Реферат: Магические квадраты франклина вводные определения Традиционным

Н. В. Макарова


МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА


1. Вводные определения


Традиционным (нормальным или классическим) магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица размером nхn, заполненная различными натуральными числами от 1 до n2 так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях таблицы равна одному и тому же числу, называемому магической константой квадрата.

Нетрудно вывести формулу для магической константы S квадрата порядка n:


S = n(n2+ 1)/2


Если суммы чисел на диагоналях квадрата не равны магической константе, то такой квадрат называется полумагическим (или неполным).

Магический квадрат порядка n называется ассоциативным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу, которое, как нетрудно понять, равно n2+1. Такие числа в ассоциативном магическом квадрате называются взаимно дополнительными или комплементарными. На рис. 1 представлен ассоциативный магический квадрат четвёртого порядка.


1

14

15

4

8

11

10

5

12

7

6

9

13

2

3

16


Рис. 1


Обычные диагонали в магическом квадрате называют главными, чтобы отличать их от разломанных диагоналей. Разломанная диагональ – это диагональ, параллельная главной диагонали и проходящая тоже через n ячеек квадрата. Поскольку главных диагоналей две, то разломанные диагонали тоже будут двух направлений. Рис. 2 помогает понять, как образуются разломанные диагонали магического квадрата четвёртого порядка.





^ Рис. 2


Понятно, что в магическом квадрате порядка n будет 2(n-1) разломанных диагоналей.

Магический квадрат называется пандиагональным (или дьявольским), если сумма чисел по всем разломанным диагоналям равна магической константе квадрата. На рис. 3 изображён пандиагональный магический квадрат четвёртого порядка.


1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6


Рис. 3


Для порядков n = 4k + 2 не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных магических квадратов [16].

Свойство пандиагональности сохраняется при параллельном переносе магического квадрата на торе. Такой перенос вдоль горизонтальной оси координат просто осуществить, если свернуть магический квадрат в трубочку, склеить его левый и правый края, вертикально разрезать квадрат в другом месте, а затем снова развернуть его. Получится, например, такой магический квадрат (рис. 4), который тоже будет пандиагональным.


8

13

12

1

11

2

7

14

5

16

9

4

10

3

6

15


Рис. 4


Аналогично осуществляется параллельный перенос вдоль вертикальной оси (в этом случае склеиваются верхний и нижний края квадрата и делается горизонтальный разрез).

Можно выполнить параллельный перенос одновременно по обеим осям. Параллельный перенос на торе называют ещё торическим переносом.


Магический квадрат называется идеальным, если он одновременно и ассоциативный, и пандиагональный. Идеальные магические квадраты существуют для нечётных порядков n>3 и для чётно-чётных порядков n>4 (чётно-чётным называют порядок кратный 4). В англоязычных работах термину “идеальный квадрат” соответствует термин “ultramagic square”.

На рис. 5 представлен идеальный квадрат пятого порядка.


1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25


Рис. 5


^ 2. Полумагические квадраты Франклина


Американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706–1790) очень увлекался построением магических квадратов. Франклин писал: “В дни моей юности я в свободное время (которое, как мне кажется, можно было бы употребить с большей пользой) развлекался тем, что составлял … магические квадраты” [13].

До нас дошли только пять квадратов, построенных Франклином, из которых четыре являются полумагическими и один магическим. [1, 3] Вероятно, были и другие квадраты, но они, к сожалению, не сохранились. Например, известный пандиагональный квадрат Франклина 16-го порядка даёт основание предполагать, что Франклином был построен подобный пандиагональный квадрат и меньшего 8-го порядка. Известные нам квадраты Франклина обладают рядом уникальных свойств, которые мы рассмотрим ниже.


Сначала представим четыре полумагических квадрата Франклина, это два квадрата 8-го порядка, квадрат 16-го и квадрат 32-го порядка. Свойства полумагических квадратов 8-го и 16-го порядка подробно описаны в работах [1, 2].


Первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка вы видите на рис. 6.


52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17


Рис. 6


Суммы чисел в главных диагоналях этого квадрата равны 228 и 292. Их среднее арифметическое совпадает с магической константой квадрата.

Все полумагические квадраты Франклина обладают интересным свойством: они остаются такими же полумагическими (с теми же суммами чисел по главным диагоналям) при любом торическом переносе. На рис. 7 показан один из полумагических квадратов, полученных торическим переносом полумагического квадрата, изображенного на рис. 6.


