Реферат: Размышления об Эйлере, навеянные думами о прошлом, в свете проблемы устойчивости


Размышления об Эйлере, навеянные думами о прошлом,
в свете проблемы устойчивости

Н. В. Валишвили

Грузинский государственный университет, Кутаиси, Грузия

Мыслитель, ученый, математик, механик и инженер, академик Санкт-Петер-бургской и Берлинской Академий наук Л. Эйлер по совету своего учителя Даниила Бернулли в 1744 году стал закладывать основы науки устойчивости на примере упругих стержней. Она оказалась по существу вечной, неиссякаемым кладезем поисков, сомнений, успехов и неудач. Вызывает удивление и восхищение сила духа, воли и таланта Эйлера, который в условиях начала зарождения современной математики и полного отсутствия каких-либо вычислительных методов и средств, облегчающих расчеты, сумел заложить основы науки устойчивости и получить результаты, эталонные и образцовые, критически обсуждаемые и поныне.

Но не меньшее удивление вызывает тот факт, что в нынешних условиях, когда существуют развитая математика и компьютерная техника, способная считать быстрее человека со скоростью миллиардов операций в секунду, мир продолжает мыслить и считать по образу и подобию Л. Эйлера. Так как считаю эту проблему заслуживающей интереса, не столько математической, сколько философской и психологической, хочу сообщить некоторые свои новые результаты, которые породили желание поделиться мыслями.

Меня сегодня заботит не столько механика и тем более устойчивость тонкостенных систем. Мои думы заняты состоянием устойчивости таких сфер человеческого бытия, как просвещение, которым я непрерывно занимаюсь последние 50 лет, задачи которого в отличие от задач механики являются «мягкими», трудно решаемыми, но как я убедился на собственном опыте, не безнадежными и не бесперспективными. В механике тонкостенных конструкций сейчас говорю только о продольном изгибе стержней и пластин, но хочу верить, что моя новая компьютерная технология окажется полезной в самых разных областях прикладной механики и экономики для изучения неоднозначных, расщепляющихся решений.

Для изучения закономерности нелинейного деформирования стержня, рис. 1, рассмотрим его элемент длиною ds и используем нелинейные дифференциальные уравнения оболочек, [2, стр. 10 – 12]. При этом, опустив лишнее для прямого стержня, которое суть системы и её порядок, шестой, не меняет, получим:

(1)

где: u, v, θ – горизонтальное и вертикальное линейные перемещения точек срединной линии и угол поворота сечения стержня в той же точке; ε10 – деформация волокон, расположенных вдоль центральной оси; U, V, M – горизонтальная и вертикальная составляющие внутреннего усилия, а также изгибающий момент, Qu и Qv – интенсивности распределенных продольных и поперечных нагрузок.

Изменение длины стержня, как правило, не учитывается, но здесь для первого уравнения исключение сделано не случайно. Покажем такую необходимость в некоторых нелинейных задачах, преобразовав первое уравнение системы (1)

(2)

В таком представлении априори сказать, что больше или меньше: первое слагаемое в правой части уравнения или второе, – невозможно.

Введем безразмерные неизвестные, параметры и аргумент:

(3)

где PK – первая критическая эйлерова сила для консольного стержня длиною l.

Неизвестная ε10,так же как и θ, является безразмерной величиной, но в отличие от неё, является зависимой от нормальной силы. В системе новых независимых переменных эта зависимость имеет вид

. (4)

Тот, кто учтет соотношения (4) и оценит роль каждого из двух слагаемых правой части уравнения (2), являющихся мерой укорочения стойки и половины квадрата угла поворота поперечного сечения, без соответствующих предварительных расчетов пренебрежимо малой величиной, будет самонадеянным или наивным простаком. Роль ни того, ни другого уже десятки лет назад, в 1976 году, меня не прельщала. Поэтому уже тогда я пошел наперекор распространенному мнению и в своей книге заранее не дал предпочтение ни одному из них, [2, стр. 10 – 17], хотя в дальнейшем, в конкретных случаях, поступал по обстоятельствам, – то учитывал, то нет какую-нибудь из них.

