Реферат: 9 анализ модели с мультипликативной компонентой: а = т Х s X E

9.4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ: А = Т х S x E
В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю трендового значения. Таким образом, значения сезонной компоненты увеличиваются с возрастанием значений тренда.

Пример 9.3. Компания CD plc осуществляет реализацию нескольких видов продукции. Объемы продаж одного из продуктов за последние 13 кварталов представлены в таблице 9.6.


Рис. 9.5. Квартальные объемы продаж компании CD plc
Таблица 9.6. Квартальные объемы продаж компании CD plc

Дата

^ Номер квартала

Количество проданной продукции, тыс. шт. А

Январь-март 19X6
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь

1
2
3
4

70
66
65
71

Январь-март 19X7
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь

5
6
7
8

79
66
67
82

Январь-март 19X8
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь

9
10
11
12

84
69
72
87

Январь-март 19X9

13

94

Построим по этим данным точечную диаграмму:

Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в зимний период выше, чем в летний. Однако размах вариации фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает. К таким данным следует применять модель с мультипликативной компонентой:

Фактическое значение = Трендовое значение х Сезонная вариация х Ошибка, т. е.

А = Т х S х Е.

В нашем примере есть все основания предположить существование линейного тренда, но чтобы полностью в этом убедиться, проведем процедуру сглаживания временного ряда.
^ 9.4.1. Расчет значений сезонной компоненты
В сущности эта процедура ничем не отличается от той, которая применялась для аддитивной модели. Так же вычисляются центрированные скользящие средние для трендовых значений, однако оценки сезонной компоненты представляют собой коэффициенты, полученные по формуле А/Т = S х Е. Результаты расчетов приведены в табл. 9.7.

^ Таблица 9.7. Расчет значений сезонной компоненты для CD plc

Дата

Номер
квартала

Объем
продаж,
тыс. шт.
А

^ Скользящая
средняя
за четыре
квартала

Центрированная
скользящая
средняя

Коэффициент
сезонности A/Т = S х E

1

2

3

4

5

6

Январь-март 19X6
Апрель-июньИюль-сентябрь
Октябрь-декабрь
Январь-март 19X7
Апрель-июнь
Июль-сентябрь

1
2
3
4
5
6
7

70
66
65
71
79
66
67



68
70,25
70,25
70,75
73,50
74,75


69,13
70,25
70,50
72,13
74,13


0,940
1,011
1,121
0,915
0,904

Продолжение

1

2

3

4

5

6

Октябрь-декабрь
Январь-март
19X8
Апрель-июнь

Июль-сентябрь
Октябрь- декабрь
Январь-март
19X9

8
9


10
11
12
13

82
84


69
72
87
94


75,50


76,75


78
80,50

75,13

76,13
77,38

79,25--

1,092
1,103


0,892

0,909--

Значения сезонных коэффициентов получены на основе квартальных оценок по аналогии с алгоритмом, который применялся для аддитивной модели. Так как значения сезонной компоненты — это доли, а число сезонов равно четырем, необходимо, чтобы их сумма была равна четырем, а не нулю, как в предыдущем случае. (Если бы в исходных данных предполагалось семь сезонов в течение недели по одному дню каждый, то общая сумма значений сезонной компоненты должна была бы равняться семи). Если эта сумма не равна четырем, производится корректировка значений сезонной компоненты точно таким же образом, как это уже делалось ранее. В таблице оценки, рассчитанные в последнем столбце предшествующей табл. 9.8, расположены под соответствующим номером квартала.

^ Таблица 9.8. Расчет значений сезонной компоненты для CD plc

 

Год

Номер квартала

 

1

2

3

4

 

19X6
19X7
19X8

-
1,121
1,103

-
0,915
0,892

0,940
0,904
0,909

1,011
1,092
-

Итого

2,224

1,807

2,753

2,103

 

Среднее
значение

2,2242

1,8072

2,7532

2,1032

Оценка
сезонной
компоненты

1,112

0,903

0,918

1,051

Сумма = 3,984

Скорректированная
сезонная
компонента*

1,116

0,907

0,922

1,055

Сумма = 0

* Скорректированная оценка сезонной компоненты получена в результате умножения соответствующей доли на (4/3,984).