1

64

49

48

33

32

17

16

61

4

13

20

29

36

45

52

3

62

51

46

35

30

19

14

60

5

12

21

28

37

44

53

6

59

54

43

38

27

22

11

58

7

10

23

26

39

42

55

8

57

56

41

40

25

24

9

63

2

15

18

31

34

47

50


Рис. 7


В этом полумагическом квадрате суммы чисел по главным диагоналям имеют такие же значения, как в исходном полумагическом квадрате – 228 и 292.

Данное свойство полумагических квадратов Франклина обеспечивает несколько других интересных свойств [1,2].

Полумагический квадрат Франклина можно превратить в магический перестановкой строк, например, как на рис. 8.


52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

9

8

57

56

41

40

25

24

55

58

7

10

23

26

39

42

16

1

64

49

48

33

32

17

50

63

2

15

18

31

34

47


Рис. 8


Существует и другой способ превращения полумагического квадрата Франклина в магический: надо повернуть вокруг центра левый верхний квадрат 4х4 и левый нижний квадрат 4х4 на 90 градусов по часовой стрелке, а правую половину квадрата оставить без изменения. Можно повернуть эти квадраты 4x4 и против часовой стрелки на 90 градусов. Другой вариант: проделать подобные преобразования в правой половине квадрата, оставив левую половину квадрата без изменения. На рис. 9 изображён магический квадрат, полученный из полумагического квадрата, изображённого на рис. 6, первым из перечисленных способов.


11

53

14

52

20

29

36

45

6

60

3

61

46

35

30

19

59

5

62

4

21

28

37

44

54

12

51

13

43

38

27

22

16

50

9

55

23

26

39

42

1

63

8

58

41

40

25

24

64

2

57

7

18

31

34

47

49

15

56

10

48

33

32

17


Рис. 9


Однако магический квадрат, полученный из полумагического квадрата Франклина, теряет некоторые свойства полумагического квадрата. Например, при торических переносах магический квадрат превращается в полумагический, но с разными суммами чисел в главных диагоналях при каждом новом переносе.

Второй полумагический квадрат Франклина 8-го порядка представлен на рис. 10.


17

47

30

36

21

43

26

40

32

34

19

45

28

38

23

41

33

31

46

20

37

27

42

24

48

18

35

29

44

22

39

25

49

15

62

4

53

11

58

8

64

2

51

13

60

6

55

9

1

63

14

52

5

59

10

56

16

50

3

61

12

54

7

57


Рис. 10


В этом квадрате суммы чисел в главных диагоналях имеют значения 252 и 268. Среднее арифметическое этих значений тоже равно магической константе квадрата. Этот квадрат обладает теми же свойствами, что и первый полумагический квадрат Франклина — в частности, его можно превратить в магический точно таким же образом.


Наиболее интересным и известным является полумагический квадрат Франклина 16-го порядка. Этот квадрат исследовали многие авторы [1,2,3].

Вот иллюстрация из старинного журнала с изображением этого квадрата (рис. 11):





Рис. 11


Примечание: иллюстрация взята на форуме http://dxdy.ru/topic12959.html .


Суммы чисел в главных диагоналях этого квадрата равны 1928 и 2184. Их среднее арифметическое равно магической константе квадрата – 2056. Подобно полумагическим квадратам 8-го порядка, этот полумагический квадрат остаётся полумагическим (с такими же суммами чисел в главных диагоналях) при любом торическом переносе. Один из квадратов, полученный торическим переносом, показан на рис. 12.


1

256

225

224

193

192

161

160

129

128

97

96

65

64

33

32

249

8

25

40

57

72

89

104

121

136

153

168

185

200

217

232

7

250

231

218

199

186

167

154

135

122

103

90

71

58

39

26

251

6

27

38

59

70

91

102

123

134

155

166

187

198

219

230

5

252

229

220

197

188

165

156

133

124

101

92

69

60

37

28

248

9

24

41

56

73

88

105

120

137

152

169

184

201

216

233

10

247

234

215

202

183

170

151

138

119

106

87

74

55

42

23

246

11

22

43

54

75

86

107

118

139

150

171

182

203

214

235

12

245

236

213

204

181

172

149

140

117

108

85

76

53

44

21

244

13

20

45

52

77

84

109

116

141

148

173

180

205

212

237

14

243

238

211

206

179

174

147

142

115

110

83

78

51

46

19

242

15

18

47

50

79

82

111

114

143

146

175

178

207

210

239

16

241

240

209

208

177

176

145

144

113

112

81

80

49

48

17

253

4

29

36

61

68

93

100

125

132

157

164

189

196

221

228

3

254

227

222

195

190

163

158

131

126

99

94

67

62

35

30

255

2

31

34

63

66

95

98

127

130

159

162

191

194

223

226


Рис. 12


Полумагический квадрат Франклина 16-го порядка также легко превратить в магический поворотом угловых квадратов 8х8 на 90 градусов подобно тому, как это описано выше для полумагических квадратов 8-го порядка.