Учтя свой опыт, и теперь не буду спешить и так выпишу систему уравнений (1) без упрощений в безразмерном виде:

(5)

В первом уравнении системы (5) учтено изменение длин волокон вдоль центральной оси стержня [2, стр. 10]. Хотя такая система не является общепризнанной, но этой проблеме позже, в 1985 году, была посвящена всемирная встреча ученых Евромех–197, которая посчитала её основой новой нелинейной теории тонкостенных элементов, назвав её теорией конечных поворотов конструктивной механики. Труды этой встречи были изданы в 1986 году одновременно в Германии, США, Англии, Франции и Японии, [6, стр. I – X].

Для решения задач в дальнейшем используем две прямоугольные координатные системы: первую неподвижную y1Oy2 с началом в точке заделки стержня, а вторую подвижную, двигающуюся по кривой изогнутой оси в процессе деформирования стержня. Начало движения подвижной системы, то есть начало процесса интегрирования уравнений поместим на свободном конце стержня О1 (в точке с координатой t = 0 и номером N = 1), а конец интегрирования – в точке заделки О(в точке с координатой t = 1 и номером N = 2), рис. 1.

Для решения системы (5) учтем условия на свободном конце стержня, ведущим параметром сделаем y3(0) = A(8,1), а ведомыми определим параметры, которые соответствуют краевым условиям на свободном конце стержня:

(6)

Взяв начальные параметры и осуществив численное интегрирование в соответствии с граничными условиями (6), составим три численные нелинейные уравнения для определения ведомых параметров А(8,2), А(8,3), А(8,4):

y1(1) ≡ F1{A(8,1), A(8,2), A(8,3), A(8,4)} = 0

y2(1) ≡ F2{A(8,1), A(8,2), A(8,3), A(8,4)}  = 0 (7)

y3(1) ≡ F3{A(8,1), A(8,2), A(8,3), A(8,4)}  = 0

В начальных условиях (6) соотношение y4(0)  = A(8,4) соответствует действию сосредоточенной силы. В случае отсутствия сосредоточенной илы, когда на стержень действуют только продольные распределенные нагрузки, это условие заменится нулевым условием y4(0) = 0.

За прошедшее время я решил большое количество нелинейных задач с помощью своего численного метода, который создал и опубликовал почти полвека назад [1, стр. 1089 – 1092]. Я назвал его просто, без всяких прикрас и претензии – «Алгоритм решения нелинейных краевых задач», не посчитав нужным отметить в его характере свойство непрерывности или способности продолжения решения при следовании за параметром, как за поводырем, хотя все это правда, а не выдумка в отношении моего метода. Тем более, я никогда не говорил о непременной связи метода с большими перемещениями оболочек вращения. Все это вместо меня сделали другие, которые старались «улучшить» мой метод внесением в него изменений косметического характера, не пытаясь вникнуть и понять его суть.

Уже на исходе старого тысячелетия и позже, в начале нового столетия, моим методом я вместе с сотрудниками опубликовал [7, 8, 14 – 18] решения ряда нелинейных задач образования, здравоохранения, газодинамики, теплопередачи и аэродинамики. А теперь постараюсь представить решение нелинейных задач, в которых не может быть разговора о непрерывности и продолжении по параметру, так как еще Эйлер сотни лет назад обнаружил свойство бифуркации решения, в своей основе противоречащее понятию непрерывности, означая разрыв и разветвление решения.

С помощью моего метода я рассмотрел и решил задачи Эйлера об устойчивости консольного стержня для случая, когда действующее на стержень продольное сжимающее усилие, определяющее нормальную силу в стержне, изменяется по параболическому закону: N = Рtn = A(8,4)tn. При этом в частном случае, когда показатель степени равен нулю, имеем дело со сосредоточенной сжимающей силой N = P = А(8,4) = const.

Нетерпеливый критик Эйлера и меня, заодно с ним, своего современника не пожалеет и воскликнет: «Зачем объединять две задачи, когда первую из них Эйлер решил, а на второй зуб сломал?»

Не буду сердиться, помнить русскую пословицу, что «на сердитых воду возят», сохранять спокойствие и с умным видом разъяснять нетерпеливому критику, почему не могу последовать его совету.

Действительно, Эйлер не только решил задачу устойчивости стержня для случая сосредоточенной силы, но и постарался решить задачи для параболического характера, начав со случая устойчивости стойки–стержня под действием собственного веса, n = 1. Более того, он несколько раз решил эту задачу и полученные результаты опубликовал. Но каждый раз убеждался, что его решение неверно. Он так и умер, но не довел до конца решение этой злополучной задачи.

