фа-си):

кварта – тон – м.терция – б.терция – полутон – тритон –

полутонΔ+ – б.терцияΔ-– м.терцияΔ+ – тонΔ- – квартаΔ+ (Фиг. 3.12.).


Ступень №13 фаΔ по завершении XII квинты или интервал 312/219 можно обозначить как «увеличенную приму». Помимо этих 12-ти разностных ин­тервалов (шесть основных и шесть «изменённых основных») - как можно убе­диться, других ступени первых 12 квинт между собой не образуют. Так, на­пример, интервал реb-си 38/213:36/29=32/24 не отличен от 32/23: он есть малая септима или обращенный интервал целого тона: 32/23 от си вверх дает значение ступени реb1, нуждающейся в сведении в исходную октаву, т.е. де­лении на 2. Кажущиеся новыми разности, по-сути, не определяют никаких иных ин­тервалов помимо вышеперечисленных двенадцати, но получаются «за выче­том» ранее полученных из интервала октавы‚ равного 2.

Интервал между №13 и №7 фаΔ-си 312/219:36/29=36/210 есть «уменьшен­ный на Δ тритон», численно равный обращённому тритону (29/36:2) поскольку, как мы уже знаем, натуральная октава не со­стоит из двух тритонов (3 т. + 3 т.), но меньше шести тонов на комму Δ (интервал 2 = 6 т/Δ). Иначе говоря, два последовательно взятых тритона при сведении в ту же октаву дают комму:


36/29 х 36/29 : 2 = 312/219.


При понижении квинт, то есть при движении по квинтовой спирали влево от №1 фа‚ получаются такие интер­валы:

первая квинта вниз от фа образует ступень 22/3 - т.е. кварту (обращён­ную квинту) вверх;

вторая квинта даёт 23/32 – тоновый интервал, взятый вниз от фа;

третья квинта есть 25/33 - малая терция вверх от фа;

четвёртая - 26/34- означает большую терцию вниз;

пятая квинта 28/35 есть полутоновый интервал вверх;

шестая квинта 210/36, как мы уже знаем, означает обращённый три­тон.

Ступень 22/3 с №13 фаΔ (312/219) даёт новый разностный интервал 313/221 - это есть кварта, уменьшенная на Δ (фаΔ-ля#);

интервал 23/32 даёт новый с №13 фаΔ интервал, равный 314/222 - целый тон, увеличенный на Δ (ре#-фаΔ);

- " - 25/33 с той же ступенью №13 образует новую разность 315/224 или малую терцию, уменьшенную на Δ (фаΔ-соль#);

- " - 26/34 образует с №13 интервал 316/225 – большую терцию, увели­ченную на Δ (до#-фаΔ);

- " - 28/35 даёт интервал 317/227 - «уменьшенный полутон» (фаΔ-фа#);

- " - ступень 210/36, т.е. сиΔ- даёт с фаΔ+ новый разностный ин­тервал 318/229, который, очевидно, есть уже интервал тритона, уменьшенного на 2Δ (фаΔ+-сиΔ-).


Обра­зование каждого нового интервала всегда определено иным показателем степени 3n и не зависит от показателя степени 2m. Точно так не кажется неожиданным, что число возможных интервалов между двумя данными ступенями не превышает разности номеров образующих эти ступени квинт, - то есть разности показателей степени n или частного от деления чисел ступеней. Поэтому в дальнейшем мы будем указывать величину ступени и интервала одним лишь этим показателем степени n. Номер образующей квинты полностью характеризует данную ступень и связанный с ней интервал, определяя её координату - «квинтовое расстояние» от единичной ступени 30 (фа №1), или же соответ­ствующее этому интервалу «расстояние» между произвольными ступенями. «Квинтовые расстояния» фрактальны‚ поскольку каждый новый их период то складывается‚ то вычитается с предыдущим‚ но порождаемые ими циклы и паттерны‚ как мы сейчас увидим‚ совершенно регулярны.

Точно так должно быть ясным, что две разные ступени, характери­зуемые каждая своим номером или «квинтовым расстоянием» от 1, а также и два интервала с различными показателями n никогда не совпадают: 3 и 2 взаимно простые числа, отсюда следует‚ что 3n и 2m неравны при любых n и m‚ а и неравны между собой‚ если n1¹ n2 и m1¹ m2.

Вся эта система впечатляет совершенной регулярностью‚ являя для любого непредубеждённого взгляда свидетельство абсолютной математической строгости квинтовой системы. Не имеет значения, что для музыкальной теории появление комматически изме­нённых интервалов уже более трёх столетий служит лишь вящим доказательст­вом «непригодности» квинтового строя. Музыка‚ как в этом нетрудно убедиться‚ по природе своей близка «матерям» - подсознательному, законам числа и времени, - и ни в малой мере не есть результат со­глашения (конвенции) или набор произвольных правил.

Иное дело, что внутренние потребности, развиваемые западноевропейской музыкой, шли вразрез с объективно суще­ствующими прогрессиями «реальной гармонии» - или, сказать лучше, для её музыкальной практики были значимы лишь «отношения I порядка» – а именно те, что задаются пер­выми 12-ю ступенями.

Комма была воспринята как нежелательная («13-я» в круге квинт), и стимулировала поиски замкнутой музыкальной системы (в которой бы конец в точности совпадал с началом). В натуре октавы было «загибаться», рационалистический XVII век решил выпрямить её.

Как здесь не привести слова Алистера Кроули:


«Своей слепотой по всем красотам и чудесам Вселенной человечество обязано иллюзии прямоты»12.


Головокружительный успех темперированного строя – всей европейской классика начиная от И.-С. Баха – привёл к «частичной амнезии» относи­тельно природы численных корней музыки. «Полностью уравняв в правах» двенадцать интервалов - про­сто-напросто приписав им значение- новоевропейская музыкальная тео­рия, всё же‚ не могла не сохранить объяснимый лишь пифагорейской «асимметрией» гармонический паттерн – а именно, соотношение белых и чёрных клавиш: 7 основных ступеней + 5 изменённых = 12 (см. Фиг. 3.11)13.

Тем не менее, двенадцать темперированных ступеней заключают архетип Октавы (см. Числа)‚ одновременно совмещая в себе (но лишь идеально!) пифагорейское «Золотое деление» и строгое логарифмическое самоподобие, а потому разработанная на отвлечённых гармо­нических принципах европейская классика в своих наиболее совершенных образцах могла вплотную приближаться к «объективному искус­ству».


Рассмотрим структуру натурального строя в чисто-числовом ключе - в качестве вполне отвлечённой модели, имея в виду и тот особый смысл, который вкладывали в неё древние.

Итак, шесть квинт вверх от исходного фа порождают семь ступеней октавного деления с пятью целотоновыми и двумя полутоновыми промежут