Этот квадрат обладает еще несколькими интересными свойствами [1,2]. Например, в любом квадрате 4х4, находящемся внутри этого квадрата, сумма чисел равна магической константе квадрата – 2056. Ещё одно свойство показано на рис. 13.


200

217

232

249

8

25

40

57

72

89

104

121

136

153

168

185

58

39

26

7

250

231

218

199

186

167

154

135

122

103

90

71

198

219

230

251

6

27

38

59

70

91

102

123

134

155

166

187

60

37

28

5

252

229

220

197

188

165

156

133

124

101

92

69

201

216

233

248

9

24

41

56

73

88

105

120

137

152

169

184

55

42

23

10

247

234

215

202

183

170

151

138

119

106

87

74

203

214

235

246

11

22

43

54

75

86

107

118

139

150

171

182

53

44

21

12

245

236

213

204

181

172

149

140

117

108

85

76

205

212

237

244

13

20

45

52

77

84

109

116

141

148

173

180

51

46

19

14

243

238

211

206

179

174

147

142

115

110

83

78

207

210

239

242

15

18

47

50

79

82

111

114

143

146

175

178

49

48

17

16

241

240

209

208

177

176

145

144

113

112

81

80

196

221

228

253

4

29

36

61

68

93

100

125

132

157

164

189

62

35

30

3

254

227

222

195

190

163

158

131

126

99

94

67

194

223

226

255

2

31

34

63

66

95

98

127

130

159

162

191

64

33

32

1

256

225

224

193

192

161

160

129

128

97

96

65


Рис. 13


Сумма чисел в любой из закрашенных фигур равна магической константе квадрата. Эта фигура может “переезжать” через края квадрата, как показано на рис. 14. И в такой фигуре сумма чисел равна магической константе квадрата.


200

217

232

249

8

25

40

57

72

89

104

121

136

153

168

185

58

39

26

7

250

231

218

199

186

167

154

135

122

103

90

71

198

219

230

251

6

27

38

59

70

91

102

123

134

155

166

187

60

37

28

5

252

229

220

197

188

165

156

133

124

101

92

69

201

216

233

248

9

24

41

56

73

88

105

120

137

152

169

184

55

42

23

10

247

234

215

202

183

170

151

138

119

106

87

74

203

214

235

246

11

22

43

54

75

86

107

118

139

150

171

182

53

44

21

12

245

236

213

204

181

172

149

140

117

108

85

76

205

212

237

244

13

20

45

52

77

84

109

116

141

148

173

180

51

46

19

14

243

238

211

206

179

174

147

142

115

110

83

78

207

210

239

242

15

18

47

50

79

82

111

114

143

146

175

178

49

48

17

16

241

240

209

208

177

176

145

144

113

112

81

80

196

221

228

253

4

29

36

61

68

93

100

125

132

157

164

189

62

35

30

3

254

227

222

195

190

163

158

131

126

99

94

67

194

223

226

255

2

31

34

63

66

95

98

127

130

159

162

191

64

33

32

1

256

225

224

193

192

161

160

129

128

97

96

65


Рис. 14


Кроме того, эту фигуру можно повернуть на 90, 180 и 270 градусов. Во всех случаях сумма чисел в фигуре остаётся постоянной. На рис. 15 показана эта фигура, повёрнутая на 90 градусов.


200

217

232

249

8

25

40

57

72

89

104

121

136

153

168

185

58

39

26

7

250

231

218

199

186

167

154

135

122

103

90

71

198

219

230

251

6

27

38

59

70

91

102

123

134

155

166

187

60

37

28

5

252

229

220

197

188

165

156

133

124

101

92

69

201

216

233

248

9

24

41

56

73

88

105

120

137

152

169

184

55

42

23

10

247

234

215

202

183

170

151

138

119

106

87

74

203

214

235

246

11

22

43

54

75

86

107

118

139

150

171

182

53

44

21

12

245

236

213

204

181

172

149

140

117

108

85

76

205

212

237

244

13

20

45

52

77

84

109

116

141

148

173

180

51

46

19

14

243

238

211

206

179

174

147

142

115

110

83

78

207

210

239

242

15

18

47

50

79

82

111

114

143

146

175

178

49

48

17

16

241

240

209

208

177

176

145

144

113

112

81

80

196

221

228

253

4

29

36

61

68

93

100

125

132

157

164

189

62

35

30

3

254

227

222

195

190

163

158

131

126

99

94

67

194

223

226

255

2

31

34

63

66

95

98

127

130

159

162

191

64

33

32

1

256

225

224

193

192

161

160

129

128

97

96

65


Рис. 15


Полумагический квадрат Франклина 32-го порядка представлен на рис. 16-17 ([4]).