Как показывают оценки, в результате сезонных воздействий объемы продаж в январе —марте увеличиваются на 11,6% соответствующего значения тренда (1,116). Аналогично сезонные воздействия в октябре-декабре приводят к увеличению объема продаж на 5,5% от соответствующего значения тренда. В двух других кварталах сезонные воздействия состоят в снижении объемов продаж, которое составляет 90,7 и 92,2% от соответствующих трендовых значений.
^ 9.4.2. Десезонализация данных и расчет уравнения тренда
После того как оценки сезонной компоненты определены, можем приступить к процедуре десезонализации данных по формуле A /S = Т х Е. Результаты расчетов этих оценок значений тренда приведены в табл. 9.9.

^ Таблица  9.9. Расчет уравнения тренда для компании CD plc

Дата

Номер
квартала

Объем
продаж,
тыс. шт.
А

Коэффициент
сезонностиS

Десезонализированный
объем продаж,
тыс. шт.А/Т = S x E

Январь-март 19X6
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь

1
2
3
4

70
66
65
71

1,116
0,907
0,922
1,055

62,7
72,8
70,6
67,3

Январь-март 19X7
Апрель-июнь
Июль— сентябрь
Октябрь-декабрь

5
6
7
8

79
66
67
82

1,116
0,907
0,922
1,055

70,8
72,8
72,7
77,7

Январь-март 19X8
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь

9
10
11
12

84
69
72
87

1,116
0,907
0,922
1,055

75,2
76,1
78,2
82,4

Январь-март 19X9

13

94

1,116

84,2

Полученные трендовые значения наносятся на исходную точечную диаграмму.

Точки, образующие представленный на графике тренд, достаточно сильно разбросаны. Объемы продаж в данном случае не образуют такой строгой последовательности, как в предыдущем примере с компанией Lewplan plc. Скорее всего, пример с CD plc более близок к реальной действительности.


^ Рис. 9.6. Фактический и десезонализированный объем продаж по 3-месячной средней
Теперь нужно принять решение о том, какой вид будет иметь уравнение тренда. Очевидно, что линия тренда — не кривая, наоборот, она несколько больше напоминает прямую, хотя отдельные точки, особенно значения за 19X6 г, расположены хаотически. Предположим для простоты, что тренд линейный, и для расчета параметров прямой, наилучшим образом его аппроксимирующей, будем применять метод наименьших квадратов. Воспользовавшись той же процедурой, что и в разделе 9.3.2, находим, что

Т = 64,6 + 1,36 х номер квартала (тыс. шт. в квартал) .

Это уравнение будем использовать в дальнейшем для расчета оценок трендовых объемов продаж на каждый момент времени.
^ 9.4.3. Расчет ошибок: А/(Т х S) = Е или А — (Т х S) = Е
Итак, мы нашли значения тренда и сезонной компоненты. Теперь мы можем использовать их для того, чтобы рассчитать ошибки в прогнозируемых по модели объемах продаж Т х S по сравнению с фактическими значениями А. В табл. 9.10 эти ошибки рассчитаны как отношение Е = А/(Т х S).

Для каждого рода ошибки достаточно велики, что видно из графика десезонализированных значений. Однако начиная с первого квартала 19X7 г. величина ошибки составляет в среднем 2-3% от фактического значения, и можно сделать вывод о соответствии построенной модели фактическим данным.

Таблица 9.10. ^ Расчет ошибок для компании CD plc

Дата

Номер квартала

Объем
продаж,
тыс.шт. А

Сезонная
компо-
нентаS

Трсндовос
значение,
тыс. шт.
Т

Ошибка

Т xS

A/(T*S)

A-(TxS)

Январь— март
19X6
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь— декабрь

