Реферат: Гидравлика 2
--PAGE_BREAK--(17)или, разделив обе стороны равенства наdt,
<img width=«117» height=«41» src=«ref-2_281481345-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">. (18)
Подставляя полученное соотношение в(14), находим:
<img width=«165» height=«44» src=«ref-2_281481769-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">. (19)
Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л. Эйлером в<metricconverter productid=«1775 г» w:st=«on»>1775г. Оно называется уравнением Эйлера является одним из основных уравнений гидродинамики.
Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее объема действует еще сила <img width=«24» height=«17» src=«ref-2_281482270-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">, где gесть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения(14), так что(19) приобретает вид
<img width=«153» height=«44» src=«ref-2_281482374-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">. (20)
При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывал процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое здесь относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.
Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости (а также, конечно, и между жидкостью и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.
При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая посредством<img width=«12» height=«15» src=«ref-2_281482848-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> энтропию, отнесенную к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением
<img width=«47» height=«41» src=«ref-2_281482931-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">, (21)
где полная производная по времени означает, как и в(14), изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде
<img width=«111» height=«41» src=«ref-2_281483111-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">. (22)
Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движенияидеальной жидкости. С помощью <img width=«105» height=«41» src=«ref-2_281483400-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> его можно написать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии
<img width=«141» height=«41» src=«ref-2_281483688-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">. (23)
Произведение psvпредставляет собой «плотность потока энтропии».
Надо иметь в виду, что обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках объема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатичности просто в виде
s
= const. (24)
что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют изэнтропическим.
Изэнтропичностью движения можно воспользоваться для того, чтобы представить уравнение движения(19) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением
<img width=«108» height=«21» src=«ref-2_281484199-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">, (25)
где w– тепловая функция единицы массы жидкости, <img width=«55» height=«23» src=«ref-2_281484428-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> – удельный объем, а Т – температура. Поскольку s= const, мы имеем просто
<img width=«115» height=«44» src=«ref-2_281484580-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">, (26)
и поэтому <img width=«79» height=«44» src=«ref-2_281484873-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">. Уравнение(19) можно, следовательно, написать в виде
<img width=«147» height=«41» src=«ref-2_281485102-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">. (27)
Полезно заметить еще одну форму уравнения Эйлера, в котором оно содержит скорость. Воспользовавшись известной формулой векторного анализа
<img width=«180» height=«41» src=«ref-2_281485550-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, (28)
можно написать(29) в виде
<img width=«232» height=«41» src=«ref-2_281486068-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">. (29)
Если применить к обеим строкам этого уравнения операцию rot, то мы получим уравнение
<img width=«129» height=«41» src=«ref-2_281486570-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">, (30)
содержащее только скорость.
К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые должны выполняться на ограничивающих жидкость стенках. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных стенках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки компонента скорости жидкости:
<img width=«45» height=«24» src=«ref-2_281486902-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> (31)
(в общем же случае движущейся поверхности <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_281487035-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> должно быть равно соответствующей компоненте скорости поверхности).
На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие равенства давлений и условие равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна скорости нормального перемещения самой поверхности раздела).
Как уже было указано, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами: тремя компонентами скорости <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281487132-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> и, например, давлением р и плотностью <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281476076-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность движения.
1.Основная формула гидростатики.
Закон Паскаля. Понятие о напоре
Рассмотрим абсолютный покой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
Уравнение Эйлера(20) принимает вид
<img width=«87» height=«21» src=«ref-2_281487309-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">. (32)
Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости. Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнение равновесия гласит просто <img width=«49» height=«21» src=«ref-2_281487505-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">, т.е. р= const– давление одинаково во всех точках жидкости.
Уравнение(32) непосредственно интегрируется, если плотность жидкости можно считать постоянной вдоль всего объекта, т.е. если не происходит заметного сжатия жидкости под действием внешнего поля. Выберем оси координат, как показано на рис.2. Поскольку из массовых сил действует только сила тяжести, то
<img width=«84» height=«44» src=«ref-2_281487647-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">; <img width=«71» height=«41» src=«ref-2_281487923-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">. (33)
<img width=«166» height=«252» src=«ref-2_281488141-4758.coolpic» v:shapes="_x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046">Таким образом, искомая функция р зависит только от одной переменной z; интегрирование последнего равенства дает
<img width=«97» height=«21» src=«ref-2_281492899-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, (34)
где С – произвольная постоянная.
Эта формула выражает гидростатический закон распределения давления, состоящий в том, что в тяжелой (подверженной действию силы тяжести) несжимаемой жидкости давление линейно зависит от вертикальной координаты.
Чтобы найти постоянную в уравнении(34), надо использовать какое-нибудь граничное условие. Пусть, например, жидкость покоится в резервуаре (см. рис.2) причем на ее свободной поверхности давление равно р0. Будем это давление называть внешним.
Для точек свободной поверхности можем записать
<img width=«109» height=«24» src=«ref-2_281493091-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">. (35)
Вычитая это отношение из уравнения(34), находим
<img width=«133» height=«24» src=«ref-2_281493304-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> (36)
или, обозначив через <img width=«77» height=«24» src=«ref-2_281493652-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> заглубление точки М под свободную поверхность, получим основную формулу гидростатики
<img width=«95» height=«24» src=«ref-2_281493914-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">, (37)
где величина <img width=«35» height=«21» src=«ref-2_281494120-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> называется весовым давлением.
Из этой формулы ясно, что всякое изменение внешнего давления <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281494249-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> вызывает изменение давления во всех точках покоящейся жидкости на ту же величину. Этот результат известен как закон Паскаля.
Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, т.е. в ней отсутствуют напряжения сжатия, то <img width=«47» height=«24» src=«ref-2_281494349-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">. Значения<img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281494488-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">, отсчитанные от нуля, называют иногда абсолютным давлением.
В технике весьма часто представляет интерес избыток давления р над атмосферным <img width=«29» height=«23» src=«ref-2_281494578-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">, который называется избыточным или манометрическим давлением. По определению
<img width=«89» height=«24» src=«ref-2_281494690-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">. (38)
Для произвольной точки М, заглубленной на высоту hпод свободную поверхность, избыточное давление равно
<img width=«149» height=«24» src=«ref-2_281494863-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">; (39)
отсюда видно, что избыточное давление совпадает с весовым, если давление на свободной поверхности равно атмосферному (<img width=«63» height=«24» src=«ref-2_281495135-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">).
Если все члены формулы(37) разделить на величину <img width=«27» height=«17» src=«ref-2_281495285-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">, то они приобретут линейную размерность:
<img width=«93» height=«47» src=«ref-2_281495393-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">. (40)
Отсюда следует, что каждому давлению р можно поставить в соответствие линейную величину <img width=«44» height=«23» src=«ref-2_281495666-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">, которая представляет собой величину столба жидкости, создающего в своем основании данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, показанной на рис.3.Если на свободной поверхности в резервуаре давление <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281494249-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, а из запаянной сверху трубки А удален воздух, то под действием давления <img width=«107» height=«24» src=«ref-2_281495913-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> жидкость в трубке поднимется над точкой М на некоторую высоту <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_281496139-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">, называемую приведенной высотой. Принимая приближенно, что на свободной поверхности в трубке давление равно нулю, согласно(37) можно записать <img width=«84» height=«25» src=«ref-2_281496252-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">. Следовательно, приведенная высота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности которого давление равно нулю, а в основании– данному давлению жидкости.
Для трубки П, открытой в атмосферу и называемой пьезометром, получим
<img width=«120» height=«24» src=«ref-2_281496456-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">, (41)
откуда
<img width=«148» height=«47» src=«ref-2_281496695-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">; (42)
<img width=«426» height=«472» src=«ref-2_281497056-12131.coolpic» v:shapes="_x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049">
величину <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_281509187-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> называют пьезометрической высотой.
Если давление в точках какого-либо объема жидкости меньше атмосферного (<img width=«56» height=«23» src=«ref-2_281509288-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">), то такое состояние называется вакуумом. Для его характеристики вводится понятие вакуумметрического давления (<img width=«23» height=«23» src=«ref-2_281509432-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">), под которым подразумевается недостаток данного давления до атмосферного
<img width=«92» height=«23» src=«ref-2_281509534-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">. (43)
Соответствующая высота называется вакуумметрической:
<img width=«133» height=«47» src=«ref-2_281509706-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">. (44)
На рис.3 и4 показаны вакуумметрические высоты для случаев вакуума в капельной жидкости и газе. Давление измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В системе СИ единицей давления служит Н/м2= Па (паскаль), а в технической системе– кгс/см2= ат (техническая атмосфера). Наряду с этими, как следует из(42) и(44), давление можно, измерять в единицах длины столба данной жидкости.
Общей формулой перевода единиц давления в линейные единицыявляется
<img width=«55» height=«45» src=«ref-2_281510037-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">. (45)
При выражении давления высотой столба жидкости чаще всею применяют метры водяного столба, миллиметры ртутного столба и миллиметры спиртового столба.
Гидростатический закон распределения давления, выраженный формулой (34), справедлив, очевидно, для любого положения координатной плоскости хОу. Эту плоскость называют плоскостью сравнения, а величину <img width=«97» height=«45» src=«ref-2_281510223-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">– гидростатическим напором. Величину <img width=«91» height=«47» src=«ref-2_281510470-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, где <img width=«21» height=«24» src=«ref-2_281510711-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">– избыточноедавление, называют пьезометрическим напором. Из формулы(34) следует, что напоры <img width=«32» height=«24» src=«ref-2_281510810-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> и <img width=«24» height=«24» src=«ref-2_281510931-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> постоянны для всех точек данной массы покоящейся жидкости.
2.
Силы давления жидкости на твердые поверхности
В общем случае воздействие жидкости на твердую поверхность Sсводится к сумме элементарных сил <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">, действующих на малых площадках dS
, составляющих эту поверхность (рис.5).
Если <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_281511154-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> – единичный вектор нормали к поверхностиS, внешней к объему жидкости, а <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281494488-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">– давление на площадке dS
,то сила<img width=«79» height=«25» src=«ref-2_281511335-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">.
Суммируя систему сил <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">, получаем выражение для главного вектора
<img width=«81» height=«40» src=«ref-2_281511645-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">, (46)
называемого силой давления жидкости на поверхность S
,и выражение для главного момента
<img width=«211» height=«286» src=«ref-2_281511964-4051.coolpic» v:shapes="_x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052"><img width=«107» height=«40» src=«ref-2_281516015-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">, (47)
где <img width=«12» height=«13» src=«ref-2_281516388-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> – радиус-вектор площадки <img width=«23» height=«19» src=«ref-2_281516470-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> относительно центра приведения системы сил.
Рассмотрим несколько частных случаев.
2.1.Равномерное давление на плоскую стенку (р=const
., п=
const
).
В этом случае суммируемые векторы <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> составляют систему параллельных и одинаково направленных сил. Такая система всегда может быть сведена только к силе давления <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">. При р = const иn = constиз выражения(46) получаем
<img width=«63» height=«25» src=«ref-2_281516784-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">. (48)
Линия действия силы <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> проходит через центр тяжести площадиS.
Равномерное давление может создаваться покоящимся газом, так как благодаря малой его плотности можно пренебречь действием массовых сил и считать давление одинаковым во всех точках газа.
Равномерное давление может создаваться и капельной жидкостью, например, при ее воздействии на горизонтальные площадки, в случае абсолютного покоя или движения сосуда с ускорением вверх или вниз.
Величина силы <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> при равномерном распределении давления не зависит от ориентации плоской стенкиS в пространстве и вычисляется по формуле <img width=«55» height=«21» src=«ref-2_281517143-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">.
Например, для схемы на рис.6 давление на дне <img width=«100» height=«24» src=«ref-2_281517288-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">, а сила <img width=«127» height=«24» src=«ref-2_281517501-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">. Заметим, что сила давления на дно не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс).
2.2.Сила равномерного давления на криволинейную стенку (<img width=«67» height=«19» src=«ref-2_281517864-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">, <img width=«65» height=«19» src=«ref-2_281518022-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">)
В этом случае элементарные силы <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> имеют разные направления. Главный вектор <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> системы вычисляется через свои проекции. Чтобы найти его проекцию <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281518387-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> на ось х, проектируем на эту ось векторы <img width=«69» height=«25» src=«ref-2_281518490-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> (рис.7).
<img width=«460» height=«242» src=«ref-2_281518661-10987.coolpic» v:shapes="_x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059">
<img width=«255» height=«25» src=«ref-2_281529648-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">,
где <img width=«20» height=«21» src=«ref-2_281530229-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> – единичный вектор оси x; <img width=«27» height=«24» src=«ref-2_281530330-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">– проекция площадки dSна плоскость, нормальную оси х. Искомая величина <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281518387-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> при <img width=«65» height=«19» src=«ref-2_281530552-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">
<img width=«228» height=«41» src=«ref-2_281530708-665.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">. (49)
Линия действия силы <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281518387-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> проходит через центр тяжести площади проекции <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281531476-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">. Таким образом, величина проекции на направлении оси xсилы равномерного давления р на криволинейную поверхностьSравна произведению давления и площади проекции Sxэтой криволинейной поверхности на плоскость. нормальной оси х.Если такие проекции на три взаимно ортогональные оси пересекаются в одной точке, то система сил <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> может быть сведена только к силе давления, величина которой
<img width=«137» height=«32» src=«ref-2_281531693-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">, (50)
а направление определяется направляющими косинусами
<img width=«99» height=«43» src=«ref-2_281532000-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">; <img width=«100» height=«44» src=«ref-2_281532353-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">; <img width=«97» height=«43» src=«ref-2_281532715-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">. (51)
Если составляющие не пересекаются в одной точке, система сводится к силе и моменту.
