Реферат: Колебания и волны


219

Колебания и волны
Глава 18
Механические и электромагнитные колебания

§ 140. Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опре­деленной повторяемостью во времени. Ко­лебательные процессы широко распро­странены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебатель­ном движении маятника изменяется ко­ордината его центра масс, в случае пере­менного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колеба­ний может быть разной, поэтому различа­ют колебания механические, электромаг­нитные и др. Однако различные колеба­тельные процессы описываются одинако­выми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесооб­разность единого подхода к изучению ко­лебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению ме­ханических и электромагнитных колеба­ний применялся английским физиком Д. У. Рэлеем (1842—1919), А. Г. Столето­вым, русским инженером-экспериментато­ром П.Н.Лебедевым (1866—1912). Боль­шой вклад в развитие теории колебаний внесли советский физик Л. И. Мандель­штам (1879- -1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершают­ся за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний явля­ются гармонические колебания — колеба­ния, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно но двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периоди­ческие процессы (процессы, повторяющие­ся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармо­нических колебаний. Гармонические коле­бания величины s описываются уравнени­ем типа .

s=Acos(0t+), (140.1)

где А - максимальное значение колеблю­щейся величины, называемое амплитудой колебаний, 0круговая (циклическая) частотой,  - начальная фаза колебаний

в момент времени t=0, (0t+)— фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может, принимать значения от + А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, по­вторяются через, промежуток времени ^ Т, называемый периодом колебания, за кото­рый фаза колебания получает приращение 2, т. е.

0(t+T)+=(0t +)+2,

откуда

T=2/0. (140.2)


220

Величина, обратная периоду коле­баний,

v=1/T, (140.3)

т. о. число полных колебаний, совершае­мых в единицу времени, называется часто­той колебаний. Сравнивая (140.2) и (140.3), получим

0=2v.

Единица частоты — герц (Гц):1Гц — частота периодического процесса, при ко­торой за 1 с совершается один цикл про­цесса.

Запишем первую и вторую производ­ные по времени от гармонически колеблю­щейся величины s (соответственно ско­рость и ускорение):



т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды ве­личин (140.4) и (140.5) соответственно равны А0 и A20. Фаза скорости (140.4) отличается от фазы величины (140.1) на π/2, а фаза ускорения (140.5) отличается от фазы величины (140.1) на . Следова­тельно, в моменты времени, когда s=0,

ds/dt приобретает наибольшие значения;

когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d2s/dt2 приобретает

наибольшее положительное значение (рис. 198).

Из выражения (140.5) следует диффе­ренциальное уравнение гармонических ко­лебаний

d2s/dt2+20s=0 ( 140.6)

(где учтено, что s=Acos(0t+)). Решением этого уравнения является выражение (140.1).



Гармонические колебания изобража­ются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом вектор­ных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под.углом , равным начальной фазе колебания, откла­дывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 199). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, то про­екция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от -A до +А, а колеблющаяся величина будет из­меняться со временем по закону s=Acos(0t+). Таким образом, гармо­ническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, от­ложенного из произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вра­щающегося с угловой скоростью 0 вокруг этой точки.




221

В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вра­щающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся ве­личину представляют комплексным чис­лом. Согласно формуле Эйлера, для ком­плексных чисел

eii=cos+isin, (140.7)

где i=-1 — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (140.1) можно записать в экспоненциаль­ной форме:

(140.8)



представляет собой гармоническое коле­бание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (140.8) будем записывать в виде



В теории колебаний принимается, что ко­леблющаяся величина s равна веществен­ной части комплексного выражения, стоя­щего в этом равенстве справа.

§141. Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает пря­молинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало коорди­нат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогич­ным уравнению (140.1), где s=x:

х=Аcos(0t+). (141.1)

Согласно выражениям (140.4) и (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны



Сила F=ma, действующая на колеблю­щуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (141.2) равна

F= -m20x.

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положе­ния равновесия и направлена в противопо­ложную сторону (к положению равнове­сия).

^ Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гар­монические колебания, равна



^ Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические коле­бания под действием упругой силы F, равна



Сложив (141.3) и (141.5), получим форму­лу для полной энергии:



Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях спра­ведлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консер­вативна.

Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 20, т. е. с частотой, которая в два раза превы­шает частоту гармонического колебания.


222



На рис. 200 представлены графики зави­симости х, Т и П от времени. Так как 2>= 2a>=1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, что <Т> = <П>=1/2E.

§ 142. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описы­ваемые уравнением вида (140.6):



Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодиче­ского движения и служат точной или при­ближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. При­мерами гармонического осциллятора яв­ляются пружинный, физический и матема­тический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

^ 1. Пружинный маятник — это груз мас­сой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k — коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника



Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармо­нические колебания по закону х=Acos(0t+) с циклической частотой

0=k/m (142.2) и периодом

T=2m/k. (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выпол­няется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с мас­сой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

П=kх2/2.