В этой истории заключается не вина, а беда Эйлера, который своим уникальным мышлением намного опередил время. Сегодня в компьютерный век, когда возникли благоприятные условия, и задача практически решена в общем виде, благородно ли нам делить этот класс задач Эйлера на части? Что касается меня, когда привожу результаты решения подобных задач, мысленно их увязываю с именем Эйлера, а себя мыслю как исполнителя его завещания. Я всегда помню и не забываю, что, если бы не было Эйлера, сомнительно было бы и появление моих результатов, которые получены решением системы (5), укороченной согласно рассматриваемой задаче и представленной в виде:

(8)

При этом граничные условия для системы (8) представляются следующим образом:

t = 0: y1(0) = A(8,2), y2(0) = A(8,3), y3(0) = A(8,1), y4(0) = 0;

t = 1: y1(1) = 0, y2(1) = 0, y3(0) = 0. (9)

В таблице 1 приведены критические значения параметров нагрузки, которые определены прямым компьютерным методом и программой. При этом они не требуют специального учета бифуркационных скачков и разрывов в решениях. Мой метод, неверно окрещенный самозваными крестными отцами, которых никто не приглашал и не просил, методом непрерывного следования за поводырем–параметром, сам, без посторонней помощи, обнаруживает точки бифуркации и, в случае необходимости, для получения критических сил совершает скачки на необходимую для получения решения высоту, если она даже равна тысячам единиц.

Таблица 1

n

0

1

2

3

4

5

PK

1.00000

3.17647

6.52523

11.0470

16.7386

23.6045

n

6

7

8

9

10

11

PK

31.6424

40.8526

51.2306

62.7948

75.5195

89.4076

n

12

13

14

15

16

17

PK

104.477

120.719

138.130

156.715

176.463

197.410


Новым методом задачи решаются для любого показателя степени n, и получаются значения соответствующих критических параметров для тонкостенных конструкций. Но при необходимости, исследования бифуркации решения могут быть осуществлены этим методом и в других областях человеческого бытия: политике, экономике, просвещении, здравоохранении и других сферах.

Как показывает практика расчета и составления таблицы 1 в выборе значения n ограничений нет. Более того, выбор параболической степенной зависимости для описания характера изменения нормальной нагрузки является условным, так что в принципе он может быть любым. Критические нагрузки, представленные в таблице, определены на компьютере прямо, «в лоб», и для этого не понадобились дополнительные итерационные методы при поиске корней нелинейных уравнений.

После смерти Эйлера проходят века, но страсти вокруг его исследований не утихают. Сменяются поколения ученых, но критика Эйлера, что он не учел свойства материала и еще кое-что и поэтому значения его критических сил недостоверны, не прекращаются. Досужие критики вопреки Эйлеру, вводят понятия приведенных характеристик площади поперечного сечения, модулей упругости, секущего и разгрузки, обсуждают «проблему»: уменьшается или растет сжимающая сила в ходе потери устойчивости стержнем и многое еще другое кое-что. Но Эйлер создал и оставил такой незаменимый и неизмеримый кладезь мудрости, что в нем до конца пока не может разобраться никто. Человечество навсегда останется верным здравому смыслу и не откажется от мудрости Эйлера, несмотря на то, что некоторые ученые все не унимаются и без конца пытаются «улучшать» творение Эйлера внесением в его учение «новшеств» косметического характера, пытаясь «запудрить» мозги обществу.

Чтобы, я тоже, как иной критик, не попал впросак, буду осторожен, вернусь к таблице 1 и в компьютерный век, используя свою технологию определения критической силы, постараюсь вникнуть в суть гибкости стержня. Именно откуда следуют понятия короткого, среднего и длинного стержней, которые являются основным яблоком раздора в оценке значения научного наследия Эйлера. При этом использую понятие коэффициента жесткости , являющееся величиной, обратной гибкости: которая в основном применяется при исследованиях устойчивости стержней.