2.3.Сила неравномерного давления на плоскую стенку(<img width=«67» height=«19» src=«ref-2_281533061-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, <img width=«65» height=«19» src=«ref-2_281518022-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">).
Систему элементарных сил <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">, одинаковых по направлению, но различныхпо величине, можно свести в данном случае к одной силе давления
<img width=«81» height=«40» src=«ref-2_281533491-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">, (52)
<img width=«282» height=«281» src=«ref-2_281533813-10038.coolpic» v:shapes="_x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062">где S
–площадь стенки.
Величина этой силы
<img width=«72» height=«40» src=«ref-2_281543851-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> (53)
зависит от закона распределения давления Р по площадиS. При воздействии на S капельной жидкости эти законы могут быть различными. Их конкретный вид зависит от ориентации площадки и действующих на жидкость массовых сил при абсолютном и относительном покое.
Вычислим силу <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> для плоской стенки, наклоненной к горизонту под углом aи подверженной воздействию тяжелой жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя (рис.8).
Определим результирующую силу избыточных давлений <img width=«21» height=«24» src=«ref-2_281510711-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, которые создаются внешним избыточным <img width=«52» height=«24» src=«ref-2_281544343-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> и весовым <img width=«35» height=«21» src=«ref-2_281494120-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> давлениями. Заменим внешнее давление <img width=«25» height=«24» src=«ref-2_281544622-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> воздействием эквивалентного слоя жидкости, толщина, которого <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281544730-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> определяется высотой поднятия жидкости в пьезометре <img width=«68» height=«47» src=«ref-2_281544837-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">. Таким образом, внешнее давление из рассмотрения исключается, и свободная поверхность СП заменяется пьезометрической плоскостьюПП. Продолжим плоскость стенки до пересечения с пьезометрической плоскостью. Вдоль линии их пересечения направим ось х, а ось у расположим в плоскости стенки. Затем для наглядности повернем плоскость стенки на90° вокруг оси у и совместим стенку с плоскостью чертежа.
Величину силы вычислим по формуле(53):
<img width=«79» height=«40» src=«ref-2_281545056-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">.
В рассматриваемом случае (см. рис.8) давление
<img width=«149» height=«24» src=«ref-2_281545371-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, (54)
что при подстановке в формулу(53) дает
<img width=«121» height=«40» src=«ref-2_281545646-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.
Интеграл <img width=«41» height=«40» src=«ref-2_281546041-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> представляет собой статический момент площадиS
относительно оси Ох, равный, как известно, произведениюS на координату <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_281546296-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> ее центра тяжести.
Поэтому
<img width=«296» height=«51» src=«ref-2_281546393-677.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">. (55)
Формула(55) может быть записана в двух видах
<img width=«67» height=«24» src=«ref-2_281547070-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">, (56)
где <img width=«139» height=«51» src=«ref-2_281547236-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> – избыточное давление в центре тяжести площадиS, или
<img width=«127» height=«24» src=«ref-2_281547653-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">. (57)
Согласно(56) величина силы избыточного давления покоящейся жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на избыточное давление в ее центре тяжести.
Вектор силы <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> направлен по нормали к стенке S
:
<img width=«55» height=«23» src=«ref-2_281548005-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">,
а линия действия этой силы пересекает стенку в некоторой точкеD, называемой центром давления. Для отыскания координат этой точки (<img width=«48» height=«23» src=«ref-2_281548151-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">) используем теорему о равенстве момента равнодействующей и суммы моментов составляющих, которая в данном случае выражается уравнением
<img width=«133» height=«40» src=«ref-2_281548284-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, (58)
где <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281548701-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> и <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_281548803-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> – радиус-векторы соответственно центра давления Dи произвольной точки (ху) площадиS.
По правилам составления проекций векторного произведения находим
<img width=«105» height=«40» src=«ref-2_281548891-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">; <img width=«103» height=«40» src=«ref-2_281549254-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.
Учитывая выражения(54) и(55), получим
<img width=«91» height=«128» src=«ref-2_281549611-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> (59)
Более удобные выражения для<img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281550264-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"> и <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281550362-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> получим, если воспользуемся теоремой о соотношении между моментами второй степени, взятыми относительно параллельных осей
<img width=«153» height=«40» src=«ref-2_281550465-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">; <img width=«124» height=«40» src=«ref-2_281550922-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">,
где <img width=«35» height=«24» src=«ref-2_281551335-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">– оси координат, проходящие через центр тяжести С площадкиS параллельно осям х и у; <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281551459-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> и <img width=«21» height=«24» src=«ref-2_281551556-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> – координаты центра тяжести С в системе xу; <img width=«33» height=«28» src=«ref-2_281551656-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> – центробежный момент площадиS относительно осей х и у; <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_281551806-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> – момент инерции площадиS относительно оси х (см. рис.8). Окончательно,
<img width=«103» height=«51» src=«ref-2_281551935-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">; <img width=«101» height=«48» src=«ref-2_281552254-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. (60)
Вторая из формул(60) показывает, что центр давления расположен ниже центра тяжести на величину<img width=«61» height=«25» src=«ref-2_281552561-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">.
Возвращаясь к формуле(57), заметим, что силу давления в рассматриваемом случае можно получить, складывая независимо вычисленные две силы: <img width=«68» height=«24» src=«ref-2_281552759-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> и<img width=«87» height=«24» src=«ref-2_281552933-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, где <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_281553134-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">– сила внешнего избыточного давления, <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281553235-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">– сила весового давления. При таком способе определения силы <img width=«17» height=«17» src=«ref-2_281553340-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> следует помнить, что линии действия сил <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_281553134-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> и <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281553235-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> не совпадают, и центр давленияD определяется линией действия суммарной силы <img width=«79» height=«27» src=«ref-2_281553637-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">.
2.4.Неравномерное давление на криволинейную твердую поверхность (<img width=«65» height=«19» src=«ref-2_281553830-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">, <img width=«64» height=«19» src=«ref-2_281553991-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">) может быть создано тяжелой жидкостью при абсолютном или относительном покое. Элементарные силы <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> составляют в этом случае самую общую систему, которая должна сводиться к силе давления <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> (46) и моменту <img width=«21» height=«21» src=«ref-2_281554356-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> (47). Однако существуют частные случаи,, когда система сводится к одной силе давления <img width=«17» height=«21» src=«ref-2_281516689-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">, например, если линии действия элементарных сил<img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281511040-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> пересекаются в одной точке (сферическая стенка).
Рассмотрим криволинейную поверхность S, находящуюся под воздействием внешнего избыточного давления <img width=«51» height=«24» src=«ref-2_281554674-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> и весового давления <img width=«35» height=«17» src=«ref-2_281554823-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> (рис.9). Как было показано в предыдущем пункте, задачу отыскания силы давления можно расчленить, определяя раздельно силы весового и внешнего давлений. Эту же задачу можно свести к задаче об определении только весового давления, заменив внешнее давление действием эквивалентного слоя жидкости.
<img width=«435» height=«199» src=«ref-2_281554941-10353.coolpic» v:shapes="_x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065">
--PAGE_BREAK--
2. ГИДРОДИНАМИКА
2.1 Основные понятия гидродинамики
Основныеэлементы движения жидкости. Причинами движения жидкости являются действующие на нее силы: объемные или массовые силы (сила тяжести, инерционные силы) и поверхностные силы (давление, трение). В отличие от гидростатики, где основной величиной, характеризующей состояние покоя жидкости, является гидростатическое давление, которое определяется только положением точки в пространстве, т.е. <img width=«88» height=«23» src=«ref-2_281585762-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">, в гидродинамике основными элементами, характеризующими движение жидкости, будут два: гидродинамическое давление и скорость движения (течения) жидкости.
Гидродинамическое давление р – это внутреннее давление. развивающееся при движении жидкости. Скорость движения жидкости в данной точке и – это скорость перемещения находящейся в данной точке частицы жидкости, определяемая длиной пути l, пройденного этой частицей за единицу времени t
.
В общем случае основные элементы движения жидкости р и и для данной точки зависят от ее положения в пространстве (координат точки) и могут изменяться во времени. Аналитически это положение гидродинамики записывается так:
<img width=«101» height=«23» src=«ref-2_281586059-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">,
<img width=«100» height=«23» src=«ref-2_281586378-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">.
Задачей гидродинамики и является определение основных элементов движения жидкости р и u, установление взаимосвязи между ними и законов изменения их при различных случаях движения жидкости.
Траекториячастицы.Если в массе движущейся жидкости взять какую-либо частицу жидкости и проследить ее путь за какой-то промежуток времени <img width=«20» height=«19» src=«ref-2_281586694-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> (конечный, достаточно большой), то можно получить некоторую линию, выражающую геометрическое место этой точки в пространстве за время <img width=«20» height=«19» src=«ref-2_281586694-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">.
<img width=«166» height=«213» src=«ref-2_281586892-4505.coolpic» v:shapes="_x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075">Линиятока. Если в массе движущейся жидкости в данный момент времени tвзять какую-либо точку 1(рис. 12), то можно в этой точке построить вектор скорости и1, выражающий величину и направление скорости движения частицы жидкости в данной точке 1в этот момент времени.
В тот же момент времени t
можно взять и другие точки в движущейся жидкости, например, точки 2, 3, 4,. .....
в которых также можно построить векторы скоростей u2,u3, и4,… выражающие скорость движения других частиц жидкости в тот же момент.
Можно выбрать точки 1, 2, 3, 4… и провести через них плавную кривую, к которой векторы скоростей будут всюду касательны. Эта линия и называется линией тока.
Таким образом, линией тока называется линия, проведенная через ряд точек в движущейся жидкости так, что в данный момент времени векторы скорости частиц жидкости, находящихся в этих точках, направлены по касательной к этой линии. В отличие от траектории, которая показывает путь движения одной частицы жидкости за определенный промежуток времени <img width=«20» height=«19» src=«ref-2_281586694-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">, линия тока соединяет разные частицы и дает некоторую мгновенную характеристику движущейся жидкости в момент времени t
. Через заданную точку в данный момент времени можно провести только одну линию тока.
Если в данных точках движущейся жидкости величина и направление скорости и гидродинамическое давление с течением времени не изменяются (такое движение называется установившимся), то и линия тока, и траектория частицы, оказавшейся на ней, совпадают и со временем не изменяются. В этом случае траектории частиц являются и линиями тока.
<img width=«171» height=«166» src=«ref-2_281591496-2499.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078">Элементарная струйка. Если в движущейся жидкости выделить весьма малую элементарную площадку <img width=«21» height=«19» src=«ref-2_281593995-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">, перпендикулярную направлению течения, и по контуру ее провести линии тока, то полученная поверхность называется трубкой тока, а совокупность линий тока, проходящих сплошь через площадку <img width=«21» height=«19» src=«ref-2_281593995-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">, образует так называемую элементарную струйку(рис. 13).
Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в данный момент времени t. При установившемся движении элементарная струйка имеет следующие свойства:
1. форма и положение элементарной струйки с течением времени остаются неизменными, так как не изменяются линии тока;
2. приток жидкости в элементарную струйку и отток из нее через боковую поверхность невозможен, так как по контуру элементарной струйки скорости направлены по касательной;
3. скорость и гидродинамическое давление во всех точках поперечного лечения элементарной струйки можно считать одинаковым ввиду малости площади <img width=«21» height=«19» src=«ref-2_281593995-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">.
Поток.Совокупность элементарных струек движущейся жидкости, проходящих через площадку достаточно больших размеров, называется потоком жидкости. Поток ограничен твердыми поверхностями, по которым происходит движение жидкости (труба), и атмосферой (река, лоток, канал и т.п.).
2.2 Понятие о потоке жидкости.
Гидравлическиеэлементы потока. Живым сечением называется поверхность в пределах потока, проведенная перпендикулярно к линиям тока (элементарным струйкам). В общем случае эта поверхность криволинейная (на рис. 14 поверхность ABC). Однако в большинстве случаев практической гидравлики поток жидкости можно представить параллельно-струйным или с очень малым углом расхождения струек, а за живое сечение принять плоское поперечное сечение потока (нарис. 14 плоскость АС). Площадь живого сечения обозначается <img width=«201» height=«261» src=«ref-2_281594301-3333.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081">буквой s
.
Смоченным периметром называется
длина части периметра живого сечения, в пределах которой поток соприкасается с твердыми внешними стенками. Смоченный периметр обозначают буквой П.
Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к
смоченному периметру:
<img width=«63» height=«23» src=«ref-2_281597634-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">. (67)
На рис. 15 приведены примеры поперечных сечений потока: а) трапецеидальное; б) прямоугольное; в) круговое.
Для кругового сечения, заполненного жидкостью полностью (рис. 15, в): <img width=«72» height=«24» src=«ref-2_281597798-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">; <img width=«55» height=«21» src=«ref-2_281597981-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">; <img width=«99» height=«23» src=«ref-2_281598122-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">.
Расходжидкости и средняя скорость. Расходом жидкости называется количество жидкости, проходящей через данное живое сечение потока в единицу времени.
Расход потока жидкости обозначают Q, а элементарной струйки – <img width=«27» height=«21» src=«ref-2_281598333-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">. Единицами измерения расхода являются: м3/сек, м3/ч или л/сек, л/ч и др.
<img width=«440» height=«154» src=«ref-2_281598450-7477.coolpic» v:shapes="_x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086">
Рассмотрим элементарную струйку (рис. 13) с поперечным сечением <img width=«21» height=«19» src=«ref-2_281593995-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> и постоянной скоростью движения частицы жидкости и. Через промежуток времени t
частицы переместятся из сечения 1-1 в сечение 2-2 на расстояние l. При этом через сечение 1-1 пройдет элементарный объем жидкости <img width=«64» height=«21» src=«ref-2_281606029-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">. Разделив обе части уравнения на t
, получим
<img width=«71» height=«41» src=«ref-2_281606185-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">,
но <img width=«76» height=«23» src=«ref-2_281606408-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> –расход элементарной струйки (объем, прошедший через элемент живого сечения 1-1 в единицу времени); <img width=«36» height=«41» src=«ref-2_281606601-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> –скорость движения частиц жидкости (путь, пройденный частицами жидкости за единицу времени).