^ 2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходя­щей через центр масс тела (рис.201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то в со­ответствии с уравнением динамики враща­тельного движения твердого тела (18.3) момент М возвращающей силы можно




223

записать в виде



где У — момент инерции маятника относи­тельно оси, проходящей через точку ^ О, l — расстояние между точкой подвеса и цент­ром масс маятника, F=-mgsinmg — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F и  всегда противоположны; sin соответствует малым колебаниям маятни­ка, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение (142.4) можно записать в виде



Принимая

0=mgl/J. (142.5) получим уравнение



идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

=0cos(0t+). (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой 0 (см (142.5)) и периодом

Т = 2/0=2J/(mgl)=2L/g.

(142.7)

где L = J/(ml) — приведенная длина физи­ческого маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), по­лучим



т. е. ^ ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса пе­ренести в центр качаний, то точка О пре­жней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

^ 3, Математический маятник— это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешен­ной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тя­жести. Хорошим приближением математи­ческого маятника является небольшой тя­желый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника J=ml2, (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник мож­но представить как частный случай физи­ческого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (142.7), получим вы­ражение для периода малых колебаний математического маятника

T=2l/g. (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L фи­зического маятника равна длине l матема­тического маятника, то их периоды коле­баний одинаковы. Следовательно, приве­денная длина физического маятника — это длина такого математического маятни­ка, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физическо­го маятника.

§ 143. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические ве­личины (заряды, токи) периодически изме­няются и которые сопровождаются взаим-


224

ными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колеба­ний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последо­вательно катушки индуктивностью L, кон­денсатора емкостью С и резистора сопро­тивлением R.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализиро­ванном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R0). Для возбуж­дения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в началь­ный момент времени t=0 (рис. 202, а) между обкладками конденсатора возник­нет электрическое поле, энергия которого

(1/2C)Q2(см. (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он на­чнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В ре­зультате энергия электрического поля бу­дет уменьшаться, а энергия магнитного

поля катушки (она равна 1/2LQ2 ) —воз­растать.

Так как R0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия



так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t=1/4Т, когда конден­сатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следователь­но, и ток) достигает наибольшего значения

(рис. 202, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катуш­ки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конден­сатора. Конденсатор начнет перезаря­жаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в кон­це концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет макси­мума (рис. 202, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 202, г) и система к моменту времени t=T придет в первоначальное состояние (рис. 202, а). После этого начнется повто­рение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колеба­ния, т. е. периодически изменялись (коле­бались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, при чем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис.202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q2/(2C)) аналогична потенциальной энергии упругой деформа-




225

ции (kx2/2), энергия магнитного поля ка­тушки (LQ2/2) — кинетической энергии (mx2/2), сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы т, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.

Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью ^ L, конденсатор емкостью С и резистор сопро­тивлением R,

ir+uc=ξs,

где IR — напряжение на резисторе, UC=Q/C— напряжение на конденсаторе, ξs=-LdI/dt — э.д.с. самоиндукции, воз­никающая в катушке при протекании в ней переменного тока (ξs, —единственная э.д.с. в контуре).. Следовательно,



Разделив (143.1) на L и подставив I=Q и dI/dt=Q, получим дифференциаль­ное уравнение колебаний заряда Q в кон­туре:



В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рас­сматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. §140). Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное урав­нение свободных гармонических колеба­ний заряда в контуре:



Из выражений (142.1) и (140.1) вы­текает, что заряд Q совершает гармониче­ские колебания по закону

Q = Qmcos(0t+), (143.3)

где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой 0, называемой собственной частотой конту­ра, т. е.

0=1/LC, (143.4)

и периодом

T=2LC. (143.5)

Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона.

Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))



где Im=0Qm — амплитуда силы ток Напряжение на конденсаторе



где Um=Qm/C—амплитуда напряже­ния.

Из выражений (143.3) и (143.6) вы­текает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на /2, т. е., когда ток достигает максимального значе­ния, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наобо­рот.

§ 144. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не­обходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты



воспользовавшись методом вращающего­ся вектора амплитуды (см. § 140). Постро­им векторные диаграммы этих колебаний (рис.203). Так как векторы a1 и А2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью 0, то разность фаз (2-1) между ними остается постоянной.

Очевидно, что уравнение результирую-


226



щего колебания будет

х=х1+х2=Аcos(0t+). (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза  соответственно за­даются соотношениями



Таким образом, тело, участвуя в двух гар­монических колебаниях одного направле­ния и одинаковой частоты, совершает так­же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (2-1) складываемых ко­лебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (2-1):

1) 2-1=±2m (m = 0, 1, 2,...), тог­да A=A1+A2, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли­туд складываемых колебаний;

2) 2-1= ±(2m+1) (m=0, 1, 2,...), тогда A = │A1-A2│, т.е. амплиту­да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле­баний.