При переходе от системы (1) – (2) к системе (4) все неизвестные величины были приведены к безразмерному виду за исключением двух неизвестных: угла поворота сечения θ и деформации срединного волокна в продольном направлении ε, – которые сами по себе являются безразмерными величинами. Что касается первого из них, то его безразмерная форма органически вписывается в общий ряд введенных безразмерных неизвестных и поэтому автоматически играет должную роль в определение результатов расчетов. Со второй неизвестной дело обстоит сложнее. Ее учет возможен только изменением длины отрезка интегрирования [0, 1], что до определения значения критической силы невозможно, да и не целесообразно. Во-первых, ее величина зависит от другой неизвестной, нормальной силы, но сама она непосредственно ни на что не влияет.

Во-вторых, я поостерегся распространенного досужего мнения, что укорочение стержня не играет существенной роли при деформировании стержней вообще и при определении критических нагрузок в частности. Так, оставшись в плену общественного мнения, я временно «забыл» рекомендацию международной встречи ученых Евромех–197 о необходимости учета продольной деформации срединных волокон в нелинейных соотношениях тонкостенных конструкций. Видимо, вместе со временем изменился и я, так как во время издания своей книги, на десять лет раньше «сабантуя» ученых, я был молод и неосторожен и поэтому начал свой труд с учета именно этого спорного парадокса [2, стр. 10 – 12].

Поэтому учту и вторую русскую пословицу, которая гласит, что «лучше поздно, чем никогда», и позже, во вторую очередь все же уточню значения критических сил таблицы 1 при учете укорочения стержня.

Таблица 2



n

0

1

2

3

4

5

6

PK

1.000000

3.17647

6.52523

11.0470

16.7386

23.6045

31.6424

0.00

b

1.000000

1.000000

1.000000

1.000000

1.000000

1.000000

1.000000

0.01

b

0.999900

0.998841

0.999782

0.999724

0.999665

0.999607

0.999548

0.02

b

0.999960

0.998365

0.999130

0.998895

0.998661

0.998426

0.998192

0.03

b

0.999100

0.998271

0.998042

0.997514

0.996987

0.996459

0.995932

0.04

b

0.998400

0.997459

0.996520

0.995581

0.994644

0.993705

0.992767

0.05

b

0.997500

0.996029

0,994526

0.993096

0.991630

0.990165

0.988699

0.06

b

0.996400

0.994282

0.992169

0.990058

0.987947

0.985836

0.983726

0.08

b

0.993600

0.989835

0.986079

0.982325

0.978572

0.974820

0.971069

0.10

b

0.990000

0.984118

0.978246

0.972383

0.966519

0.960655

0.954795


В таблице 2 я повторил часть значений критических сил из таблицы 1, снабдив их соответствующими значениями укороченной длины стержня, r = b, жесткости и показателя характера нагрузки n. В этой таблице, как и в таблице 1, критические силы рассчитаны без учета укорочения стержня, но в дальнейшем эти укорочения будут учтены в граничных условиях, и новым расчетом опять с помощью компьютерного метода будут уточнены значения критических сил, которые вместе с процентом уточнения результата приведены в таблице 3.

Из приведенных здесь результатов видно, что для определения значения критической силы учет укорочения стержня так же важен, как учет характеристик нагрузки и жесткости или гибкости.

Любой здравомыслящий человек, который проанализирует приведенные в таблицах результаты, согласится со мной, что Эйлер создал безупречную математическую теорию устойчивости, завещав нам, потомкам построение на её основе прикладной теории. В ней нам следует учесть и представить воедино все факторы, влияющие на устойчивость систем, в том числе разные нелинейности (геометрическую и физическую), свойства конструкции, среды и материала.

Иного дотошного критика, который справедливо упрекнет меня за некорректное определение укорочения стержня без учета пластичности материала, прошу простить меня и посчитать, что я, как Эйлер, теорию пластичности не знаю. Поэтому полученные результаты привожу не для руководства, а для размышлений.

После изучения влияния конструктивного и силового параметров на значение критических сил консольного стержня, рассмотрим место среды в проблеме устойчивости. Для этого расширим систему (8), и представим её в виде системы пятого порядка:

(9)

Эта расширенная система нелинейных уравнений предназначена для исследования устойчивости консольного стержня, который помещен в упругую среду, соответствующей модели Винклера и имеющей характеристику жесткости k. Согласно этой модели взаимодействие стержня и среды определяется соотношением q2 = – k y2.

Таблица 3



n

0

1

2

3

4

5

6

0.00

PK

1.00000

3.17647

6.52523

11.0470

16.7386

23.6045

31.6424

%

0%

0%

0%

0%

0%

0%

0%

0.01

PK

1.00021

3.18754

6.53137

11.0623

16.7734

23.6709

31.5189

%

0%

0%

0%

0%

0%

0%

0%

0.02

PK

1.0081

3.19210

6.53137

11.1082

16.8749

23.8676

32.1051

%

0%

0%

0%

1%

1%

1%

1%

0.03

PK

1.00181

3.19300

6.57693

11.1853

17.0456

24.1098

32.4169

%

0%

1%

1%

1%

2%

2%

2%

0.04

PK

1.00322

3.20081

6.61720

11.2943

17.2879

24.5102

33.5352

%

0%

1%

1%

2%

3%

4%

6%

0.05

PK

1.00503

3.21461

6.67043

11.4364

17.6064

25.0364

34.5552

%

1%

1%

2%

3%

5%

6%

9%

0.06

PK

1.00725

3.23158

6.73404

11.6129

18.0027

26.0842

36.0814

%

1%

2%

3%

5%

7%

10%

12%

0.08

PK

1.01293

3.27533

6.90195

12.0763

19.0627

28.2190

40.0177

%

1%

3%

5%

9%

12%

16%

21%

0.10

PK

1.0231

3.33274

7.12568

12.7074

20.5354

31.2607

30.9279

%

2%

5%

8%

13%

18%

24%

31%

Граничные условия изменятся и примут вид:

(10)

В таблице 4 приведены значения критической силы для укороченного за счет сжатия консольного стержня, находящегося в упругой среде с различными значениями коэффициента постели k и параметра изменения нагрузки n.

Таблица 4

k\n

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1.00000

3.17467

6.52567

11.0470

16.7397

23.6031

31.6412

40.8536

2

1.35490

4.43587

9.06204

15.0645

22.3485

30.8666

40.5912

51.5155

4

1.68491

5.69029

11.5567

18.8520

27.3947

37.1273

48.0316

60.1029

6

1.99081

6.93798

14.0015

22.3974

31.9121

42.5262

54.2545

67.1125

8

2.27351

8.17867

16.3938

25.7082

35.9545

47.2047

59.5198

72.9376

10

2.53447

9.41121

18.7271

28.7802

39.5669

51.2797

64.0246

77.8534


Гораздо сложнее обстоит дело с той задачей Эйлера, которая касается устойчивости двух шарнирно опертой стойки, подвергающейся сжатию распределенными по параболическому закону продольными силами. Эту задачу Эйлер решал всю жизнь, но неоднократно терпел неудачу, «ломал зуб», пытаясь решить задачу устойчивости стойки под действием собственного веса, так как каждый раз получал ответ, что такая стойка не потеряет устойчивость. Я грешным делом в «Сопротивление материалов и конструкций», неубедительно толковал неудачу Эйлера, пытаясь убедить студентов, что наш мудрый предок не смог правильно решить эту задачу из-за неучета возникающих при потере устойчивости стойкой взаимно уравновешивающих друг друга горизонтальных опорных реакций [14, стр. 482 – 485].

Когда сейчас думаю о прошлом, прихожу к выводу, что Эйлер, который прекрасно думал и считал, в условиях равновесия ошибку допустить не мог. Но он слишком рано родился и не знал «психологию» компьютера, а его задачи устойчивости для двухопорных стоек принципиально отличаются от задач консольного стержня, для которых вид нагрузки не имеет значение, так как не требуется удовлетворения условию равенства нулю изгибающего момента над обеими опорами. Поэтому сегодня, в компьютерную эпоху, и во времена Эйлера отношение к действию распределенных сжимающих нагрузок должно быть принципиально разным. В их различии может разобраться только компьютер, которого во времена Эйлера не было и в помине.

С тем, кто мне возразит и скажет, что Эйлер ведь решил задачу устойчивости для балки на двух опорах в случае действия продольной сосредоточенной силы, спорить не стану. Но скажу, что эта задача является исключением из правил, так как в этом случае сила, всегда оставаясь у опоры в процессе потери устойчивости и не меняя направления, не создает изгибающий момент над второй опорой. В этом случае решение задачи упрощается, так как условие равенства нулю момента над обеими опорами автоматически выполняется и число неизвестных параметров с трех уменьшается до двух.