Отсюда
<img width=«166» height=«166» src=«ref-2_281606745-3382.coolpic» v:shapes="_x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089"><img width=«68» height=«21» src=«ref-2_281610127-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">, (67a)
т. е. расход элементарной струйки равен площади ее поперечного сечения, умноженной на скорость в
этом сечении. Поток жидкости в данном живом сечении представляет совокупность (сумму) большого числа элементарных струек, заполняющих сплошь площадь живого сечения, поэтому для определения расхода потока через живое сечение s
необходимо взять сумму расходов <img width=«27» height=«21» src=«ref-2_281598333-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> элементарных струек, т.е.
<img width=«76» height=«36» src=«ref-2_281610415-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">. (67б)
В общем случае, чтобы воспользоваться формулой (67б) для определения расхода потока, надо знать закон распределения скоростей по живому сечению, который очень сложен или вообще неизвестен. Поэтому для практических расчетов вводится понятие средней скорости потока.
На рис. 16 представлен график (эпюра) распределения действительных скоростей в точках живого сечения потока, из которого видно, что скорости по сечению распределяются неравномерно. При действительных скоростях через живое сечение проходит определенный расход Q. Можно найти некоторую постоянную для всех точек сечения фиктивную скорость, при которой через данное сечение проходил бы тот же самый расход, что и при действительных скоростях движения жидкости. Эта скорость v
будет средней из действительных скоростей. Подставляя в формулу (67б) скорость v
получим <img width=«75» height=«36» src=«ref-2_281610726-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">, но <img width=«63» height=«16» src=«ref-2_281611034-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">, <img width=«63» height=«36» src=«ref-2_281611177-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">,поэтому
<img width=«47» height=«21» src=«ref-2_281611451-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">, (68)
т. е. расход жидкости в данном сечении потока равен произведению средней скорости движения жидкости, умноженной на площадь живого сечения.
Итак, средней скоростью потока в данном сечении v
называется такая
одинаковая для всех точек живого сечения скорость движения жидкости, при
которой через это живое сечение проходит тот же расход
Q
, что и при действительных скоростях движения жидкости и.
Из формулы (68) можно написать
<img width=«53» height=«23» src=«ref-2_281611586-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">, (68/)
<img width=«53» height=«23» src=«ref-2_281611739-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">. (68//)
Формулы (68), (68') и (68") используются при решении основных гидравлических задач, связанных с потоком жидкости. Их следует четко знать и запомнить.
2.3. Виды движения жидкости
Установившимся стационарнымдвижением жидкости называется такое движение, при котором в каждой данной точке основные элементы движения жидкости – скорость движения и и гидродинамическое давление р не изменяются с течением времени, т.е. зависят только от координат точки. Аналитически это условие запишется так:
<img width=«87» height=«23» src=«ref-2_281611891-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> и <img width=«91» height=«23» src=«ref-2_281612185-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">.
Неустановившимся (нестационарным) движением жидкости называется такое движение, при котором в каждой данной точке основные элементы движения жидкости – скорость движения и и гидродинамическое давление р – постоянно изменяются, т.е. зависят не только от положения точки в пространстве, но и от времени <img width=«9» height=«16» src=«ref-2_281612484-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">. Аналитически это условие запишется так:
<img width=«97» height=«23» src=«ref-2_281612565-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> и <img width=«101» height=«23» src=«ref-2_281612880-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">.
Примером установившегося движения может быть: движение жидкости в канале, в реке при неизменных глубинах, истечение жидкости из резервуара при постоянном уровне жидкости в нем и др. Неустановившееся движение – это движение жидкости в канале или реке при переменном уровне или при опорожнении резервуара, когда уровень жидкости в нем непрерывно изменяется.
В дальнейшем будет изучаться главным образом установившееся движение жидкости и в отдельных случаях будут разбираться примеры неустановившегося движения.
Установившееся движение в свою очередь подразделяется на
равномерное и неравномерное.
Равномерным называется такое установившееся движение, при котором
живые сечения вдоль потока не изменяются: в этом случае <img width=«63» height=«16» src=«ref-2_281613200-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">; средние
скорости по длине потока также не изменяются, т.е. <img width=«63» height=«16» src=«ref-2_281611034-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">. Примером равномерного движения является: движение жидкости в цилиндрической трубе, в канале постоянного сечения при одинаковых глубинах.
Установившееся движение называется неравномерным, когда
распределение скоростей в различных поперечных сечениях неодинаково; при этом средняя скорость и площадь поперечного сечения потока могут быть и достоянными вдоль потока. Примером неравномерного движения может быть движение жидкости в конической трубе или в речном русле переменной ширины.
Напорным называется движение жидкости, при котором поток полностью заключен в твердые стенки и не имеет свободной поверхности. Напорное движение происходит вследствие разности давлений и под действием силы тяжести. Примером напорного движения является движение жидкости в замкнутых трубопроводах (например, в водопроводных трубах).
Безнапорным называется движение жидкости, при котором поток имеет свободную поверхность. Примером безнапорного движения может быть: движение жидкости в реках, каналах, канализационных и дренажных трубах. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести и за счет начальной скорости. Обычно на поверхности безнапорного потока давление атмосферное.
Следует отметить еще один вид движения: свободную струю. Свободной струей называется поток, не ограниченный твердыми стенками. Примером может служить движение жидкости из пожарного брандспойта, гидромонитора, водопроводного крана, из отверстия резервуара и т. п. В этом случае движение жидкости происходит по инерции (т. е. за счет начальной скорости) и под действием силы тяжести.
Для упрощения выводов, связанных с изучением потока жидкости, вводится понятие о плавно изменяющемся движении жидкости.
Плавно изменяющимся называется такое движение жидкости, при котором кривизна струек незначительна (равна нулю или близка к нулю) и угол расхождения между струйками весьма мал (равен нулю или близок к нулю), т. е. практически поток жидкости мало отличается от параллельноструйного. Это предположение вполне оправдывается при изучении многих случаев движения жидкости в каналах, трубах и других сооружениях.
Отметим следующие свойства потока при плавно изменяющемся движении:
1. поперечные сечения потока плоские, нормальные к оси потока;
2. распределение гидродинамических давлений по сечению потока подчиняется закону гидростатики, т.е. гидродинамические давления по высоте сечения распределяются по закону прямой. Это свойство легко можно доказать, если внутри потока выделить частицу жидкости и спроектировать все действующие на нее силы на плоскость живого сечения. Вследствие того, что скорости и ускорения в этом случае будут перпендикулярны сечению, силы инерции в уравнение не войдут; поэтому уравнение равновесия и закон распределения давления в плоскости живого сечения не будет отличаться от такового для жидкости, находящейся в покое;
3. удельная потенциальная энергия (т. е. потенциальная энергия единицы веса жидкости) по отношению к некоторой плоскости сравнения для всех точек данного сечения потока жидкости есть величина постоянная.
2.4. Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости
При рассмотрении движения жидкости считают, что в потоке жидкость сплошь заполняет занимаемое ею пространство без образования пустот, т.е. движение жидкости происходит неразрывно. В этом случае справедливо уравнение неразрывности движения, выводимое на основе закона сохранения массы. Получим вначале уравнение неразрывности при установившемся движении жидкости для элементарной струйки.
<img width=«209» height=«155» src=«ref-2_281613484-5193.coolpic» v:shapes="_x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092">Пусть имеем элементарную струйку (рис. 17). Возьмем сечение 1-1 с площадью <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281618677-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> искоростью движения частиц жидкости и1. Элементарный расход через сечение 1-1 [по формуле (67а), § 2.2]равен
<img width=«80» height=«23» src=«ref-2_281618790-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">.
Затем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечения <img width=«27» height=«23» src=«ref-2_281618986-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> и скоростью u
1
. Элементарный расход через сечение 2-2 равен
<img width=«85» height=«23» src=«ref-2_281619102-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">.
Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен (см. § 2.1); кроме того, в отсеке 12, который сохраняет неизменные размеры, не образуется пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей н единицу времени через сечения 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы, т.е. <img width=«73» height=«23» src=«ref-2_281619306-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">. Принимая во внимание, что сечения 1-1 и 2-2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки написать
<img width=«276» height=«24» src=«ref-2_281619493-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">,
или
<img width=«315» height=«24» src=«ref-2_281619916-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">. (69)
Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки, которое читается так: элементарный расход жидкости <img width=«27» height=«21» src=«ref-2_281598333-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.
<img width=«192» height=«165» src=«ref-2_281620493-4128.coolpic» v:shapes="_x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095">Пусть теперь имеем поток жидкости (рис. 18). Взяв в потоке два произвольных сечения 1-1 и 2-2 и представив живые сечения их состоящими из суммы элементарных струек, можно написать <img width=«91» height=«39» src=«ref-2_281624621-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> –расход жидкости в сечении 1-1;<img width=«96» height=«39» src=«ref-2_281624970-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">– расход жидкости в сечении 2-2.
Но поскольку скорости касательны к боковой поверхности потока, то в отсек между сечениями 1-1и 2-2 через боковую поверхность движения жидкости не происходит; не изменяется и объем отсека. Следовательно, в отсек через сечение 1-1 поступает столько же жидкости, сколько за то же время выходит <img width=«52» height=«23» src=«ref-2_281625331-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">. Но так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то можно написать, что <img width=«192» height=«24» src=«ref-2_281625484-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> или, выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость v, получим
<img width=«220» height=«24» src=«ref-2_281625790-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">. (69')
Это и есть уравнение неразрывности для потока жидкости, которое читается так: расход жидкости через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная. Из уравнения (69) для двух сечений можно написать
<img width=«87» height=«23» src=«ref-2_281626119-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">, (70)
т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений. продолжение
--PAGE_BREAK--
2.5. Уравнение Д. Бернулли
Уравнение Даниила Бернулли является основным уравнением гидродинамики. Ниже разбирается это уравнение для установившегося плавно изменяющегося движения жидкости, с помощью которого решаются основные задачи гидродинамики. Введем понятия удельной энергии элементарной струйки и потока жидкости.
<img width=«149» height=«137» src=«ref-2_281626317-3933.coolpic» v:shapes="_x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098">Удельнаяэнергия элементарной струйки. Напомним, что удельная энергия есть энергия, отнесенная к единице силы тяжести жидкости. Пусть имеем в элементарной струйке частицу массой m, которая обладает некоторой скоростью и, находится под гидродинамическим давлением р, занимает некоторый объем V
и находится от произвольной плоскости сравнения о-о на некоторой высоте z(рис. 20). Масса частицы обладает запасом удельной потенциальной энергии еп, которая складывается из удельных потенциальных энергий положения епол, и давления едав. В самом деле, масса жидкости, поднятая на высоту z
, имеет запас потенциальной энергии,
равный mgz
, где g
–ускорение свободного падения. Удельная потенциальная энергия положения равна потенциальной энергии, деленной на силу тяжести жидкости (<img width=«25» height=«17» src=«ref-2_281630250-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">)
<img width=«96» height=«44» src=«ref-2_281630358-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">. (а)
Масса жидкости занимает некоторый объем V
, находящийся под давлением р. Потенциальная энергия давления равна рV
. Удельная же потенциальная
энергия давления равна потенциальной энергии pV, деленной на силу тяжести
данного объема g
V, т.е.
<img width=«97» height=«44» src=«ref-2_281630616-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">. (б)
Полный запас удельной потенциальной энергии массы жидкости равен их сумме, т. е. <img width=«92» height=«24» src=«ref-2_281630888-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> и, учитывая выражения (а) и (б), напишем
<img width=«83» height=«24» src=«ref-2_281631076-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">. (в)
Кроме того, масса жидкости т движется со скоростью и и обладает кинетической энергией <img width=«48» height=«24» src=«ref-2_281631263-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">; но сила тяжести этой массы равна mg
, и удельная кинетическая энергия струйки равна
<img width=«133» height=«47» src=«ref-2_281631423-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">. (г)
Складывая выражения (в) и (г), получим выражение полной удельной
энергии элементарной струйки
<img width=«99» height=«47» src=«ref-2_281631794-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">. (71)
Здесь <img width=«25» height=«47» src=«ref-2_281632072-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> – удельная кинетическая энергия;
<img width=«40» height=«44» src=«ref-2_281632222-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> – удельная потенциальная энергия давления и положения.
Полная удельная энергия потокаЕ складывается из
удельной потенциальной энергии <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281632376-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> и удельной кинетической энергии Ек
потока.
Для случая установившегося плавно изменяющегося движения жидкости удельная потенциальная энергия во всех точках живого сечения одинакова и равна
<img width=«140» height=«23» src=«ref-2_281632488-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">. (д)
Поток жидкости рассматривается как совокупность п элементарных струек, каждая из которых обладает своей удельной кинетической энергией <img width=«25» height=«47» src=«ref-2_281632072-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">. Эта величина различна для разных струек, образующих поток.
Определим среднее значение этой величины в сечении потока. Для этого действительные скорости элементарных струек u
1, u
2, ..., ипзаменим средней скоростью потока v; тогда среднее значение удельной кинетической энергии потока в данном сечении равно
<img width=«244» height=«51» src=«ref-2_281632898-672.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">. (е)
Здесь a– коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению потока (или корректив кинетической энергии).
Безразмерный коэффициент aпредставляет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Если эпюра скоростей в сечении потока близка к прямоугольной, т.е. скорости в разных точках близки к средней, то коэффициент Кориолиса aблизок к единице. Если же скорости в сечении значительно различаются между собой, то и коэффициент aоказывается значительно больше единицы.