Примечание: квадрат представлен в виде двух половинок по 16 столбцов в каждой. Чтобы получить весь квадрат, надо соединить две половинки, присоединив левый край второй части к правому краю первой части.


^ Полумагический квадрат Франклина 32-го порядка – часть 1


784

817

848

881

912

945

976

1009

16

49

80

113

144

177

208

241

242

207

178

143

114

79

50

15

1010

975

946

911

882

847

818

783

782

819

846

883

910

947

974

1011

14

51

78

115

142

179

206

243

244

205

180

141

116

77

52

13

1012

973

948

909

884

845

820

781

780

821

844

885

908

949

972

1013

12

53

76

117

140

181

204

245

246

203

182

139

118

75

54

11

1014

971

950

907

886

843

822

779

778

823

842

887

906

951

970

1015

10

55

74

119

138

183

202

247

248

201

184

137

120

73

56

9

1016

969

952

905

888

841

824

777

785

816

849

880

913

944

977

1008

17

48

81

112

145

176

209

240

239

210

175

146

111

82

47

18

1007

978

943

914

879

850

815

786

787

814

851

878

915

942

979

1006

19

46

83

110

147

174

211

238

237

212

173

148

109

84

45

20

1005

980

941

916

877

852

813

788

789

812

853

876

917

940

981

1004

21

44

85

108

149

172

213

236

235

214

171

150

107

86

43

22

1003

982

939

918

875

854

811

790

791

810

855

874

919

938

983

1002

23

42

87

106

151

170

215

234

233

216

169

152

105

88

41

24

1001

984

937

920

873

856

809

792

793

808

857

872

921

936

985

1000

25

40

89

104

153

168

217

232

231

218

167

154

103

90

39

26

999

986

935

922

871

858

807

794

795

806

859

870

923

934

987

998

27

38

91

102

155

166

219

230

229

220

165

156

101

92

37

28

997

988

933

924

869

860

805

796

797

804

861

868

925

932

989

996

29

36

93

100

157

164

221

228

227

222

163

158

99

94

35

30

995

990

931

926

867

862

803

798

799

802

863

866

927

930

991

994

31

34

95

98

159

162

223

226

225

224

161

160

97

96

33

32

993

992

929

928

865

864

801

800

776

825

840

889

904

953

968

1017

8

57

72

121

136

185

200

249

250

199

186

135

122

71

58

7

1018

967

954

903

890

839

826

775

774

827

838

891

902

955

966

1019

6

59

70

123

134

187

198

251

252

197

188

133

124

69

60

5

1020

965

956

901

892

837

828

773

772

829

836

893

900

957

964

1021

4

61

68

125

132

189

196

253

254

195

190

131

126

67

62

3

1022

963

958

899

894

835

830

771

770

831

834

895

898

959

962

1023

2

63

66

127

130

191

194

255

256

193

192

129

128

65

64

1

1024

961

960

897

896

833

832

769


Рис. 16


Полумагический квадрат Франклина 32-го порядка – часть 2


272

305

336

369

400

433

464

497

528

561

592

625

656

689

720

753

754

719

690

655

626

591

562

527

498

463

434

399

370

335

306

271

270

307

334

371

398

435

462

499

526

563

590

627

654

691

718

755

756

717

692

653

628

589

564

525

500

461

436

397

372

333

308

269

268

309

332

373

396

437

460

501

524

565

588

629

652

693

716

757

758

715

694

651

630

587

566

523

502

459

438

395

374

331

310

267

266

311

330

375

394

439

458

503

522

567

586

631

650

695

714

759

760

713

696

649

632

585

568

521

504

457

440

393

376

329

312

265

273

304

337

368

401

432

465

496

529

560

593

624

657

688

721

752

751

722

687

658

623

594

559

530

495

466

431

402

367

338

303

274

275

302

339

366

403

430

467

494

531

558

595

622

659

686

723

750

749

724

685

660

621

596

557

532

493

468

429

404

365

340

301

276

277

300

341

364

405

428

469

492

533

556

597

620

661

684

725

748

747

726

683

662

619

598

555

534

491

470

427

406

363

342

299

278

279

298

343

362

407

426

471

490

535

554

599

618

663

682

727

746

745

728

681

664

617

600

553

536

489

472

425

408

361

344

297

280

281

296

345

360

409

424

473

488

537

552

601

616

665

680

729

744

743

730

679

666

615

602

551

538

487

474

423