Я, как и любой мало-мальски знакомый с современной вычислительной техникой человек, знаю, что компьютер не сам формирует свою психологию и нравы. Он является детищем, рабом творчества и копией разума человека и не более того. Поэтому в его «мышлении» и «логике» есть только то, что в него заложил человек. Но, кроме этого я, полвека учивший вместе с компьютером машинный язык и логику счета, и то знаю, что количественные изменения в скорости действий и принятии решений постепенно переросли в качественное противостояние в психологии творца и творения, создав зону непонимания и отчуждения между человеком и машиной.

Я несколько раз пытался проследить «логику» в действиях компьютера при реализации моего метода решения нелинейных уравнений для обнаружения точек бифуркации и расчета критических сил. При этом каждый раз добивался успеха только в тех случаях, когда задача имела решение в известных математике функциях, например, тригонометрических, эллиптических или функциях Бесселя. Но, когда этого не было, я не мог понять ахинею компьютера, которая позволяла ему получать решение задачи, хотя в основе его действий был заложен мой метод. Сегодня одному Богу известно, как мыслит и что делает компьютер в своем бездонном и бездушном чреве, когда для решения задачи не существует специальных функций. Что будет завтра, – поживем, увидим...

Однако пора и честь знать, вспомнить еще одну русскую пословицу: «Соловья баснями не кормят», – и выписать чудные уравнения и краевые условия задачи Эйлера в компьютерном варианте для стойки с двумя опорами, которые по понятным причинам не мог знать Эйлер. Сегодня мы обязаны знать и не удивляться, что компьютерный вариант уравнений и краевых условий отличается от тех же выражений для аналитического решения задачи.

Итак, система уравнений для изучения устойчивости стержня, который лежит на двух шарнирных опорах в сжатом продольными силами состоянии, имеет вид:

(11)

где .

Для этой необычной системы уравнений граничные условия тоже необычные и странные, так как изгибающий момент на конечной опоре вместо нуля равен неизвестной величине А(8,3):

(12)

Полученные в результате решения системы (11) – (12) значения критических усилий для разных значений нагрузочного параметра n приведены в таблице 5.

Таблица 5

n

0

1

2

3

4

5

PK

1.00000

1.92062

3.13417

4.64084

6.43850

8.53278

n

6

7

8

9

10

11

PK

10.9180

13.5358

16.5674

19.8317

23.3889

27.2392

n

12

13

14

15

16

17

PK

31.3824

35.8186

40.5477

45.5699

50.8850

56.4931


Таблицу 5 начал составлять еще Эйлер. Первую задачу, которой соответствуют значения параметра нагрузки n = 0 и критической силы в безразмерном виде PK = 1, он решил, и это решение сегодня общеизвестно. Но, чтобы напомнить его, переведем безразмерное значение критической силы для двухопорной балки с сосредоточенной сжимающей силой в привычный для всего технически грамотного честного народа размерный вид:

(13)

Не забудем упомянуть и вторую задачу таблицы 5 (n = 1), которую начал решать Эйлер, но не успел закончить, так как не учел, что жизнь человека является мгновением в быстротечном периоде существования живого на земле. Для безразмерной критической силы двухопорной стойки, теряющей устойчивость под действием собственного веса, в таблице 5 приведено непривычное для общества безразмерное значение PK = 1.92062, которому также соответствует формула в непривычном размерном виде

(14)

Я близкий этому результат получил и раньше, составив алгоритм и программу счета на основе уже известной численной методики, которую привел в учебнике для студентов [14, стр. 483 – 485] не случайно. Я считаю, что эта методика сегодня является вчерашним днем и имеет не научное, а познавательное значение:

(15)

Хотя этот результат почти совпадает с точным численным решением (14) и получен тоже на компьютере раньше его на десятки лет, я его научным достижением не считаю, так же, как не считаю вкладом в науку решения подобных задач в специальных функциях. Уверен, что не все согласятся со мной, но я утверждаю, что тот внес вклад в науку устойчивости, кто хоть на полшажка продвинул учение Эйлера вперед. В таких размышлениях нахожусь, когда думаю о необычном характере системы уравнений (11) и краевых условий (12).

Свой учебник я начинаю [14, стр. 21 – 24] с изложения принципов, которые лежат в основе сопротивления материалов и конструкции. При этом, говоря о принципе сохранения начальных размеров, отмечаю роль исключений, среди которых, как видно из уравнений (11) и краевых условий (12), особую роль играют задачи устойчивости.

Когда на стержень действуют продольные распределенные сжимающие силы, до начала потери устойчивости стержень находится в исходном, горизонтальном положении между двумя опорами и никаких изгибающих моментов в нем не возникает. Не возникает он и в надопорных сечениях, в которых следует удовлетворить краевым условиям. Но с началом процесса потери устойчивости стержень начинает отклоняться от горизонтального положения вместе с распределенными силами. При этом эти силы, оставаясь параллельными исходной горизонтальной оси, создают вертикальные реакции на опорах, которые должны друг друга уравновесить, так как других вертикальных сил нет в системе. Но при этом чистый изгиб сменяется поперечным изгибом, при котором исключается явление эффекта потери устойчивости Эйлера.

Положение только кажется безвыходным, но выход все-таки есть: разрешающие уравнения устойчивости надо записать в начальном положении системы и менять их в процессе потери устойчивости и отклонения стержня от исходного положения, учетом изменения опорных реакциях при численном счете. При этом возникающий в процессе счета надопорный реактивный изгибающий момент, хотя является фиктивным, уравновешивает момент активных сил, исключая появление вертикальных взаимно уравновешивающих друг друга опорных реакций и создавая условие для чистого изгиба, обязательного для компьютерного метода определения критической силы. При аналитических и некоторых численных процессах этот эффект не дает о себе знать, но мой метод, который особенно чувствителен к непорядкам в системе счета, сразу сигнализирует, отказываясь продолжать расчет.

Для исключения нежелательного явления у правой опоры к стержню следует приложить сосредоточенный неизвестный, изменяющийся в ходе процесса счета изгибающий момент А(8,3), который в начале процесса потери устойчивости равен нулю, а в ходе процесса счета возникает, полностью уравновешивая моменты от продольных сил и тем самым исключая возникновение вертикальных опорных реакций и обеспечивая условие чистого изгиба для стержня. Чудак момент, как появится неожиданно в начале процесса потери устойчивости, так и внезапно исчезнет во тьме неизвестности, став равным нулю, после завершения процесса потери устойчивости и исполнения своей роли.

Когда размышляю об этом, то невольно вспоминаю капитальный обзорный труд академика И. И. Воровича, который, подводя итог исследованиям в области нелинейной теории пологих оболочек, упомянул и мои работы с сотрудниками, которые по тематике и выводам являются исключением из тысяч исследований, проведенных в мире в прошлом веке. Речь идет о круглых пластинах, для которых только мы и американская пара исследователей смогли выявить неоднозначные решения для осесимметричного нагружения [5], в то время как другие исследователи не могли теоретически доказать возможность существования в этом случае нескольких решений [15, стр. 267 – 268].

Это мне напоминает китайскую притчу о поисках черной кошки в темной комнате, где её нет. Другие ученые, которые также исследовали проблему, в отличие от меня и моих сотрудников, А. К. Твалчрелидзе и Д. Ш. Георхелидзе, искали несколько решений в классе осесимметричных решений при действии поперечной нагрузки. Мы их нашли, когда изучили неосесимметричные деформирования осесимметричного нагружения пластинки так же, как и другие, поперечными силами.

Тот, кто подумает, что я сказал главное, ошибется. На самом деле я хотел спросить, чем характеризуются и отличаются друг от друга пластина, пологая оболочка и вообще оболочечные тонкостенные конструкции? Если речь идет об оболочках, то тот же И. И. Ворович в своей книге правильно пишет, что многочисленные примеры получения неоднозначных решений для оболочек можно найти в работах, которые я выполнил один или с сотрудником [15, стр. 288 – 289]. При этом он ссылается на мою книгу, в которой кроме оболочек рассматриваются круглые пластинки и определяются также критические значения при осесимметричном нагружении пластинки продольными силами. При этом пластинка теряет устойчивость по осесимметричной форме, которую для пластинки при поперечном нагружении ученые всего мира безуспешно ищут, так как ее не существует.