Рассмотрим, например, поток глубиной Н = <metricconverter productid=«6 м» w:st=«on»>6м, в сечении которого скорости распределены по треугольнику, т.е. у дна скорость равна нулю и к поверхности нарастает по закону прямой до наибольшего значения ипов = 3 м/сек. Средняя скорость v
= 1,5 м/сек, а соответствующая ей кинетическая энергия
<img width=«165» height=«47» src=«ref-2_281633570-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">м.
Оценим кинетическую энергию потока точнее. Для этого возьмем три точки на высоте h
1
= 1м; h
2= <metricconverter productid=«3 м» w:st=«on»>3 м и h
3= <metricconverter productid=«5 м» w:st=«on»>5 м, которые лежат посредине слоев равной высоты по <metricconverter productid=«2 м» w:st=«on»>2 м каждый. Скорость в этих точках соответственно и1 = 0,5; и2 = 1,5 и и3 = 2,5 м/сек. Вычислим кинетическую энергию по этим трем скоростям
<img width=«309» height=«47» src=«ref-2_281633983-722.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">м,
что больше, чем по средней скорости.
Коэффициент Кориолиса получается
<img width=«207» height=«25» src=«ref-2_281634705-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">.
На основе обработки многочисленных данных, полученных на реках и каналах, установлено, что для больших открытых потоков <img width=«45» height=«21» src=«ref-2_281635090-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">. При равномерном движении в трубах и каналах практически <img width=«65» height=«21» src=«ref-2_281635225-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">.
В дальнейшем, за исключением особо оговоренных случаев, для упрощения расчетов будем принимать <img width=«36» height=«19» src=«ref-2_281635375-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">. Однако следует помнить, что в некоторых случаях при неравномерном распределении скоростей значения aмогут быть значительно больше 1 (2 и более).
<img width=«271» height=«357» src=«ref-2_281635489-9045.coolpic» v:shapes="_x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101">
Складывая удельную кинетическую и удельную потенциальную энергии потока, получим формулу полной удельной энергии потока
<img width=«83» height=«24» src=«ref-2_281644534-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">,
а учитывая выражения (е) и (д), имеем
<img width=«124» height=«48» src=«ref-2_281644719-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">, (72)
т.е. полная удельная энергия потока равна сумме удельной кинетической и удельной потенциальной (давления и положения) энергий потока. Напомним, что все выводы сделаны для установившегося, плавно изменяющегося движения жидкости.
УравнениеД. Бернулли для элементарной струйки. Выделим в установившемся потоке реальной жидкости элементарную струйку (рис. 21) и определим удельную энергию жидкости в двух произвольных сечениях 1-1 и 2-2. Высоты положения центров первого и второго сечений будут соответственно z
1
и z2; гидродинамическое давление и этих же точках р1и р2скорости течения – и1и и2. Тогда полная удельная энергия элементарной струйки в сечении 1-1 на основании формулы (71)равна
<img width=«111» height=«47» src=«ref-2_281645104-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">, (ж)
а в сечении 2-2
<img width=«116» height=«47» src=«ref-2_281645418-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">. (з)
Практически всегда <img width=«44» height=«23» src=«ref-2_281645735-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">,так как часть полной энергии затрачивается на преодоление сил сопротивления (трения) при движении жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим эти потери <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_281645865-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">. Тогда в соответствии с законом сохранения энергии можно написать, что <img width=«75» height=«24» src=«ref-2_281645968-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">, и, учитывая выражения (ж) и (з), получим
<img width=«213» height=«47» src=«ref-2_281646143-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">. (73)
Уравнение (73) и естьуравнение Д. Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости при установившемся движении, которое устанавливает связь между скоростью движения, давлением в жидкости и положением точки в пространстве. Оно справедливо для любых двух сечений, так как сечения 1-1 и 2-2 были взяты произвольно. Уравнение (73) можно изобразить и графически (рис. 21). Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, присоединенных к нескольким сечениям, получим некоторую линию р-р, которая называется пьезометрической линией и показывает изменение удельной потенциальной энергией по длине элементарной струйки. Если соединить точки, которые в каждом сечении вертикали изображают полную удельную энергию (а такие точки действительно можно получить, о чем см. ниже), получим некоторую линию N
-
N, которая называется напорной линией или линией энергии; она показывает изменение полной удельной энергии по длине струйки. Тогда расстояние по вертикали в любом сечении между горизонтальной плоскостью I-I, соответствующей начальному запасу удельной энергии в первом сечении, и напорной линией N
-
N
дает величину потерь энергии hw
на преодоление сил сопротивления на участке от первого сечения до данного сечения, а расстояние между напорной и пьезометрической линиями – удельную кинетическую энергию в данном сечении u
2
/2
g
.
Для идеальной жидкости, где отсутствуют силы трения, в уравнении (IV.7) hw
= и уравнение Бернулли принимает вид
<img width=«183» height=«47» src=«ref-2_281646659-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">. (73/)
Но так как сечения 1-1 и2-2взяты произвольно, то в общем виде уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости записывается так:
<img width=«125» height=«47» src=«ref-2_281647124-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">. (73")
УравнениеД. Бернулли для потока. Рассмотрим поток при установившемся, плавно изменяющемся движении (рис. 22). Выберем произвольно два сечения 1-1 и 2-2, по осям которых соответственно имеем z
1
и z
2– вертикальные координаты оси потока над произвольной плоскостью сравнения о-о, р1и p
2гидродинамические давления, в тех же точках v
1
и v
2– средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2.
Полную удельную энергию потока определяем по формуле (72): сечение 1-1
<img width=«125» height=«47» src=«ref-2_281647454-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">,
сечение 2-2
<img width=«280» height=«379» src=«ref-2_281647807-9969.coolpic» v:shapes="_x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106"><img width=«132» height=«47» src=«ref-2_281657776-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">.
Очевидно <img width=«52» height=«23» src=«ref-2_281658138-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">, так как часть энергии потратится на преодоление сил сопротивления (трения). Обозначим потерю энергии на этом участке – <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281658288-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">. Тогда можно написать, что <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_281658389-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349"> и, подставляя значения <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_281658575-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> и <img width=«20» height=«23» src=«ref-2_281658677-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, получим
<img width=«209» height=«47» src=«ref-2_281658781-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">. (74)
Уравнение (74) называется уравнением Д. Бернулли для потока жидкости и является основным уравнением гидродинамики; с его помощью получены многие расчетные формулы и решается ряд практических задач. Уравнение Бернулли устанавливает математическую связь между основными элементами движения жидкости, т. е. средней скоростью и гидродинамическим давлением.
2.6. Истолкование уравнения Д. Бернулли
Рассмотрим смысл уравнения Бернулли с точек зрения гидравлической, геометрической и энергетической.
Гидравлическоеистолкование уравнения Д. Берн у л л и. С точки зрения гидравлики каждый член уравнения Бернулли (74) имеет свое название, а именно:
1. Первый член правой и левой частей уравнения Бернулли <img width=«36» height=«47» src=«ref-2_281659312-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> и <img width=«39» height=«47» src=«ref-2_281659495-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> называется скоростным напором в сечениях 1-1 и 2-2.
<img width=«198» height=«194» src=«ref-2_281659687-10618.coolpic» v:shapes="_x0000_s1107 _x0000_s1108 _x0000_s1109">Скоростной напор можно наблюдать в действительности. Если например в точке А (рис. 23) рядом с пьезометром поставить изогнутую трубку, обращенную отверстием навстречу потоку, то уровень жидкости в этой трубке будет выше уровня в пьезометре на высоту, равную скоростному напору в той точке, где находится отверстие трубки <img width=«31» height=«51» src=«ref-2_281670305-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">. Эта трубка называется гидрометрической, или трубкой Пито. Зная разницу уровней в трубке Пито и пьезометре, можно определить скорость движения жидкости в этой точке.
2. Второй член правой и левой частей уравнения <img width=«36» height=«23» src=«ref-2_281670498-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> и <img width=«39» height=«23» src=«ref-2_281670630-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> называется пьезометрической высотой (если учитываем манометрическое давление), или приведенной высотой давления (если учитываем абсолютное давление). Как правило, в расчет принимается манометрическое давление, поэтому в дальнейшем <img width=«32» height=«23» src=«ref-2_281670765-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> будем называть пьезометрической высотой.
3.Третий член правой и левой частей уравнения <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_281670889-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281670981-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"> называется высотой положения точки живого сечения над плоскостью сравнения.
4. Четвертый член правой части уравнения hw
называется потерей напора при движении жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.
Напомним, что сумма пьезометрической высоты <img width=«32» height=«23» src=«ref-2_281670765-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> и высоты положения z
во всех точках живого сечения установившегося, плавно изменяющегося потока одна и та же, т.е. <img width=«104» height=«23» src=«ref-2_281671199-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> и называется пьезометрическим напором.
Сумма скоростного напора <img width=«33» height=«47» src=«ref-2_281671417-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> и пьезометрического напора <img width=«53» height=«23» src=«ref-2_281671586-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> называется гидродинамическим напором <img width=«25» height=«24» src=«ref-2_281671739-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">
<img width=«120» height=«47» src=«ref-2_281671848-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">. (75)
Учитывая выражение (75), уравнение Д. Бернулли можно написать в следующем виде:
<img width=«99» height=«25» src=«ref-2_281672168-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">. (76)
Таким образом, с гидравлической точки зрения уравнение Д. Бернулли может быть прочитано так: гидродинамический напор в данном сечении потока жидкости равен гидродинамическому напору в другом сечении (лежащем ниже по течению) плюс потеря напора между этими сечениями.
Геометрическое истолкование уравнения Д. Берн у л л и. В связи с тем, что все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, его можно представить графически (см. рис. 22), отложив в каждом сечении от плоскости сравнения о-о по вертикали отрезки, выражающие в определенном масштабе <img width=«33» height=«47» src=«ref-2_281671417-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">, <img width=«19» height=«44» src=«ref-2_281672615-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> и <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_281672733-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">. Проведя между сечениями 1-1 и 2-2 линию рр по верхним точкам пьезометрического напора, получим так называемую пьезометрическую линию, которая показывает изменение пьезометрического напора по длине потока. Если расстояние между сечениями но длине потока равно l, то можно получить изменение пьезометрического напора на единицу длины потока. Обозначив эту длину Jp
, называемую средним пьезометрическим уклоном на данном участке, получим
<img width=«179» height=«68» src=«ref-2_281672816-567.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">, (77)
т.е. пьезометрическим уклоном Jp
называется безразмерная величина. показывающая изменение пьезометрического напора, приходящееся на единицу длины потока. Пьезометрический уклон Jp
может быть величиной положительной – линия рр понижается по направлению движения, когда скорости вдоль потока растут; или отрицательной – линия рр повышается по направлению движения, когда скорости вдоль потока уменьшаются.
Проведя между сечениями1-1 и 2-2 линию NN по верхним точкам гидродинамического напора, получим так называемую напорную линию, которая показывает изменение гидродинамического напора по длине потока. Поделив разность гидродинамических напоров в двух сечениях на расстояния между ними, получим средний гидравлический уклон
<img width=«109» height=«25» src=«ref-2_281673383-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">, (78)
но <img width=«99» height=«25» src=«ref-2_281673753-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> –потеря напора между сечениями 1-1 и 2-2; поэтому можно написать
<img width=«53» height=«24» src=«ref-2_281674025-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">, (78')
т. е гидравлическим уклоном потока называется безразмерная величина, показывающая изменение гидродинамического напора на единицу длины потока. Заметим, что Iможет быть только положительной величиной, так как напорная линия NN всегда понижается ввиду того, что потери напора по длине потока неизбежны.
Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Д. Бернулли можно прочитать так: напорная линия по длине потока всегда понижается, так как часть напора тратится на преодоление трения по длине поток.
Частныйслучай. При равномерном движении, когда скорость по длине потока не изменяется, напорная NN и пьезометрическая рр линиипараллельны, так как <img width=«33» height=«47» src=«ref-2_281671417-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> во всех сечениях величина одна и та же.
Энергетическоеистолкование уравнения Д. Берн у л л и. Принимая во внимание изложенное в § 2.5 и формулу (72), сумму членов уравнения Бернулли с энергетической точки зрения можно представить как сумму удельной кинетической <img width=«33» height=«47» src=«ref-2_281671417-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> и удельной потенциальной <img width=«53» height=«23» src=«ref-2_281671586-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> энергий в любом сечении потока при установившемся движении жидкости, а четвертый член уравнения hw
как потерю механической энергии на преодоление сил трения при перемещении единицы массы жидкости от сечения 1-1 ксечению 2-2. В связи с этим линию NN можно назвать линией полной удельной энергии потока, а линию рр – линией удельной потенциальной энергии.
Гидравлический уклон с энергетической точки зрения необходимо рассматривать как уменьшение полной удельной энергии на единицу длины потока.
2.7. Практическое применение уравнения Д. Бернулли
При применении уравнения Д. Бернулли для решения практических задач гидравлики следует помнить два основных условия:
1. уравнение Бернулли может быть применено только для тех живых сечений потока, в которых соблюдаются условия плавно изменяющегося движения. На участках между выбранными сечениями условия плавно изменяющегося движения могут и не соблюдаться;
2. гидродинамическое давление <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281494488-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> и, следовательно, высоту положения z
можно относить к любой точке живого сечения, так как <img width=«55» height=«23» src=«ref-2_281674758-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> для любой точки живого сечения потока при плавно изменяющемся движении есть величина постоянная. Обычно двучлен <img width=«53» height=«23» src=«ref-2_281671586-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> удобно отнести для упрощения решения задач к точкам или на свободной поверхности, или на оси потока.