Для практики особый интерес пред­ставляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового на­правления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически из­меняющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возника­ющие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называ­ются биениями.

Пусть амплитуды складываемых коле­баний равны А, а частоты равны  и +, причем <<. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колеба­ний были равны нулю:



Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе /2<<, найдем



Получившееся выражение есть произведе­ние двух колебаний. Так как <<, то сомножитель, стоящий в скобках, почти не изменяется, когда сомножитель cost со­вершит несколько полных колебаний. По­этому результирующее колебание х мож­но рассматривать как гармоническое




227

с частотой , амплитуда Аб, которого изме­няется по следующему периодическому за­кону:



Частота изменения Aб, в два раза боль­ше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых ко­лебаний: б=. Период биений

Tб=2/.

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии да­ют график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график мед­ленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука оп­ределенной высоты (см. §158)) биений между эталонным и измеряемым колеба­ниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений ис­пользуется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические коле­бания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции одновременно совершаю­щихся гармонических колебаний с различ­ными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте 0:



Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гар­монического анализа сложного периодиче­ского колебания, или разложения Фурье.

Члены ряда Фурье, определяющие гармо­нические колебания с частотами 0, 20, 30,..., называются первой (или основной),

второй, третьей и т. д. гармониками слож­ного периодического колебания.

§ 145. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гар­монических колебаний одинаковой часто­ты , происходящих во взаимно перпенди­кулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета вы­берем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю:



Разность фаз обоих колебаний равна , А и В — амплитуды складываемых коле­баний.

Уравнение траектории результирую­щего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. За­писывая складываемые колебания в виде



и заменяя во втором уравнении cost на х/А и sint на (1-(х/A)2), получим по­сле несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произ­вольно:



Так как траектория результирующего ко­лебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически по­ляризованными.

Ориентация осей эллипса и его разме­ры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи, представляю­щие физический интерес:

1) =m(m=0, ±1, ±2,...). В дан­ном случае эллипс вырождается в отрезок


228



прямой

у=±(В/А)х, (145.3) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, a), a знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колеба­ние является гармоническим колебанием

с частотой  и амплитудой (A2+В2), совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол =



В данном случае

имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.



В данном случае уравнение примет вид






229

Это уравнение эллипса, оси которого со­впадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис.206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окруж­ность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующе­го колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, со­вершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лисса­жу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указа­ны вверху).

Отношение частот складываемых коле­баний равно отношению числа пересече­ний фигур Лиссажу с прямыми, парал­лельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко исполь­зуемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых ко­лебаний, а также формы колебаний.

§ 146. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие коле­бания — колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель­ной системой с течением времени умень­шается. Простейшим механизмом умень­шения энергии колебаний является ее пре­вращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,

а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электриче­ских колебательных системах.

Закон затухающих колебаний опреде­ляется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные систе­мы — идеализированные реальные систе­мы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе про­цесса не изменяются. Линейными система­ми являются, например, пружинный маят­ник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колеба­тельный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различ­ные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что по­зволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моде­лирование, в том числе и на ЭВМ.

^ Дифференциальное уравнение свобод­ных затухающих колебаний линейной системы задается в виде



где s — колеблющаяся величина, описы­вающая тот или иной физический про­цесс, =const — коэффициент затухания, 0 — циклическая частота свободных не­затухающих колебаний той же колебатель­ной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (146.1) рассмот­рим в виде

s=e-u (146.2)

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим



Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот ко­эффициент положителен:

2=20-2 (146.4)


230

(если (2-2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим урав­нение типа (142.1)



решением которого является функция и=А0cos(t+)

(см. (140.1)).

Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (2<<20)

s=A0е-tсоs(t+), (146.5) где А=А0е-t (146.6)

— амплитуда затухающих колебаний, а

a0 — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штри­ховыми линиями. Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда за­тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колеба­ния не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие перио­да или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по­нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимума­ми (или минимумами) колеблющейся фи­зической величины (рис. 208). Тогда пери­од затухающих колебаний с учетом формулы



(146.4) равен




Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству­ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение



называется декрементом затухания, а его

логарифм



— логарифмическим декрементом затуха­ния; Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротно­сти Q, которая при малых значениях лога­рифмического декремента равна



(так как затухание невелико (2<<20), то Т принято равным Т0).

Из формулы (146.8) следует, что до­бротность пропорциональна числу колеба­ний Ne, совершаемых системой за время релаксации.

Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линей­ных систем, для колебаний различной фи­зической природы — механических (в ка­честве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический коле­бательный контур).