410

359

346

295

282

283

294

347

358

411

422

475

486

539

550

603

614

667

678

731

742

741

732

677

668

613

604

549

540

485

476

421

412

357

348

293

284

285

292

349

356

413

420

477

484

541

548

605

612

669

676

733

740

739

734

675

670

611

606

547

542

483

478

419

414

355

350

291

286

287

290

351

354

415

418

479

482

543

546

607

610

671

674

735

738

737

736

673

672

609

608

545

544

481

480

417

416

353

352

289

288

264

313

328

377

392

441

456

505

520

569

584

633

648

697

712

761

762

711

698

647

634

583

570

519

506

455

442

391

378

327

314

263

262

315

326

379

390

443

454

507

518

571

582

635

646

699

710

763

764

709

700

645

636

581

572

517

508

453

444

389

380

325

316

261

260

317

324

381

388

445

452

509

516

573

580

637

644

701

708

765

766

707

702

643

638

579

574

515

510

451

446

387

382

323

318

259

258

319

322

383

386

447

450

511

514

575

578

639

642

703

706

767

768

705

704

641

640

577

576

513

512

449

448

385

384

321

320

257


Рис. 17


Этот полумагический квадрат обладает аналогичными свойствами, которые имеют место для полумагических квадратов 8-го и 16-го порядка.


^ 3. Пандиагональный квадрат Франклина


Самым интересным квадратом Франклина является пандиагональный квадрат 16-го порядка (рис. 18).


14

253

4

243

12

251

6

245

10

249

8

247

16

255

2

241

3

244

13

254

5

246

11

252

7

248

9

250

1

242

15

256

238

29

228

19

236

27

230

21

234

25

232

23

240

31

226

17

227

20

237

30

229

22

235

28

231

24

233

26

225

18

239

32

221

46

211

36

219

44

213

38

217

42

215

40

223

48

209

34

212

35

222

45

214

37

220

43

216

39

218

41

210

33

224

47

61

206

51

196

59

204

53

198

57

202

55

200

63

208

49

194

52

195

62

205

54

197

60

203

56

199

58

201

50

193

64

207

78

189

68

179

76

187

70

181

74

185

72

183

80

191

66

177

67

180

77

190

69

182

75

188

71

184

73

186

65

178

79

192

174

93

164

83

172

91

166

85

170

89

168

87

176

95

162

81

163

84

173

94

165

86

171

92

167

88

169

90

161

82

175

96

157

110

147

100

155

108

149

102

153

106

151

104

159

112

145

98

148

99

158

109

150

101

156

107

152

103

154

105

146

97

160

111

125

142

115

132

123

140

117

134

121

138

119

136

127

144

113

130

116

131

126

141

118

133

124

139

120

135

122

137

114

129

128

143


Рис. 18


Франклин называл этот квадрат “самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворённых чародеями”. Этот квадрат также обладает несколькими интересными свойствами. [1]

Самым ценным в этом квадрате является то, что его довольно просто превратить в идеальный магический квадрат, в то время как построение идеальных магических квадратов - нелёгкая задача.

Для превращения квадрата, изображённого на рис. 18, в идеальный сначала выполним следующие преобразования: 1) торический перенос одновременно по обеим осям так, чтобы в левой верхней ячейке квадрата оказалось число 1; 2) поворот вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке; 3) отражение относительно вертикальной оси симметрии. Заметим, что все эти преобразования сохраняют пандиагональность квадрата. Полученный в результате указанных преобразований пандиагональный квадрат изображён на рис. 19.


1

240

225

223

210

63

50

80

65

176

161

159

146

127

114

16

242

31

18

48

33

208

193

191

178

95

82

112

97

144

129

255

15

226

239

209

224

49

64

66

79

162

175

145

160

113

128

2

256

17

32

34

47

194

207

177

192

81

96

98

111

130

143

241

3

238

227

221

212

61

52

78

67

174

163

157

148

125

116

14

244

29

20

46

35

206

195

189

180

93

84

110

99

142

131

253

13

228

237

211

222

51

62

68

77

164

173

147

158

115

126

4

254

19

30

36

45

196

205

179

190

83

94

100

109

132

141

243

5

236

229

219

214

59

54

76

69

172

165

155

150

123

118

12

246

27

22

44

37

204

197

187

182

91

86

108

101

140

133

251

11

230