<img width=«200» height=«142» src=«ref-2_281675063-6917.coolpic» v:shapes="_x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112">Разберем применение уравнения Бернулли на примере простейшего водомерного устройства в трубах водомера Вентури (рис. 24.); он представляет собой вставку в основную трубу диаметром Dтрубы меньшего диаметра d
, которая соединена с основной трубой коническими переходами.
В основной трубе сечение 1-1 и в суженном сечении сечении 2-2 присоединены пьезометры, по показаниям которых можно определить расход жидкости в трубе Q.
Выведем общую формулу водомера для определения расхода в трубе. Составим уравнение Бернулли для точек, расположенных в центре тяжести сечений 1-1 перед сужением и 2-2 в горловине, приняв плоскость сравнения по оси трубы о-о. Для наших условий <img width=«72» height=«23» src=«ref-2_281681980-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">, <img width=«125» height=«23» src=«ref-2_281682136-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">.
Потери напора в сужении ввиду малости расстояния между сечениями считаем равными нулю, т.е. <img width=«44» height=«24» src=«ref-2_281682340-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">.
Тогда уравнение Бернулли (74) запишется так:
<img width=«129» height=«47» src=«ref-2_281682477-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">, или <img width=«128» height=«47» src=«ref-2_281682856-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">.
Но из рис. 24 <img width=«81» height=«44» src=«ref-2_281683223-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">, поэтому
<img width=«85» height=«47» src=«ref-2_281683456-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">. (а)
В уравнении (а) две неизвестные величины <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_281683734-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281683827-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">. Составим второе уравнение, используя уравнение неразрывности (70)
<img width=«147» height=«24» src=«ref-2_281683921-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">,
откуда
<img width=«99» height=«24» src=«ref-2_281684206-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">.
Подставляя <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281683827-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392"> в уравнение (а), получим
<img width=«111» height=«51» src=«ref-2_281684518-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">.
Отсюда скорость течения в основной трубе (сечение 1-1) равна
<img width=«124» height=«75» src=«ref-2_281684889-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">,
расход жидкости в трубе по формуле IV.2:
<img width=«140» height=«44» src=«ref-2_281685368-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">
или
<img width=«168» height=«75» src=«ref-2_281685681-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">.
Обозначим постоянную величину для данного водомера через К
<img width=«153» height=«75» src=«ref-2_281686267-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">, (79)
тогда
<img width=«73» height=«25» src=«ref-2_281686819-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">.
Однако при выводе этой формулы не учитывались потери напора в водомере, которые в действительности будут. С учетом потерь напора формула расхода водомера Вентури запишется так:
<img width=«75» height=«25» src=«ref-2_281687004-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">, (80)
где <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">– коэффициент расхода водомера, учитывающий потери напора в водомере. Для новых водомеров <img width=«67» height=«21» src=«ref-2_281687292-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">; для водомеров, бывших в употреблении, <img width=«59» height=«21» src=«ref-2_281687460-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">.
Таким образом, для определения расхода в трубе достаточно замерить разность уровней воды в пьезометрах и подставить ее значение в формулу (80). продолжение
--PAGE_BREAK--
2.8. Виды гидравлических сопротивлений и потери
напора
Выше были получены два основных уравнения гидродинамики: уравнение сохранения энергии (уравнение Д. Бернулли), связывающее средние скорости и давления, и уравнение неразрывности потока (сохранения массы) для несжимаемой жидкости, которые были записаны в следующем виде:
<img width=«156» height=«44» src=«ref-2_281687619-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">;
<img width=«109» height=«21» src=«ref-2_281687986-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">.
При решении некоторых задач вполне достаточно этих уравнений, если пренебречь потерями энергии (напора) hw, так как расход Qи полный напор Hобычно заданы или могут быть определены.
Но большинство задач нельзя решить, если пренебречь потерями напора hw.В таких случаях имеются два уравнения и три неизвестных v, р и hw.
<img width=«184» height=«137» src=«ref-2_281688199-5574.coolpic» v:shapes="_x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115">Для решения таких задач необходимо составить третье уравнение, связывающее между собой неизвестные величины. Наиболее подходящим, очевидно, будет уравнение, дающее зависимость hw
от скорости v.
При движении потока между жидкостью и стенками, ограничивающими поток, возникают силы сопротивления. Кроме того, вследствие вязкости жидкости между ее отдельными слоями возникают силы сцепления, которые также затормаживают движение потока. Скорость движения частиц жидкости уменьшается по мере по мере удаления от оси потока к стенкам трубы, лотка и т. д. Равнодействующая сил сопротивления параллельна оси потока и направлена в сторону, противоположную направлению движения (рис. 25).
Для преодоления сил гидравлического трения и сохранения поступательного движения жидкости необходимо приложить силу, направленную в сторону движения и равную силам сопротивления. Работу этой силы называют потерями напора по длине потока (путевые потери напора) и обозначают через <img width=«21» height=«24» src=«ref-2_281693773-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.
Сети трубопроводов, распределяющие или отводящие жидкость от потребителей, меняют свой диаметр (сечение); на сетях устраиваются повороты, ответвления, устанавливаются запорные устройства и т. п. В этих местах поток меняет спою форму, резко деформируется. Вследствие изменения формы возникают дополнительные силы сопротивления, так называемые местные сопротивления. На их преодоление расходуется напор. Напор, затрачиваемый на преодоление местных сопротивлений, называют местными потерями напора и обозначают через <img width=«20» height=«24» src=«ref-2_281693884-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">.
Общие потери напора равны сумме потерь напора по длине и местных
<img width=«84» height=«24» src=«ref-2_281693990-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">. (81)
Размерность потерь напора такая же, как и напора, т. е. метры столба жидкости.
2.9. Режимы движения жидкости. Число Рейнольдса.
<img width=«222» height=«173» src=«ref-2_281694185-10032.coolpic» v:shapes="_x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118">В зависимости от рода жидкости, скорости ее движения и характера стенок, ограничивающих поток, различают два основных режима движения: ламинарный и турбулентный. Ламинарным называют упорядоченное движение, когда отдельные слои скользят друг по другу, не перемешиваясь (рис. 26, а).
Ламинарный режим движения можно наблюдать чаще у вязких жидкостей, таких как нефть, масла и т. п.
Турбулентным называют режим, при котором наблюдается беспорядочное движение, когда частицы жидкости движутся по сложным траекториям и слои жидкости постоянно перемешиваются друг с другом (рис. 26, б).
Существование двух режимов движения жидкости было замечено в <metricconverter productid=«1839 г» w:st=«on»>1839 г. Хагеном и в <metricconverter productid=«1880 г» w:st=«on»>1880 г. Д. И. Менделеевым.
<img width=«270» height=«272» src=«ref-2_281704217-6394.coolpic» v:shapes="_x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121">Достаточно полные лабораторные исследования режимов движения и вопрос их влияния на характер зависимости потерь напора от скорости впервые исследовал английский физик Рейнольдс.
Установка Рейнольдса для исследования режимов движения жидкости пред ста влена на рис. 27. Сосуд А заполняется испытуемой жидкостью. К сосуду А в нижней его части присоединена стеклянная трубка 1 с краном 2, которым регулируется скорость течения в трубке. Над сосудом А расположен сосуд Б сраствором краски. От сосуда Б отходит трубка 3 скраном 4. Конец трубки 3 заведен в стеклянную трубку 1. Для пополнения сосуда А служив трубка 5 с запорным устройством 6.
При ламинарном режиме движения жидкости по трубке 1 струйка раствора краски, истекающей из трубки 3, имеет вид четко вытянутой нити вдоль трубки 1.
По мере открытия крана 2 увеличивается скорость движения и режим движения переходит в турбулентный, при этом струйка приобретает волнообразный характер, а при еще большей скорости совсем размывается и смешивается с жидкостью в трубке. При постепенном закрытии крана эти явления протекают в обратном порядке, т. е. турбулентный режим сменяется ламинарным.
Опыты показали, что переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при определенной скорости (эта скорость называется критической), которая различна для разных жидкостей и диаметров труб; при этом критическая скорость растет с увеличением вязкости жидкости и с уменьшением диаметра труб.
Рейнольдсом и рядом других ученых опытным путем было установлено, что признаком режима движения является некоторое безразмерное число, учитывающее основные характеристики потока
<img width=«68» height=«24» src=«ref-2_281710611-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">, (82)
где <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281487132-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409"> – скорость, м/сек; R
— гидравлический радиус, м; v— кинематический коэффициент вязкости, м2/сек.
Это отношение называется числом Рейнолъдса. Значение числа Re
, при котором турбулентный режим переходит в ламинарный, называют критическим числом Рейнолъдса
ReKp
.
Если фактическое значение числа Re
, вычисленного по формуле (82), будет больше критического Re
>
ReKp
– режим движения турбулентный, когда Re
<
ReKp
– режим ламинарный.
Для напорного движения в цилиндрических трубах удобнее число Рейнольдса определять по отношению к диаметру d
, т. е.
<img width=«77» height=«24» src=«ref-2_281710870-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">, (82')
где d
– диаметр трубы.
В этом случае ReKp
получается равным ~2300. Если в формуле (82') для трубопроводов круглого сечения d
выразить через гидравлический радиус <img width=«56» height=«23» src=«ref-2_281711051-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">, то получим ReKp
=575. Для других трубопроводов и каналов некруглых сечений можно принимать значение критического числа Рейнольдса ReKp=300 (при вычислении Re
через гидравлический радиус).
2.10. Потери напора по длине потока
Рассмотрим характер распределения скоростей в сечении потока при ламинарном и турбулентном режимах движения жидкости. Как показали теоретический анализ и опыты при ламинарном режиме движения жидкости в круглой трубе, скорости в поперечном сечении распределены по параболе (рис. 28), скорости у стенок трубы равны нулю и, плавно увеличиваясь, достигают максимума на оси потока.
При ламинарном режиме движения существуют лишь продольные составляющие скоростей. В этом случае силы сопротивления движению возникают вследствие трения между слоями жидкости, т. е. зависят от вязкости жидкости и не зависят (почти) от состояния стенок.
<img width=«374» height=«136» src=«ref-2_281711208-11301.coolpic» v:shapes="_x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127">
При турбулентном режиме закон распределения скоростей по живому сечению более сложен; в большей части сечения скорости близки к средней и резко падают в тонком слое у стенок, доходя до нуля. График распределения скоростей по сечению близок к трапеции (рис. 29). Такое распределение скоростей вызывается турбулентным перемешиванием в результате поперечных перемещений частиц. Быстро движущиеся частицы жидкости из средней части потока сталкиваются с медленно движущимися частицами вблизи стенок, благодаря чему и происходит выравнивание скоростей. Итолько в пограничном слое, где стенки препятствуют перемешиванию, скорость резко убывает.
Экспериментально подтверждается, что при турбулентном режиме движении потери напора по длине зависят от состояния стенок, ограничивающих поток. Если пропускать по трубе жидкость с различными скоростями, начиная с ламинарного режима и постепенно переходя к турбулентному, и одновременно измерять потери напора, то можно получить график зависимости потерь напора от скорости <img width=«72» height=«25» src=«ref-2_281722509-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> (рис. 30). График показывает, что при скорости меньше некоторого предела потери напора прямо пропорциональны первой степени скорости (на графике участок 0-1).
Как и следовало ожидать, этот предел соответствует критической скорости
<img width=«93» height=«25» src=«ref-2_281722788-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> (83)
<img width=«199» height=«195» src=«ref-2_281723009-3165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130">После перехода от ламинарного режима к турбулентному потери напора растут пропорционально скорости в степени, большей единицы (на графике участок кривой 2-3). Переход от ламинарного режима к турбулентному может происходит и при числах Рейнольдса, больших критического.
Обратный же переход от турбулентного режима к ламинарному осуществляется при почти одинаковом значении <img width=«63» height=«25» src=«ref-2_281726174-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">, которое и считается критическим.
Потери напора на трение по длине потока, возникающие при равномерном напорном движении жидкости в трубах, определяют по уравнению
<img width=«97» height=«47» src=«ref-2_281726342-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">, (84)
где l– длина участка трубы, м; d
–внутренний диаметр трубопровода, м; v– средняя скорость потока, м/сек; g
–ускорение свободного падения, м/сек2; <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">– безразмерный коэффициент гидравлического трения.
Впервые формула (84) была получена эмпирическим путем в XIXв. и названа формулой Дарси-Вейсбаха. В дальнейшем указанная формула проверена теоретически на основе метода анализа размерностей.
В уравнении (84) остается не выясненным смысл безразмерного коэффициента <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">. Для выяснения физического смысла коэффициента <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> при равномерном напорном движении жидкости в трубах как при ламинарном, так и при турбулентном режимах движения используем уравнение Д. Бернулли. Помня, что при равномерном напорном движении средняя скорость и распределение истинных скоростей по сечениям должны быть неизменными по длине трубопровода и составляя уравнение Д. Бернулли для двух сечений, можем записать
<img width=«187» height=«48» src=«ref-2_281726899-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">. (85)
При горизонтальном расположении трубы <img width=«47» height=«23» src=«ref-2_281727426-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> и тогда
<img width=«267» height=«156» src=«ref-2_281727551-9006.coolpic» v:shapes="_x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133">
<img width=«165» height=«44» src=«ref-2_281736557-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">. (86)
Для уточнения вопроса о потерях напора выделим в трубопроводе между сечениями 1-1 и 2-2 соосный цилиндр с радиусом а и длиной l(рис. 31).
Как оговорено выше, распределение скоростей в сечениях 1-1 и 2-2 одинаково, частицы жидкости двигаются без ускорений.
Напишем уравнение динамического равновесия рассматриваемого цилиндра
<img width=«175» height=«24» src=«ref-2_281736929-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">,
где <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281737336-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> –касательное напряжение (трения) на поверхности цилиндра.
Поделив обе части уравнения на <img width=«39» height=«24» src=«ref-2_281737421-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">, получим
<img width=«152» height=«23» src=«ref-2_281737559-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">.