12
3
4

70

66
65
71

1,116
0,907
0,922
1,055

66,0
67,3
68,7
70,0

73,7
61,0
63,3
73,9

0,95
1,08
1,03
0,96

- 3,7
+ 5,0
+ 1,7
-2,9

Январь-март
19X7
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь

5

6
7
8

79

66
67
82

1,116
0,907
0,922
1,055

71,4
72,8
74,1
75,5

79,7
66,0
68,3
79,7

0,99
1,00
0,98
1,03

-0,7
0
- 1,3
+ 2,3

Январь-март
19X8
Апрель-июнь
Июль— сентябрь
Октябрь-декабрь

9
10
11
12

84
69
72
87

1,116
0,907
0,922
1,055

76,8
78,2
79,6
80,9

85,7
70,9
73,3
85,4

0,98
0,97
0,98
1,02

- 1,7
- 1,9
- 1,3
+ 1,6

Январь-март
19X9

13

94

1,116

82,3

91,9

1,02

+ 2,1
^ 9.4.4. Прогнозирование по модели с мультипликативной компонентой
При составлении прогнозов по любой модели предполагается, что можно найти уравнение, удовлетворительно описывающее значения тренда. В обоих изложенных выше примерах эта предпосылка была успешно выполнена. Тренд, который нами рассматривался, был очевидно линейным. Если бы исследуемый тренд представлял собой кривую, мы были бы вынуждены моделировать эту связь с помощью одного из методов формализации нелинейных взаимосвязей, рассмотренных в предыдущей главе. После того как параметры уравнения тренда определены, процедура составления прогнозов становится совершенно очевидной. Прогнозные значения определяются по формуле:

F = Т х S,

где

Т = 64,6 + 1,36 х номер квартала (тыс. шт. за квартал),

а сезонные компоненты составляют 1,116 в первом квартале, 1,097 — во втором, 0,922 — в третьем и 1,055 в четвертом квартале. Ближайший следующий квартал — это второй квартал 19X9 г., охватывающий период с апреля по июнь и имеющий во временном ряду порядковый номер 14. Прогноз объема продаж в этом квартале составляет:

F = Т х S = (64,6 + 1,36 х 14) х 0,907 = 83,64 х 0,907 = 75,9 (тыс. шт. за квартал).

С учетом величины ошибки прогноза мы можем сделать вывод, что данная оценка будет отклоняться от фактического значения не более чем на 2-3%. Аналогично, прогноз на октябрь-декабрь 19X9 г., рассчитывается для квартала с порядковым номером 16 с использованием значения сезонной компоненты для IV квартала года:

F = Т х S = (64,6 + 1,36 х 16) х 1,055 = 83,36 х 1,055 = 91,1 (тыс. шт. за квартал) .

Разумно предположить, что величина ошибки данного прогноза будет несколько выше, чем предыдущего, поскольку этот прогноз рассчитан на более длительную перспективу.
РЕЗЮМЕ
Под временным рядом понимается любое множество данных, относящихся к определенным моментам времени. Это могут быть, скажем, годы, кварталы, месяцы ли недели. В моделях временного ряда ретроспективная тенденция используется для прогнозирования поведения переменной в будущем. Краткосрочные прогнозы являются более точными, чем долгосрочные. Если прогноз составлялся на более длительный период времени при условии, что существующая тенденция сохранится в будущем, то тем больше величина ошибки.

Для моделирования временных рядов используются два типа моделей — аддитивная и мультипликативная. В обоих случаях предполагается, что значение переменной включает в себя ряд компонент. Временной ряд может состоять из собственно тренда — общей тенденции изменения значений переменной; сезонной вариации — краткосрочных периодических колебаний значений переменной; циклической вариации — долгосрочных периодических колебаний значений переменной; ошибки или остатка. В данном учебном пособии не рассматривались массивы данных за длительные промежутки времени, содержащие циклическую вариацию.

Рассмотренные нами модели имеют следующий вид:

Аддитивная А = Т + S + Е ,

Мультипликативная А = Т х S х Е .

В обоих видах моделей для десезонализации данных применяется метод скользящего среднего. Затем десезонализированные данные используются при построении модели тренда. По этой модели составляют прогнозы будущих значений тренда. В случае линейной модели для нахождения параметров прямой, наилучшим образом аппроксимирующей фактические значения, используется метод наименьших квадратов. Процесс построения нелинейных моделей гораздо более сложен.

В отличие от линейных регрессионных моделей для оценки обоснованности или точности прогнозных моделей статистические методы, как правило, не используются. Наилучшую среди нескольких моделей выбирает специалист, составляющий прогноз. Чтобы определить, насколько точно рассматриваемая модель аппроксимирует прошлые данные, применяются два показателя: