Реферат: Квазистатический метод анализа случайных процессов в нелинейных системах

МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

                                                     Кафедра  ОРТЗИ

РЕФЕРАТ  на тему

«КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА СЛУЧАЙЙНЫХПРОЦЕССОВ  В  НЕЛИНЕЙНЫХ  СИСТЕМАХ»

  по дисциплине

«Теория помехоустойчивости».

Выполнил:

Студент группы БИ 4-2

Зыков АнтонВ. 

Москва- 2007<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU">

МЕТОДЫ АНАЛИЗА СЛУЧАЙЙНЫХ ПРОЦЕССОВ  В  НЕЛИНЕЙНЫХ  СИСТЕМАХ

                      1. ФОРМУЛИРОВКА    ЗАДАЧИ.    МЕТОДЫ АНАЛИЗА

В соответствии с классификацией преобразований cл. пр., рассмотрим детерминированные нелинейныеинерционные преобразования. При таких преобразованиях ин­тересующий нас процессна выходе нелинейной системы η(t) связан с входным процессом ξ(t) нелинейным дифференциальным уравнением. Вид этогоуравнения определяется конкретной си­стемой или устройством.

В качестве примеров типовых нелинейныхрадиотехнических систем можно указать следующие: все автоколебательные системы(автогенераторы гармонических и импульсных колебаний), нели­нейные усилители идетекторы различных видов, модуляторы, разнообразные следящие системы (фазоваяи частотная автопод­стройки, дальномеры, автомагическая регулировка усиления),триггеры и др. При этом следует различать два вида или класса моделейнелинейных систем: системы, представляющие собой разные комбинации нелинейныхбезынерционных устройств

<img src="/cache/referats/25524/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

Рис. 1. Пример нелинейной системы

и линейных звеньев и системы, описыва­емые нелинейнымидифференциальными уравнениями.

Анализ моделей нелинейных систем первого вида посуществу сводится к раздельному пересчету вероятностных характеристик сл. пр.через нелинейные безынерционные устройства и линейные системы; правила такихпересчетов были рассмотрены ранее.

Пусть, например, требуется вычислить корреляционнуюфун­кцию на выходе нелинейной системы (рис. 5.1), состоящей из двух нелинейныхбезынерционных устройств, между которыми включена линейная система с импульснойхарактеристикой h(t), при нулевых начальных условиях:

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

<img src="/cache/referats/25524/image004.jpg" v:shapes="_x0000_i1026">     (1.1)

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

Отсюда видно, что для вычисления требуемойкорреляционной функции необходимо знать двумерную п. в. процесса ξ(t) на выходелинейной системы. Если принять, что входной процесс ξ(t) гауссовский, то процесс η(t) на выходе первого нелинейного элемента будетнегауссовским и задача определения двумерной п.в. pξ(ξ1,ξ2, t1, t2) может быть решена лишь приближенно. Приведенныерассуждения можно обобщить на нелиней­ные системы, описываемые функциональнымирядами Вольтерра .

Встречаются трудности при анализе ел. пр. в нелинейныхсистемах второго вида, описываемых нелинейными дифференци­альными уравнениями.Будем говорить, что система имеет порядок k, если она описывается дифференциальным уравнением k-го порядка. Применительно к нелинейной системепервого порядка нелинейное дифференциальное уравнение может, напри­мер, иметьвид

<img src="/cache/referats/25524/image006.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">

(1.2)

Вид функций f(•) и g(•)определяется параметрами рассмат­риваемой системы.  Для детерминированной  системы   (преоб­разования) эти функции считаются детерминированнымии извест-Если  функции fи gнелинейныотносительно η, то (2) eсть нелинейноедифференциальное уравнение первого порядка.

В том случае, когда входное воздействие ξ(t) содержит белый шум п((), уравнение принято называтьстохастическим диф­ференциальным уравнением. Если же ξ(t) содержит только кор­релированное воздействие (cл. пр. с конечным, не нулевым интервалом корреляции),то соответствующее дифференциальное уравнение будем называть флюктуационнымдифференциальным уравнением, хотя в литературе встречаются и другие названия(уравнение Ланжевена, кинетическое уравнение}.

Формулировка задачи анализа остается прежней:предполагая известными параметры модели системы, т. е. конкретный вид уравнения(2) и необходимые вероятностные характеристики входного процесса (воздействия) ξ(t), требуется найти нужные вероятностные характеристикивыходного процесса η(t). Техарактеристики выходного процесса η(t), которые нужно нахо­дить, определяются физическимсодержанием конкретной задачи. Обычно интересуются моментами (чаще всего м. о.и корреляци­онной функцией) выходного процесса η(t) или же п. в. (чаще одномерной и реже двумерной).

Известно, что характер решения нелинейного дифференци­альногоуравнения зависит от его вида, формы внешнего воздействия и начальных условий,причем в общем случае невозможно записать решение в квадратурах. В этом состоитсущественное отличие нелинейных инерционных преобразований ел. пр. от линейных,для которых выходной процесс выражается через входной с помощью интеграласвертки.

По этой же причине нелинейные инерционные преобразованияпринципиально отличаются от безынерционных преобразований и сводящихся к ним.При безынерционных (функциональных) преобразованиях ел. пр. известнысравнительно простые методы «пересчета» вероятностных характеристик (9). Длянелинейных инерционных преобразований не существует единого метода решения.

Метод решения нелинейных флюктуационныхдифференциальных уравнений, в частности уравнения (2), определяется двумяфактора­ми: 1) интенсивностью случайного воздействия !;(/) и 2) отношениеминтервала корреляции tк. воздействия к характерной постоянной времени системыtс. Приэтом, говоря об интенсивности случайного воздействия, здесь имеем в виду нефактическую величину самого сл. пр. ξ(t) (например, величину его дисперсии), а вызываемый имв системе эффект (случайный разброс). Отметим, что если система сложная ихарактеризуется несколькими постоянными времени, то в качестве времени тсследует брать минимальное из них. Аналогично, ели внешнее случайное воздействиеξ(t) характеризуется нескольки­ми временами, то под tкследуетпонимать максимальное из них зависимости от указанных двух факторов можноуказать следующие частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения.

1. Случайноевоздействие малой интенсивности.Вданном случае независимо от соотношения tки tсприменимметод линеаризации. Он заключается в том, что сначала находится решениеисходного нелинейного дифференциального уравнения в отсутствие малогослучайного воздействия, а затем уравнение линеаризуется относительно малыхслучайных отклонений от невозмущенных значений и делается пренебрежениенелинейными членами, содержащими эти случайные отклонения. В результате дляслучайных отклонений получается линейное дифференциаль­ное уравнение. Методыпреобразования cл. пр. линейными системами былирассмотрены ранее.

Метод линеаризации позволяет сравнительно просто вычис­литьм. о. и корреляционную функцию процесса η(t) в стаци­онарном и нестационарном состояниях. Однакопри негауесовском возмущении ξ(t) весьматрудно (например, методом вычисления моментов) найти даже одномерную п. в. для η(t).

2. Случайноевоздействие большой интенсивности.Здесь нет единого и универсального метода решения; выбор метода зависит отсоотношения tки tс.

a. Если tс>>tки входное воздействие ξ(t) представляет собой гауссовский cл. пр, то применим хорошо разработанный аппаратмарковских процессов. В частности, для анализа поведения динамических системможно использовать известное уравнение ФПК, а задачи, связанные с достижениемграниц (срывом слежения и автозахватом), решать с помощью уравненияПон-трягина. Данный случай характерен для многих следящих ра­диотехническихустройств. Метод марковских процессов даже в существенно нелинейных задачах впринципе позволяет находить непосредственно п. в. выходного процесса η(t). Сложность фак­тического получения решения дляконкретной задачи существенно зависит от порядка дифференциального уравнения,описывающего поведение рассматриваемой системы, и вида начальных и гранич­ныхусловий.

К настоящему времени аналитическими и численными ме­тодамиполучено много важных и оригинальных результатов в основном для одномерных идвумерных нелинейных систем. Применительно к динамическим системам, описываемымдиф­ференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков, частовозникают трудности в получении точных и компактных аналитических и численныхрезультатов. В подобных случаях, когда возникают затруднения, иногда можнопродуктивно вос­пользоваться явлением нормализации ел. пр. на выходе инер­ционнойсистемы.  При этом заранеепринимается,  что п. в. выходного-процесса  является  нормальной, и  затем  тем или иным способом вычисляются ееопределяющие параметры. В ча­стности, если дисперсия выходного процесса мала,то ее можно определять из линеаризованного уравнения, а м. о. из нелинейного  уравнения. Кроме такого метода применяюттакже квазилинейный метод (часто называемый методом статистическойлинеаризации). При его применении предполагается заранее известной п. в.выходного процесса, и поэтому он часто фактически базируется на том же явлениинормализации.

 

b. При tс«tкможно ограничиться решением задачи в ква­зистатическомприближении. Оно характеризуется тем, что в пер­вом приближении делаетсяпренебрежение временной производ­ной, например в уравнении (2). После этогозадача сводится к нелинейному безынерционному преобразованию

<img src="/cache/referats/25524/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1028">                      (1.3)

Решив это уравнение относительно η(t), получим η(t) = F(t, ξ,(t)).

При квазистатическом приближении внешнее случайное воз­действиесчитается настолько медленно изменяющимся, что система с определеннойдеформацией безынерционно отслеживает его. В некоторых задачах при сведенииинерционного нелинейного преобразования к безынерционному целесообразновоспользовать­ся методом осреднения Н. Н. Боголюбова.

в.Случай промежуточных времен корреляции (tс~t.к) являетсянаиболее сложным при анализе. Ряд нелинейных систем при таком условии можноанализировать, используя функциональное представление Вольтерра нелинейныхдифференциальных ура­внений2.

Отметим, что области применения перечисленных методованализа принципиально не ограничиваются порядком нелинейного дифференциальногоуравнения. Однако с повышением порядка уравнения существенно возрастаеттрудоемкость вычислений.

В дальнейшем проиллюстрируем методику примененияразных методов на конкретных радиотехнических примерах, рассмотрение которыхпредставляет самостоятельный интерес.

                                       2. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Общие условия применения квазистатического метода иего сущность были кратко указаны выше. Получим этим методом конкретныерезультаты применительно к детектированию

 

<img src="/cache/referats/25524/image010.jpg" v:shapes="_x0000_i1029">

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

Рис. 2. Упрощенная схема типового радиоприемника

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

<img src="/cache/referats/25524/image012.jpg" v:shapes="_x0000_i1030">

Рис. 3. Схема амплитудного де­тектора

ставить в виде (7.42): случайных узкополосныхпроцессов. Основными элементами типового радиоприемника являются УПЧ и детектор(рис.2). Обычно УПЧ представляет собой линейный уз­кополосный четырехполюсник.При воздействии на него широкопо­лосного гауссовского шума п({) (например,собственных шумов предыдущих каскадов) и полезного гармонического сигнала 5(0вы­ходное напряжение можно пред-

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

<img src="/cache/referats/25524/image014.jpg" v:shapes="_x0000_i1031">

<img src="/cache/referats/25524/image016.jpg" v:shapes="_x0000_i1032">

(2.1)

Для простоты предполагается, что частота полезногосигнала совпадает с центральной частотой полосы пропускания УПЧ.

Случайное напряжение ξ(t) воздействует на детектор. Найдем характеристикислучайного напряжения η(t) на выходедетектора. Проиллюстрируем методику применения квазистатистического метода напримере амплитудного детектора огибающей, схема которого изображена на рис.3.

Пусть нелинейный элемент Д (диод) имеет вольт-ампернуюхарактеристику i=g(v), v= ξ — η.Считая равным нулю внутреннее сопротивление генератора входного напряжения ξ(t) из очевидных соотношений

получим дифференциальное уравнение

<img src="/cache/referats/25524/image018.jpg" v:shapes="_x0000_i1033">

<img src="/cache/referats/25524/image020.jpg" v:shapes="_x0000_i1034">                                                                  (2.2)

Поскольку назначение любого детектора в радиоприемникесостоит в возможно лучшем выделении модулирующего напряже­ния, то он,во-первых, должен сглаживать радиочастотные колебания и, во-вторых, напряжениена цепи КС должно успевать «следить» за изменениями модулирующего напряжения(приме­нительно к амплитудному детектору следить за огибающей). Выполнение этихдвух условий достигается тем, что параметры детектора должны удовлетворять двумнеравенствам:

<img src="/cache/referats/25524/image022.jpg" v:shapes="_x0000_i1035">       (2.3)

-интервал корреляции огибающей В(t).

Петектор для которого выполняются эти два неравенства,принято называть детектором огибающей. Другие случаи ис­пользования детектора,когда эти условия не выполняются, здесь не рассматриваются .

Выполнение условий (3) существенно упрощает задачу ис­следованияпроцесса детектирования случайных сигналов, так сак при этом выходноенапряжение η(t) почти безынерционно(квазистатически) зависит от огибающей В(t).

<img src="/cache/referats/25524/image024.jpg" v:shapes="_x0000_i1036">

Проинтегрируем это уравнение за период Т0:

Подставив (1) в (2)' имеем

<img src="/cache/referats/25524/image026.jpg" v:shapes="_x0000_i1037">                            (2.4)

При выполнении первого условия (3) функция η(t) мало изменя­ется за период Т0. Поэтомуразность η(t+T0) — η(t) почти не отличается от η(t)Т0. Медленно изменяющиеся величины подзнаком интеграла можно принять приближенно постоянными, т. е. можно положить

иучитывать изменение только cos(wt' + Ψ). Поэтому (4) можно записать как

<img src="/cache/referats/25524/image028.jpg" v:shapes="_x0000_i1038">

иэто уравнение затруднительно решить в общем виде. Хотя

ги переходный процесс, рассмотрим в дальнейшем

щионарноесостояние. Для стационарного состояния при

выполнениивторого неравенства (3) можно ограничиться квазистатистическим ограничением

Т.е. в левой части уравнения (5)  можнопренебречь производной. После этого  получимуравнение

<img src="/cache/referats/25524/image030.jpg" v:shapes="_x0000_i1039">

(2.6)дающее безынерционную зависимость выходного напряжения η(t) от огибающей В(t). Здесь при интегрировании по х величины В и г)принимаются постоянными.

Таким образом, при исследовании воздействия узкополосногосл. пр. на детектор огибающей в стационарном состоянии можно ограничитьсяквазистатическим приближением, т. е. вместо точ­ного дифференциальногоуравнения (2) можно ограничиться анализом приближенного функциональногосоотношения (6).

Для линейного детектора огибающей, имеющегохарактеристику

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

<img src="/cache/referats/25524/image032.jpg" v:shapes="_x0000_i1040">

(2.7)

где R1— внутреннее сопротивление диода в открытом состоянии,из (о) получим

<img src="/cache/referats/25524/image034.jpg" v:shapes="_x0000_i1041">                (2.8)

Безразмерную величину А; можно назвать коэффициентомвоспроизведения оги­бающей.

Характерным свойством линейного детектора огибающей, вотличие от других типов амплитудных детекторов, является то, что коэффициентвоспро­изведения огибающей kне зависит отзначения самой огибающей и определяется только отношением сопротивлений R/R1. После вычисления коэффициента А; веро­ятностныехарактеристики выходного напряжения η(t) = kВ(t) просто находятся по соответствующим характеристикамогибающей.

При квадратичном детектировании нелинейнаяхарактеристика задается вы­ражением

<img src="/cache/referats/25524/image036.jpg" v:shapes="_x0000_i1042">                                               (2.9)

В данном случае формула (6) приводит к следующемурезультату:

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

<img src="/cache/referats/25524/image038.jpg" v:shapes="_x0000_i1043">

                                                                                 (2.10)

Теперькоэффициент & не имеет прежнего прямого смысла, поскольку он зависит отзначения огибающей В(1).

При βRB≤0,1выполняется неравенство k«1. Полагая аrccosk=π/2  из (10)найдем

<img src="/cache/referats/25524/image040.jpg" v:shapes="_x0000_i1044">                          (2.11)

напряжение пропорционально квадрату огибающей. Длябольших значений βRВ коэффициент kможно найти путем численного решения трансцен­дентногоуравнения (10).

Укажем,что если в схеме рис.2 за УПЧ включен идеальный ограничитель и вместоамплитудного детектора стоит фазовый или частотный детектор и для нихвыполняются условия, аналогичные (3), обеспечивающие применимость квазистатичес­когоприближения, то напряжение на выходе фазового детектора будет пропорциональнослучайной фазе  Ψ(t) узкополосногоcл. пр. (1), а на выходе частотного детектора — пропорциональномгновенной частоте dΨ(t)/dt

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

                                                                   ЛИТЕРАТУРА.

1 Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теориифлюктуации в радиотехнике.— М.: Сов. радио, 1961.—558с.

2 Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковскихпроцессов и их приложения: Пер. с англ./Под ред. А. Н. Ширяева.—М.: Наука,1969.—512с.

3 Гардинер К. В.  Стохастические   методы   в  естественных   науках: с англ./Подред. Р. Л. Стратоновича.— М.: Мир, 1986.— 526с.

   4  Тихонов.Моделирование нелинейных систем на основе теории Вине-ра//ТИИЭР.- 1981.—Т. 69,№ 12—С. 261—269.