Подставляя из уравнения (86) значение <img width=«77» height=«23» src=«ref-2_281738002-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">, имеем
<img width=«73» height=«45» src=«ref-2_281738289-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">, (87)
или
<img width=«92» height=«45» src=«ref-2_281738525-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">. (88)
Выразим <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281737336-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"> из уравнения (88)
<img width=«125» height=«41» src=«ref-2_281738879-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> (89)
(так как <img width=«60» height=«17» src=«ref-2_281739285-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">).
У стенки трубы, где <img width=«37» height=«21» src=«ref-2_281739419-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">, значение <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281737336-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> равно
<img width=«59» height=«41» src=«ref-2_281739628-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> (90)
и тогда
<img width=«51» height=«45» src=«ref-2_281739816-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">. (91)
Уравнение (91) есть общее выражение потерь напора при равномерном движении жидкости в трубах. Подставляя в уравнение (91) значения <img width=«51» height=«17» src=«ref-2_281740000-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">, <img width=«47» height=«41» src=«ref-2_281740135-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437"> и <img width=«83» height=«47» src=«ref-2_281740306-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">, получим
<img width=«67» height=«47» src=«ref-2_281740578-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">. (92)
Замечаем, что <img width=«37» height=«24» src=«ref-2_281740810-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> имеет размерность квадрата скорости.
Обозначим
<img width=«67» height=«25» src=«ref-2_281740943-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">, (93)
где <img width=«73» height=«28» src=«ref-2_281741117-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> –называется скоростью касательного напряжения на стенке, или динамической скоростью. Тогда уравнение (92) примет вид
<img width=«65» height=«44» src=«ref-2_281741318-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">. (94)
Из уравнения (94) находим, что
<img width=«59» height=«44» src=«ref-2_281741529-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">. (95)
Таким образом, коэффициент гидравлического трения <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> прямо пропорционален отношению квадратов динамической и средней скоростей.
Потеринапора при ламинарном движении. На основе изложенного выше для потерь напора по длине при ламинарном режиме движения жидкости в трубе получено следующее уравнение:
<img width=«109» height=«45» src=«ref-2_281741826-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">, (96)
где <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">–абсолютный коэффициент вязкости жидкости, <img width=«85» height=«24» src=«ref-2_281742234-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">; <img width=«9» height=«19» src=«ref-2_281742530-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">– длина трубопровода, м;v
– средняя скорость, м/сек; <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_281742612-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">– удельный вес жидкости, кгс/м3; <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281742698-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">– диаметр трубопровода, м.
Так как <img width=«51» height=«17» src=«ref-2_281740000-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">, а <img width=«52» height=«17» src=«ref-2_281742923-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">, то вместо формулы (96) получим
<img width=«81» height=«45» src=«ref-2_281743058-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">. (97)
Выражение (97) называют формулой Пуазейля-Гагена (по имени ученых, получивших это уравнение).
Формула (97) показывает, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны средней скорости и не зависят от состояния стенок трубопровода.
Приравняв правые части уравнения Дарси-Вейсбаха (84) и выражения (97), получим
<img width=«93» height=«45» src=«ref-2_281743328-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">. (98)
Таким образом, коэффициент гидравлического трения при ламинарном режиме обратно пропорционален числу Рейнольдса.
Потеринапора при турбулентном движении. В инженерной практике чаще встречается турбулентный режим движения жидкости в трубах, которые труднее исследовать теоретически. Этот вопрос подвергся наиболее широким опытным исследованиям как со стороны советских, так и зарубежных ученых. Из-за сложности процессов, протекающих при турбулентном режиме, до сих пор не создано окончательной теории, которая бы вытекала из основных уравнений гидродинамики и согласовывалась с опытом. Напомним, что при турбулентном режиме наблюдается интенсивное вихреобразование, частицы жидкости описывают сложные траектории, местные скорости меняются во времени даже при постоянном расходе. Это явление называется пульсацией скорости. Часть кинетической энергии жидкости переходит в тепловую. Установившегося движения в строгом смысле нет. Поэтому введено понятие об осредненной скорости.
Мгновенные скорости пульсируют около своего осредненного значения, которое за достаточно длительный промежуток времени остается постоянным; это значение и называется осредненной скоростью. В дальнейшем, говоря о скоростях, рассматривая турбулентное движение, будем подразумевать осредненные скорости.
Опытами установлено, что закон распределения осредненных скоростей по сечению и потери напора зависят от диаметра труб, средней скорости, вязкости жидкости и шероховатости стенок труб. В свою очередь характер шероховатости зависит от материала стенок труб, степени обработки, а последние определяют высоту выступов, их густоту и форму. Для приближенной оценки введено понятие средней высоты бугорков (выступов) шероховатости, называемой абсолютной шероховатостью и обозначаемой k
. Очевидно, что чем меньше диаметр, тем быстрее частицы жидкости совершат пробег от центра трубопровода к стенкам и встретятся с бугорками шероховатости, и, отражаясь от них, вызовут возмущения в потоке жидкости. Следовательно, частота вихреобразования при малых диаметрах труб больше, и шероховатость той же высоты проявляется сильнее. Поэтому введено понятие относительной шероховатости, т. е. отношение абсолютной шероховатости к диаметру трубы <img width=«29» height=«23» src=«ref-2_281743619-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">.
Экспериментами установлено, что коэффициент гидравлического трения <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> в формуле Дарси-Вейсбаха, а соответственно и потери напора по длине <img width=«21» height=«24» src=«ref-2_281693773-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> зависят от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости. Это вытекает и из теоретических исследований. Поэтому усилия как советских, так и зарубежных ученых были направлены на выявление характера этой зависимости. Было установлено, что при больших числах Рейнольдса и высокой шероховатости коэффициент гидравлического трения <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> в трубахсовсем не зависит от вязкости жидкости (числа Рейнольдса), а зависит только от относительной шероховатости (в этих условиях трубы и русла называют вполне шероховатыми). Трубы же, в которых коэффициент <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"> зависит только от числа Рейнольдса и не зависит от относительной шероховатости, что бывает при сравнительно малых Re
и k
/
d
, называют гидравлически гладкими. При этом один и тот же трубопровод в одних условиях может быть гидравлически гладким, а в других – вполне шероховатым. Условия, в которых <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> зависит и от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости, называются переходной областью. Это объясняется тем, что при малых числах Рейнольдса вблизи стенок сохраняется сравнительно толстый ламинарный слой, и выступы шероховатости обтекаются жидкостью без образования и отрыва вихрей. Свойства поверхности стенок трубопровода в этом случае не влияют на сопротивление, и зависимость <img width=«68» height=«24» src=«ref-2_281744215-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> выражается в логарифмических координатах прямой (см. рис. 30).
С увеличением числа Рейнольдса ламинарный слой становится тоньше и не покрывает выступов шероховатости; при этом от выступов шероховатости начинают отрываться вихри, и свойства поверхности оказывают влияние на сопротивление движению; график зависимости <img width=«68» height=«24» src=«ref-2_281744215-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> отклоняется от прямой и переходит в кривую второго порядка.
Так как на характер сопротивлений оказывает влияние не только относительная шероховатость, но и форма и распределение выступов по поверхности, то в практику расчетов было введено понятие об эквивалентной равнозернистой шероховатости k
э
. Под ней понимают такую высоту выступов шероховатости, сложенной из песчинок одинакового размера, которая дает при подсчетах одинаковое с заданной шероховатостью значение коэффициента гидравлического трения <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">. продолжение
--PAGE_BREAK--
2.11. Потери напора в местных сопротивлениях
Местные потери напора вызываются сопротивлениями в арматуре, фасонных частях и оборудовании, вследствие сужения и расширения потока, изменения направления движения жидкости, слияния и разделения потока и т. п.
Потери на преодоление местных сопротивлений в наружных сетях водопровода обычно не превышают 10-15%, во внутренних сетях – 30% от потерь напора по длине.
Однако местные потери напора в некоторых видах инженерных сетей могут достигать значительной величины: так, например, в системах отопления зданий – до 40%, в воздуховодах вентиляционных систем и пневмотранспорта – до 60-70% от потерь напора по длине.
Местные потери напора определяют как произведение скоростного напора непосредственно вблизи местного сопротивления <img width=«15» height=«21» src=«ref-2_281744837-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">, по формуле
<img width=«68» height=«47» src=«ref-2_281744930-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">. (99)
Общей теории для определения коэффициентов местных сопротивлений, за исключением отдельных случаев, нет. Поэтому коэффициенты местных сопротивлений, как правило, находят опытным путем. Значения их для различных элементов трубопроводов приводятся в технических справочниках. Иногда местные сопротивления выражают через эквивалентную длину прямого участка трубопровода <img width=«23» height=«24» src=«ref-2_281745161-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">. Эквивалентной длиной называют такую длину прямого участка трубопровода данного диаметра, потери напора в котором при пропуске данного расхода равны рассматриваемым местным потерям. Приравнивая формулы Дарси-Вейсбаха и (99), имеем
<img width=«113» height=«47» src=«ref-2_281745269-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">, (100)
получаем
<img width=«63» height=«41» src=«ref-2_281745613-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">, (101)
или
<img width=«65» height=«41» src=«ref-2_281745817-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">. (102)
<img width=«181» height=«204» src=«ref-2_281746025-3252.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028">Внезапноерасширение потока (рис. 32). Этот случай поддается теоретическому обоснованию. Из опытов установлено, что поток жидкости, вытекающий из узкой трубы, не сразу заполняет все сечение широкой трубы; он отрывается от стенок и дальше двигается в виде расширяющейся струи. В кольцевом пространстве между струей и стенками трубы жидкость образует завихрения. На некотором расстоянии lот расширения трубопровода струя вновь заполняет все сечение. В результате вихревых движений жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 идет постоянный обмен между струей и жидкостью в кольцевом пространстве. В результате этих явлений происходит переход механической энергии в тепловую, что и является причиной потерь напора.
Рассмотрим внезапное расширение трубы с горизонтальной осью. Потеря напора на внезапное расширение равна
<img width=«349» height=«51» src=«ref-2_281749277-900.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">. (103)
Разность давлений <img width=«49» height=«23» src=«ref-2_281750177-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> найдем, применив уравнение количества движения к отсеку жидкости между сечениями 1-1 и 2-2. За время t
через сечения 1-1 и 2-2 протечет масса жидкости <img width=«35» height=«21» src=«ref-2_281750310-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">, количество движения которой в сечении 1-1, где скорость <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_281683734-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> равно <img width=«48» height=«23» src=«ref-2_281750532-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">, а в сечении 2-2 – <img width=«49» height=«23» src=«ref-2_281750683-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">, т. к. <img width=«47» height=«23» src=«ref-2_281750835-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">, то изменение количества движения протекшей массы составит
<img width=«83» height=«23» src=«ref-2_281750965-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">. (а)
Это изменение количества движения равно импульсу сил давления. Эти силы следующие: в сечении 1-1, где давление <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_281751264-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">, сила давления направлена в сторону течения и равна <img width=«33» height=«23» src=«ref-2_281751361-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> (считается, что давление <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_281751264-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> действует и на поперечной стенке). Сила давления в сечении 2-2 направлена против течения и равна <img width=«37» height=«23» src=«ref-2_281751582-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">. Суммарный импульс этих сил за время t
составляет
<img width=«97» height=«23» src=«ref-2_281751710-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">. (б)
В соответствии с теоремой о количестве движения приравниваем выражения (а) и (б)
<img width=«192» height=«23» src=«ref-2_281752035-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">
Отсюда после деления на <img width=«51» height=«17» src=«ref-2_281740000-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> и на <img width=«27» height=«23» src=«ref-2_281752670-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> и перемены знаков получаем
<img width=«209» height=«45» src=«ref-2_281752784-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">, (104)
так как <img width=«71» height=«23» src=«ref-2_281753385-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">.
Подставляя правую часть равенства (б) в выражение (а), имеем
<img width=«287» height=«47» src=«ref-2_281753562-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">, (105)
или окончательно
<img width=«108» height=«48» src=«ref-2_281754204-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">, (106)
т. е. потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Уравнение (106) называется формулой Борда.
Для выявления значения коэффициента местного сопротивления из уравнения (106) вынесем за скобки <img width=«55» height=«24» src=«ref-2_281754607-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">
<img width=«181» height=«53» src=«ref-2_281754869-521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">,
или
<img width=«87» height=«53» src=«ref-2_281755390-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">. (107)
Заменяя скорости через площади живых сечений из уравнения неразрывности <img width=«76» height=«23» src=«ref-2_281755683-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">, получим
<img width=«91» height=«53» src=«ref-2_281755859-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">. (108)
Полученные уравнения (107) и (108) для значения <img width=«15» height=«21» src=«ref-2_281744837-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> хорошо согласуются с опытами.
Уравнение (108) представлено в виде графика на рис. 33.
<img width=«196» height=«184» src=«ref-2_281756265-10467.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031">
<img width=«210» height=«107» src=«ref-2_281766732-2445.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034">Постепенное расширение трубопровода. Плавно расширяющийся трубопровод – диффузор (рис. 34) широко применяется в технике. При течении жидкости по диффузору значительно меньше, чем при внезапном расширении. У стенок диффузора также образуются завихрения. Чем больше угол конусности трубопровода, тем больше вихреобразование и соответственно больше потери напора. Потерями по длине в данном случае пренебрегать нельзя.
Таким образом, потери напора в диффузоре
равны сумме потерь на расширение и на трение по
длине
<img width=«104» height=«25» src=«ref-2_281769177-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">. (109)
Потеря напора на расширение может быть найдена по формуле (106) с введением поправочного коэффициента Ксм, называемого коэффициентом смягчения, который зависит от угла конусности <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281769408-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">
<img width=«139» height=«48» src=«ref-2_281769496-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">. (110)
Коэффициент местного сопротивления в этом случае определится по формуле
<img width=«207» height=«53» src=«ref-2_281769950-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">; (111)
Ксмпри <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281769408-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501"><20° можно принять равным <img width=«77» height=«24» src=«ref-2_281770556-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">, aпри <img width=«52» height=«21» src=«ref-2_281770738-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"> значение коэффициента Ксмследующие:
Угол конусности,
<img width=«21» height=«21» src=«ref-2_281770892-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">
4
8
15
30
60
<img width=«28» height=«24» src=«ref-2_281770996-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">……..
0,08
0,16
0,35
0,80
0,90
Потери напора на трение по длине определяют по формуле
<img width=«228» height=«57» src=«ref-2_281771113-1000.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">, (112)
Таким образом, суммарный коэффициент местного сопротивления для диффузора равен
<img width=«251» height=«51» src=«ref-2_281772113-657.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">. (113)
Наименьшие потери напора в диффузоре получаются при угле расширения его в пределах от 5 до 10°.
<img width=«253» height=«156» src=«ref-2_281772770-2984.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037">Постепенное сужение трубопровода. Постепенно сужающиеся участки трубопроводов (конфузоры) также нашли широкое применение в практике (рис. 35).
При постепенном сужении сечения скорость вдоль трубопровода возрастает, а давление падает. Отрыв потока от стенок в этом случае возможен только на выходе из конфузора в цилиндрическую часть трубопровода. Поэтому при одинаковых гидравлических характеристиках и размерах местные сопротивления в конфузоре меньше, чем в диффузоре.
Потери в конфузоре также равны сумме потерь на постепенное сужение и на трение по длине
<img width=«104» height=«25» src=«ref-2_281775754-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">. (114)
Потери напора по длине <img width=«21» height=«24» src=«ref-2_281693773-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> можно определять по формуле (112).
<img width=«269» height=«193» src=«ref-2_281776090-5714.coolpic» v:shapes="_x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136">
Потери напора на сужение существенными будут при <img width=«52» height=«21» src=«ref-2_281781804-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">, и их можно определить по формуле
<img width=«93» height=«47» src=«ref-2_281781953-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">, (115)
где
<img width=«100» height=«25» src=«ref-2_281782221-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">. (116)
Здесь <img width=«31» height=«24» src=«ref-2_281782439-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">– коэффициент местного сопротивления при внезапном сужении; Ксуж – коэффициент смягчения, учитывающий плавное сужение, который зависит от угла конусности <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281769408-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">.
График распределения скоростей при структурном режиме изображен на рис. 37.
Для определения скоростей по сечению потока теоретическим путем получена следующая формула
<img width=«183» height=«45» src=«ref-2_281782644-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">, (117)
где <img width=«23» height=«21» src=«ref-2_281783230-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">–разность давлений в начале и конце трубопровода; <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">– абсолютная вязкость жидкости; <img width=«9» height=«19» src=«ref-2_281742530-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">– длина трубопровода; <img width=«12» height=«13» src=«ref-2_281516388-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">–радиус трубопровода;<img width=«15» height=«17» src=«ref-2_281783594-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">–расстояние от оси трубопровода до слоя жидкости, у которого определяется скорость; <img width=«17» height=«24» src=«ref-2_281783683-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">–первоначальное напряжение сдвига.
<img width=«241» height=«136» src=«ref-2_281783778-4696.coolpic» v:shapes="_x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139">
Для определения скорости в ядре сечения необходимо принять <img width=«40» height=«24» src=«ref-2_281788474-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">, тогда
<img width=«183» height=«45» src=«ref-2_281788595-591.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">. (118)
Расход жидкости определяется по формуле Букингама, полученной теоретически
<img width=«145» height=«48» src=«ref-2_281789186-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">. (119)
где <img width=«23» height=«21» src=«ref-2_281783230-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">– приложенная разность давлений; <img width=«28» height=«24» src=«ref-2_281789727-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">– разность давлении, соответствующая началу движения, определяемая по уравнению <img width=«97» height=«24» src=«ref-2_281789847-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">.
Потери напора при движении аномальных (неньютоновских) жидкостей можно определять по уравнению Дарси-Вейсбаха (84), что подтверждено исследованиями Б. С. Филатова. Обычно режим движения турбулентный, и значение <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> принимают в пределах от 0,017 до 0,025, при этом <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281726629-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> принимают тем больше, чем меньше концентрация раствора.
При производстве земляных работ получил широкое применение метод гидромеханизации. Грунт размывается струей воды, засасывается землесосом и транспортируется по трубам в отвал или к месту намыва грунта. Смесь воды с размельченным грунтом называется пульпой, или гидросмесью, а трубы по которым перекачивается пульпа, — пульповодами.
При некоторой достаточно малой скорости частицы грунта начинают осаждаться и заилять трубопровод. Эта скорость называется критической. Обычные формулы гидравлики, приведенные выше для трубопроводов с водой к пульпопроводам не применимы.
Гидравлический расчет пульповодов заключается в определении критических скоростей и потерь напора. Проф. А. П. Юфин предложил следующие эмпирические формулы.
Для критической скорости:
а) в трубопроводах диаметром до <metricconverter productid=«200 мм» w:st=«on»>200 мм
<img width=«160» height=«29» src=«ref-2_281790249-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">; (120)
б) в трубопроводах диаметром больше <metricconverter productid=«200 мм» w:st=«on»>200 мм
<img width=«177» height=«51» src=«ref-2_281790579-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">, (121)
где d
– диаметр трубопровода, м; <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281791067-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">–средний диаметр твердых частиц, мм; <img width=«55» height=«21» src=«ref-2_281791167-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">–основание натуральных логарифмов; <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_281742612-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">–удельный вес пульпы; <img width=«17» height=«24» src=«ref-2_281791395-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">– удельный вес воды; <img width=«92» height=«24» src=«ref-2_281791491-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">; <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281791718-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">–так называемая «гидравлическая крупность», т. е. скорость падения частиц в спокойной воде.
Для потерь напора:
а) при критической скорости
<img width=«117» height=«51» src=«ref-2_281791805-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">; (122)
б) при скорости выше критической
<img width=«151» height=«28» src=«ref-2_281792279-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">, (123)
где <img width=«9» height=«19» src=«ref-2_281742530-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">– длина трубопровода; <img width=«15» height=«17» src=«ref-2_281792818-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">–ускорение свободного падения; <img width=«17» height=«24» src=«ref-2_281792905-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">– потери напора в трубопроводе при движении чистой воды при том же расходе; <img width=«23» height=«25» src=«ref-2_281793005-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">– потери напора при движении пульпы с критической скоростью; <img width=«63» height=«25» src=«ref-2_281793117-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">.
Остальные обозначения те же.
--PAGE_BREAK--
3.1. Истечение жидкости через отверстия
в тонкой стенке при постоянном уровне
<img width=«157» height=«184» src=«ref-2_281807493-11971.coolpic» v:shapes="_x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145">Выведем формулы скорости и расхода жидкости при истечении через малое отверстие. Пусть жидкость вытекает из большого резервуара через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 39).
Опытами установлено, что сжатое сечение струи находится от внутренней поверхности резервуара на расстоянии около половины диаметра отверстия. Эта величина обычно бывает мала сравнительно с напором Н в резервуаре, и можно считать, что центр отверстия и центр сжатого сечения струи находятся на одинаковой высоте, тем более при отверстии в боковой стенке.
Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия называют геометрическим напором. В общем случае давление <img width=«20» height=«23» src=«ref-2_281819464-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> в резервуаре отличается от давления <img width=«20» height=«23» src=«ref-2_281819562-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> в пространстве, куда истекает жидкость.
Проведем плоскость сравнения 2-2 через центр сжатого сечения струи.
Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как струйки в последнем сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем не плавно изменяющееся.
Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1-1 и 2-2
<img width=«244» height=«47» src=«ref-2_281819662-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">, (124)
где <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_281683734-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">– скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре; <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281683827-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">– средняя скорость течения в сжатом сечении; <img width=«31» height=«24» src=«ref-2_281820460-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">–коэффициент местного сопротивления при истечении через отверстие.
Перенесем наружное давление <img width=«20» height=«23» src=«ref-2_281819562-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"> в левую часть и обозначим величину
<img width=«163» height=«47» src=«ref-2_281820682-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">. (125)
Эта величина называется напором истечения.
В правой части уравнения (124)вынесем за скобки <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281683827-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">. Тогда уравнение Д. Бернулли сведется к
<img width=«131» height=«47» src=«ref-2_281821181-447.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">,
откуда
<img width=«101» height=«51» src=«ref-2_281821628-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">.
Обозначим величину
<img width=«104» height=«48» src=«ref-2_281821985-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">. (126)
Величину <img width=«15» height=«17» src=«ref-2_281822276-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568"> называют коэффициентом скорости.
С учетом введенного обозначения
<img width=«93» height=«28» src=«ref-2_281822370-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">. (127)
Так как коэффициент Кориолиса <img width=«43» height=«23» src=«ref-2_281822609-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">, а коэффициент местных потерь напора в отверстии <img width=«56» height=«24» src=«ref-2_281822745-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">, то <img width=«36» height=«21» src=«ref-2_281822895-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">. По опытным данным <img width=«99» height=«21» src=«ref-2_281823020-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">, а <img width=«43» height=«23» src=«ref-2_281823235-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">. Отсюда
<img width=«203» height=«44» src=«ref-2_281823370-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">.
Для идеальной жидкости <img width=«56» height=«24» src=«ref-2_281823798-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> и <img width=«36» height=«21» src=«ref-2_281823947-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">. Тогда
<img width=«84» height=«28» src=«ref-2_281824068-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">. (128)
Это уравнение называется формулой Торичелли. Оно показывает, что скорость в начале вытекающей струи равна скорости свободного падения тела, упавшего с высоты <img width=«24» height=«24» src=«ref-2_281824286-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">.
Когда поперечное сечение резервуара много больше площади живого сечения отверстия, а скорость жидкости в резервуаре незначительна (к примеру, меньше 0,1 м/сек), то скоростным напором <img width=«36» height=«47» src=«ref-2_281659312-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580"> можно пренебречь. В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы <img width=«52» height=«23» src=«ref-2_281824578-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">, то весь напор истечения сводится к геометрическому напору, т. е. <img width=«55» height=«24» src=«ref-2_281824713-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">. Это бывает обычно при расчете истечения из открытых резервуаров в атмосферу.
Расход жидкости определится как произведение скорости истечения на площадь сжатого сечения струи
<img width=«164» height=«28» src=«ref-2_281824860-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">, (129)
где <img width=«73» height=«24» src=«ref-2_281825205-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">–коэффициент сжатия струи, равный отношению площади сжатого сечения <img width=«29» height=«24» src=«ref-2_281825381-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585"> кплощади отверстия <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281825495-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">.
Величину <img width=«23» height=«17» src=«ref-2_281825583-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587"> обозначают через <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588"> и называют коэффициентом расхода.
Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие, определяют по формуле
<img width=«104» height=«28» src=«ref-2_281825781-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">. (130)
При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи <img width=«97» height=«21» src=«ref-2_281826039-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">. В этом случае <img width=«101» height=«21» src=«ref-2_281826241-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">. В общем же случае коэффициент расхода <img width=«49» height=«17» src=«ref-2_281826453-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592"> зависит от условий сжатия.
При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень»), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве геометрического напора Н принимают разность уровней жидкости в резервуарах. Числовые значения коэффициентов <img width=«15» height=«17» src=«ref-2_281822276-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">, <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281826684-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> остаются при этом практически теми же.
В случае круглого отверстия, расположенного на значительном расстоянии от стенок, струя сжимается со всех сторон одинаково, и в сжатом сечении имеет также форму круга; при этом сжатое сечение находится от кромок отверстия на расстоянии около половины диаметра отверстия – <img width=«33» height=«21» src=«ref-2_281826861-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">. Величина коэффициента сжатия зависит от относительных размеров отверстия и от положения его относительно стенок резервуара и поверхности жидкости.
В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (рис. 40):
1) полное сжатие со всех сторон (отверстия 1 и 2);
<img width=«154» height=«153» src=«ref-2_281826983-17431.coolpic» v:shapes="_x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148">2) неполное, когда сжатия нет с одной или нескольких сторон (отверстия 3, 4и 5).
Полное сжатие подразделяют на:
а) совершенное, когда <img width=«44» height=«19» src=«ref-2_281844414-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597"> и <img width=«47» height=«19» src=«ref-2_281844544-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598"> (отверстие 1);
б) несовершенное, когда <img width=«44» height=«19» src=«ref-2_281844682-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599"> и <img width=«47» height=«19» src=«ref-2_281844810-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600"> (отверстие 2).
Форма сечения струи жидкости при истечении претерпевает изменения.
Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие того, что скорости подхода к отверстию в разных точках его периметра различны и вследствие сил поверхностного натяжения. На рис. 41 показано изменение формы струи при истечении через квадратное отверстие по мере удаления от резервуара.
При несовершенном сжатии коэффициент расхода <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_281844945-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601"> вычисляют по формулам:
<img width=«190» height=«85» src=«ref-2_281845043-2460.coolpic» v:shapes="_x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151">для круглых отверстий
<img width=«85» height=«23» src=«ref-2_281847503-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> (131)
для прямоугольных отверстий
<img width=«89» height=«23» src=«ref-2_281847799-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> (132)
где <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">– значение коэффициента расхода при совершенном сжатии; <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281848195-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281848284-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">– поправочные коэффициенты, зависящие от отношения площади сечения отверстий <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281825495-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> к площади сечения сосуда <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_281848471-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">. Значения этих коэффициентов принимают по таблице:
Значение величин <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281848195-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> и <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281848284-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610"> при несовершенном сжатии
<img width=«39» height=«23» src=«ref-2_281848759-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
<img width=«15» height=«19» src=«ref-2_281848195-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">
0,014
0,034
0,059
0,092
0,134
0,189
0,26
0,351
0,471
0,631
<img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281848284-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">
0,019
0,042
0,071
0,107
0,152
0,208
0,278
0,365
0,473
0,608
При неполном сжатии коэффициент расхода вычисляют по уравнениям:
для круглых отверстий
<img width=«149» height=«23» src=«ref-2_281849086-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">; (133)
для прямоугольных отверстий
<img width=«149» height=«23» src=«ref-2_281849483-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">, (134)
где <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">– коэффициент расхода при полном сжатии; <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_281849973-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">–часть периметра, на котором нет сжатия; Р – полный периметр отверстия.