Видимо, мой друг Иосиф Израилевич суть пологости конструкции, как все, считает чисто геометрическим понятием, но мне кажется, что, если рассматривать её в отрыве от характера нагрузки, можно попасть впросак и утверждать, что при нагружении пластинки продольными осесимметричными силами круглая пластинка не теряет устойчивости. Примерно такая история случилась с Эйлером, но он не поверил своему решению, что стойка под действием собственного веса не теряет устойчивости, и оказался прав. Мы тоже поступим как Эйлер и не поверим утверждению, что круглая пластинка по осесимметричной форме не потеряет устойчивости при осесимметричном нагружении, и с помощью моего метода и компьютерной программы исследуем устойчивость круглой пластинки на основе уравнений пологих оболочек Рейсснера-Феодосьева.

Аналогично работе [2, стр. 139] постараемся получить наиболее простую форму разрешающих уравнений для симметричного относительно центральной оси деформирования круглых пластин. В этом случае для безразмерных параметров, аргумента и неизвестных получим формулы, в которых для размерных и безразмерных величин при необходимости используем одинаковые символы. При этом для их отличия у размерных величин в верхнем индексе поместим звездочку:

(16)

Здесь w, θ – нормальные перемещения и угол поворота нормали в точках срединной поверхности, удаленных от центра пластины на расстояние r; N1, N2, M1, M2 – радиальные и окружные нормальные силы и изгибающие моменты, соответственно; Ф, Θ – разрешающие функции, через которые выражаются нормальные силы и изгибающие моменты; μ – коэффициент Пуассона; P – интенсивность радиальных усилий у контура пластины.

Применив эти соотношения к общим уравнениям оболочек вращения [2, стр. 17 – 21] и преобразовав их применительно к пластинке, получим:

. (17)

Штрихом в уравнениях (17) обозначается производная по r. Наличие продольных распределенных нагрузок нелинейная теория Рейсснера-Феодосьева, которой, в основном, я пользовался всегда, не предусматривает, и поэтому их нет в системе (17).

Запишем граничные условия на наружном контуре пластинки r = 1, если на контуре имеется шарнирно подвижная опора и приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью P, (задача 1):

. (18)

Если на контуре крепление пластинки исключает поворот нормали в меридиональной плоскости, но позволяет свободу движения в радиальном направлении, то граничные условия на контуре, при r = 1, имеют вид (задача 2)

. (19)

При численном решении задачи для пластинки необходимо иметь также выражения, характеризующие поведение разрешающих функций в малой окрестности центра пластинки которые имеют вид

(20)

Для удобства осуществления расчетов целесообразно перевести (17) в систему из пяти уравнений первых порядков с помощью формул

(21)

При этом получим систему нелинейных дифференциальных уравнений:

(22)

Изучение устойчивости круглых осесимметричных пластин начнем с пластинки, имеющей шарнирно подвижный внешний контур и подвергающейся по нему сжатию в плоскости пластинки равномерно распределенной радиальной нагрузкой интенсивности P. При этом граничные условия представляются соотношениями (18) и (20), которые для новых неизвестных (21) принимают вид:

(23)

Таким образом, мы получили интегрально-дифференциальную нелинейную краевую задачу с четырьмя параметрами А(8,1), А(8,2), А(8,3) и А(8,4), среди которых первый ведущий, а три остальные – ведомые. В то же время мы имеем точно такое же количество условий в конце отрезка интегрирования, что позволяет определить все три ведомых параметра, в том числе и критическую силу при фиксированном бесконечно малом с инженерной точки зрения значения ведущего параметра А(8,1).

Из элементарного анализа системы уравнений и граничных условий видно, что если критическая сила для пластинки при действии продольных сил существует, то её надо определять в зависимости от коэффициента Пуассона, который присутствует в краевых условиях первой задачи, а во второй он вообще отсутствует. Что касается нагрузки, то она в обеих задачах присутствует вопреки логике и здравому смыслу только в краевых условиях. Несмотря на это, я провел расчеты новым численным методом для обеих задач и получил значения критических сил во всем диапазоне возможного изменения коэффициента Пуассона и для полученных численно значений критических сил составил таблицу 6.

Из таблицы следует вывод, что я как бы обделил вторую задачу, решив для неё только одну задачу, в то время как первой уделил целых восемь!

Таблица 6

μ

0.00

0.10

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.50

Задача 1

3.38991

3.66875

3.93791

4.06900

4.19780

4.32436

4.44872

4.69100
еще рефераты
Еще работы по разное
© РОНЛ.орг 2000-2026 По всем вопросам обращаться на эту почту: admin@ronl.org