^ 1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершаю­щего малые колебания под действием уп­ругой силы F=-kx, сила трения про­порциональна скорости, т. е.




231

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные на­правления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид



Используя формулу 0=k/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици­ент затухания

=r/(2m), (146.10)

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:



Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону

х=A0е-tcos(t+) с частотой =(20-r2/4m2) (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника,

согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rkm.

^ 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R0) имеет вид (см. (143.2))



Учитывая выражение (142.2) и принимая коэффициент затухания

=R/(2L), (146.11)

дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде



Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону

Q=Qme-tcos((t+) (146.12)

с частотой, согласно (146.4),



меньшей собственной частоты контура 0 (см. (143.4)). При R=0 формула (146.13) переходит в (143.4).

Логарифмический декремент затуха­ния определяется формулой (146.7), а до­бротность колебательного контура (см. (146.8))



В заключение отметим, что при увели­чении коэффициента затухания  период затухающих колебаний растет и при =0 обращается в бесконечность, т. е. движе­ние перестает быть периодическим. В дан­ном случае колеблющаяся величина асим­птотически приближается к нулю, когда t. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Огромный интерес для техники пред­ставляет возможность поддерживать коле­бания незатухающими. Для этого необхо­димо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые ав­токолебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отлича­ются от свободных незатухающих колеба­ний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. §147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воз­действиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными пор­циями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колеба­ниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручи-


232

вающейся пружины, либо за счет опуска­ющегося груза. Колебания воздуха в ду­ховых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколеба­ний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами явля­ются также двигатели внутреннего сгора­ния, паровые турбины, ламповый генера­тор и т. д.

§ 147. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющегося по гармоническому закону:

X(t)=X0cost.

Если рассматривать механические ко­лебания, то роль X(t) играет внешняя вы­нуждающая сила

F=F0cost. (147.1)

С учетом силы (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запи­шется в виде



Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению



Если рассматривать электрический ко­лебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодиче­ски изменяющаяся по гармоническому за­кону э.д.с. или переменное напряжение

U=Umcost. (147.3)

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде



Используя (143.4) и (146.11), придем

к уравнению



Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими и вы­нужденными электромагнитными колеба­ниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному диффе­ренциальному уравнению



применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной фи­зической природы (х0 в случае механиче­ских колебаний равно F0/m, в случае элек­тромагнитных — Um/L).

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения не­однородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х0еit:



Частное решение этого уравнения будем искать в виде

s=s0it. Подставляя выражение для s и его про­изводных в уравнение (147.6), получим



Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что =. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину so и умножим ее числитель и знаменатель на (20--2i):




233



Это комплексное число удобно предста­вить в экспоненциальной форме:





Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

s=Aе(iit-)

Его вещественная часть, являющаяся ре­шением уравнения (147.5), равна

s=Acos(t-), (147.10)

где A и  задаются соответственно форму­лами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение не­однородного уравнения (147.5) имеет вид



Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного урав­нения



(см. 146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого ра­венством (147.8). Графически вынужден­ные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой (о и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), так­же зависят от .




Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колеба­ний, учитывая, что 20=1/(LC) (см. (143.4)) и =R/(2L) (см. (146.11)):



Продифференцировав Q=Qmcos(t-) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:





Выражение (147.14) может быть записано в виде

I=Imcos(t-),

где =-/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражени­ем (147.13)




234

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (>0), если L>l/(C), и опережает напряже­ние (<0), если L
Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной ди­аграммы. Это будет сделано в § 149 для переменных токов.

§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных).

Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вы­нужденных колебаний от частоты со. Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, на­зывая колеблющуюся величину либо сме­щением (х) колеблющегося тела из поло­жения равновесия, либо зарядом (Q) кон­денсатора.

Из формулы (147.8) следует, что ам­плитуда ^ А смещения (заряда) имеет мак­симум. Чтобы определить резонансную частоту рез — частоту, при которой ам­плитуда А смещения (заряда) достигает максимума,— нужно найти максимум фун­кции (147.8), или, что то же самое, мини­мум подкоренного выражения. Продиффе­ренцировав подкоренное выражение по  и приравняв нулю, получим условие, опре­деляющее рез:

-4(20-2)+82=0. Это равенство выполняется при =0, ±(20-22), у которых только лишь положительное значение имеет физи­ческий смысл. Следовательно, резонанс­ная частота

рез=(20 -22). (148.1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближе­нии частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте рез называется резонансом (со­ответственно механическим или электриче­ским). При 2<<2 значение рез практиче­ски совпадает с собственной частотой 0 колебательной системы.



Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим



На рис. 210 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях б. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем мень­ше б, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если 0, то все кривые (см. также (147.8)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению x0/20, так называемому статиче­скому отклонению. В случае механических колебаний x0/
еще рефераты
Еще работы по разное