При расчете больших отверстий значения коэффициентов расхода, рекомендованных Н. Н.Павловским, приведены в таблице:
Значения коэффициентов расхода для больших отверстий
Виды отверстий и характер сжатия струи
коэффициент расхода <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">
Большие отверстия с несовершенным, но всесторонним сжатием …
0,70
Большие отверстия с умеренным боковым сжатием, без сжатия по дну …
0,80
Средние отверстия (шириной до <metricconverter productid=«2 м» w:st=«on»>2 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну ……….
0,90
Большие отверстия (шириной 5-<metricconverter productid=«6 м» w:st=«on»>6 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну …………
0,95
3.3 Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке
при переменном уровне
Истечение жидкости при переменном уровне встречается пр;: опорожнении и наполнении резервуаров, цистерн, шлюзовых камер, бассейнов и других емкостей. Обычно в этом случае необходимо определить время опорожнения или наполнения емкости.
Рассмотрим случай опорожнения резервуара через донное отверстие в атмосферу (рис. 42). Пусть резервуар призматического сечения и имеет площадь <img width=«17» height=«17» src=«ref-2_281850163-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">. Очевидно, движение жидкости будет неустановившимся, так как уровень е течением времени опускается, что вызывает постоянное уменьшение расхода.
<img width=«196» height=«156» src=«ref-2_281850257-21074.coolpic» v:shapes="_x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154">Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости в резервуаре будет у. За бесконечно малый промежуток времени dt
уровень жидкости уменьшится на величину dy
(за этот промежуток времени движение можно считать установившимся). За что время вытечет объем жидкости, равный
<img width=«69» height=«21» src=«ref-2_281871331-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">, (135)
или
<img width=«120» height=«27» src=«ref-2_281871512-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">. (136)
Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара, имеем
<img width=«85» height=«21» src=«ref-2_281871794-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">. (137)
Знак минус поставлен потому, что dy
величина отрицательная (снижение уровня), а объем должен быть величиной положительной.
Приравнивая правые части уравнений (136) и (137), получим
<img width=«139» height=«27» src=«ref-2_281871990-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">,
откуда
<img width=«109» height=«48» src=«ref-2_281872297-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">. (138)
Интегрируя полученное выражение, найдем время истечения
<img width=«129» height=«52» src=«ref-2_281872640-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">, (139)
или, вынося постоянные величины за знак интеграла,
<img width=«129» height=«52» src=«ref-2_281873166-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">,
<img width=«280» height=«52» src=«ref-2_281873700-891.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">.
Итак, время понижения уровня от <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281874591-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> до <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281874697-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">
<img width=«135» height=«52» src=«ref-2_281874804-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">. (140)
Время полного опорожнения, т. е. если <img width=«49» height=«23» src=«ref-2_281875383-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631"> равно
<img width=«81» height=«52» src=«ref-2_281875523-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">. (141)
Рассмотрим случай истечения под уровень (рис. 43). Пусть разность уравнений жидкости в резервуарах равна у, площади поперечного сечения резервуаров соответственно <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281875853-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> и <img width=«23» height=«23» src=«ref-2_281875958-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">.
<img width=«225» height=«156» src=«ref-2_281876065-17643.coolpic» v:shapes="_x0000_s1155 _x0000_s1156 _x0000_s1157">Определим время выравнивания уровней при истечении жидкости через отверстие в тонкой стенке. За бесконечно малый промежуток времени из первого резервуара вытечет объем жидкости
<img width=«99» height=«23» src=«ref-2_281893708-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">, (а)
во втором резервуаре прибудет тот же объем, равный
<img width=«93» height=«23» src=«ref-2_281893925-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">, (б)
в то же время
<img width=«120» height=«27» src=«ref-2_281871512-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">. (в)
Из чертежа имеем
<img width=«72» height=«23» src=«ref-2_281894418-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">
или
<img width=«92» height=«23» src=«ref-2_281894572-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">, (г)
но <img width=«109» height=«23» src=«ref-2_281894780-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">, откуда
<img width=«97» height=«45» src=«ref-2_281895016-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">.
Подставим значение <img width=«25» height=«23» src=«ref-2_281895302-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642"> в уравнение (г)
<img width=«341» height=«51» src=«ref-2_281895419-928.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">,
откуда
<img width=«127» height=«51» src=«ref-2_281896347-414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">. (д)
Подставим значение <img width=«24» height=«23» src=«ref-2_281896761-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645"> из выражения (д) в уравнение (а)
<img width=«131» height=«45» src=«ref-2_281896876-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">
и приравняем правые части полученного уравнения и уравнения (в)
<img width=«180» height=«45» src=«ref-2_281897247-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">.
Разделим переменные и интегрируем
<img width=«212» height=«51» src=«ref-2_281897714-803.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">
и
<img width=«153» height=«51» src=«ref-2_281898517-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">; (142)
в частном случае при <img width=«87» height=«23» src=«ref-2_281899099-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">
<img width=«81» height=«51» src=«ref-2_281899285-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">. (143)
3.4. Виды насадков и их применение. Истечение жидкости через насадки
Насадкой называется отрезок трубы, длина которого в несколько раз больше внутреннего диаметра. Рассмотрим случай, когда к отверстию в стенке резервуара присоединен насадок диаметром d
, равным диаметру отверстия.
На рис. 44 показаны наиболее распространенные виды насадок, применяемые на практике:
а — цилиндрический внешний; б — цилиндрический внутренний; в -конический расходящийся; г — конический сходящийся; д — коноидально-расходящийся; е — коноидальный.
--PAGE_BREAK--
Значении коэффициентов <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281826684-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">, <img width=«15» height=«17» src=«ref-2_281822276-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691"> для насадок
Тип насадок
<img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281826684-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">
<img width=«15» height=«17» src=«ref-2_281822276-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">
<img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281687200-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">
Наружный цилиндрический……..
1
0 82
0,82
Внутренний цилиндрический ..........
1
0,71
0,71
Конический сходящийся при <img width=«73» height=«24» src=«ref-2_281922689-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">…………………………..
0,982
0,963
0,946
Конический расходящийся <img width=«45» height=«24» src=«ref-2_281922877-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">...
1
0,45
0,45
Коноидальный ...........................……
1
0,98
0,98
Примечание. Для конических насадок коэффициенты дапы для выходного сечения.
Конические расходящиеся насадки применяют в тех случаях, когда необходимо уменьшить скорость истечения, например, насадки для подачи смазочных масел и т. п. В конических расходящихся насадках в месте сжатия струи создается большой вакуум, поэтому их еще применяют там, где требуется создать большой эффект всасывания (эжекторы, инжекторы и т. п.).
Коноидальные насадки имеют очертания формы струи, вытекающей через отверстие в тонкой стенке. Для этих насадок значение коэффициентов составляет: <img width=«133» height=«21» src=«ref-2_281923019-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">.
Их применяют в пожарных брандспойтах, но редко, так как изготовление их очень сложное.
Для коноидально-расходящейся насадки можно получить коэффициент расхода больше единицы за счет увеличения выходного сечения.
В таблице приводятся средние значения коэффициентов для различных насадок.
4.
НАСОСЫ
4.1.
Общие сведения
Насосами называются машины, служащие для перекачки и создания напора жидкостей всех видов, механической смеси жидкостей с твердыми и коллоидными веществами и газов. Следует заметить, что машины для перекачки и создания напора газов (газообразных жидкостей) выделены в отдельные группы и получили название вентиляторов и компрессоров и служат предметом специального изучения, поэтому в данном разделе не рассматриваются.
Насосы в настоящее время являются самым распространенным видом машин.
По принципу действия насосы подразделяются на:
а) центробежные, у которых перекачка и создание напора происходят вследствие центробежных сил, возникающих при вращении рабочего колеса;
б) осевые (пропеллерные) насосы, рабочим органом у которых служит лопастное колесо пропеллерного типа. Жидкость в этих насосах перемещается вдоль оси вращения колеса;
в) поршневые и скальчатые насосы, в которых жидкость перемещается при возвратно-поступательном движении поршня или скалки. К этой группе можно отнести простейший вид поршневых насосов — диафрагмовые насосы, у которых рабочим органом служит резиновая или кожаная диафрагма, совершающая возвратно-поступательные движения;
г) тараны, работающие за счет энергии гидравлического удара;
д) струйные насосы, в которых перемещение жидкости осуществляется за счет энергии потока вспомогательной жидкости, пара или газа;
е) эрлифты (воздушные водоподъемники), в которых рабочим телом является сжатый воздух.
В зависимости от назначения и принципа действия конструктивное исполнение насосов самое различное. Ниже рассматривается устройство, принцип работы, характеристика и применение основных групп насосов.
4.2.
Устройство и классификация центробежных
насосов
<img width=«339» height=«300» src=«ref-2_281923273-9341.coolpic» v:shapes="_x0000_s1164 _x0000_s1165 _x0000_s1166">
Центробежный насос состоит из следующих основных элементов (рис. 46): спирального корпуса 1, рабочего колеса 2, расположенного внутри корпуса и сидящего на валу 3. Рабочее колесо на вал насаживается с помощью шпонки.
Вал вращается в подшипниках 4, в месте прохода вала через корпус для уплотнения устроены сальники 5. Вода в корпус насоса поступает через всасывающий патрубок 6 и попадает в центральную часть вращающегося рабочего колеса. Под действием лопаток 7 рабочего колеса 2 жидкость начинает вращаться и центробежной силой отбрасывается от центра к периферии колеса в спиральную часть корпуса (в турбинных насосах в направляющий аппарат) и далее через нагнетательный патрубок 8 в напорный трубопровод. В результате действия лопаток рабочего колеса на частицы воды кинетическая энергия двигателя преобразуется в давление и скоростной напор струи.
<img width=«189» height=«174» src=«ref-2_281932614-6514.coolpic» v:shapes="_x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169">Напор насоса измеряется в метрах столба перекачиваемой жидкости. Всасывание жидкости происходит вследствие разрежения перед лопатками рабочего колеса.
Для создания большего напора и лучшего отекания жидкости лопатками придают специальную выпуклую форму, причем рабочее колесо должно вращаться выпуклой стороной лопаток в направлении нагнетания.
Центробежный насос должен быть оборудован следующей арматурой и приборами (рис. 47): приемным обратным клапаном с сеткой 1. предназначенным для удержания в корпусе и всасывающем патрубке насоса воды при его заливе перед пуском; сетка служит для задержания крупных взвесей, плавающих в воде; задвижкой 2 на всасывающем патрубке, которая устанавливается около насоса; вакуумметром 3 для измерения разрежения на всасывающей стороне. Вакуумметр устанавливается на трубопроводе между задвижкой и корпусом насоса; краном 4 для выпуска воздуха при заливе(устанавливается в верхней части корпуса); обратным клапаном 5 на напорном трубопроводе, предотвращающем движение воды через насос в обратном направлении при параллельной работе другого насоса; задвижкой 6 на напорном трубопроводе, предназначенной для пуска в работу, остановки и регулирования производительности и напора насоса; манометром 7 на напорном патрубке для измерения напора, развиваемого насосом; предохранительным клапаном (на рисунке не указан) на напорном патрубке за задвижкой для защиты насоса, напорного патрубка и трубопровода от гидравлических ударов; устройством 8 для залива насоса.
В связи с тем, что насосные установки часто включаются в основной комплекс оборудования для регулирования режимов работы различного назначения, они могут быть оборудованы разнообразными приборами автоматики.
Центробежные насосы классифицируют по:
1) числу колес [одноступенчатые (одноколесные), многоступенчатые (многоколесные)]; кроме того, одноколесные насосы выполняют с консольным расположением вала – консольные;
2) напору [низкого напора до 2 кгс/см2 (0,2 МН/м2), среднего напора от 2 до 6 кгс/см2(от0,2 до 0,6 МН/м2), высокого напора больше 6 кгс/см2 (0,6 МН/м2)];
3) способу подвода воды к рабочему колесу [с односторонним входом воды на рабочее колесо, с двусторонним входом воды (двойного всасывания)];
4) расположению вала (горизонтальные, вертикальные);
5) способу разъема корпуса (с горизонтальным разъемом корпуса, с вертикальным разъемом корпуса);
6) способу отвода жидкости из рабочего колеса в спиральный канал корпуса (спиральные и турбинные). В спиральных насосах жидкость отводится непосредственно в спиральный канал; в турбинных жидкость, прежде чем попасть в спиральный канал, проходит через специальное устройство – направляющий аппарат (неподвижное колесо с лопатками);
7) степени быстроходности рабочего колеса (тихоходные, нормальные, быстроходные);
8) роду перекачиваемой жидкости (водопроводные, канализационные, кислотные и щелочные, нефтяные, землесосные и др.);
9) способу соединения с двигателем [приводные (с редуктором или со шкивом), непосредственного соединения с электродвигателем с помощью муфт]. Насосы со шкивным приводом встречаются в настоящее время редко.
4.3.
Теоретическая производительность
центробежного насоса
Впервые основное уравнение центробежных насосов было выведено членом Петербургской академии наук знаменитым математиком и механиком Л. Эйлером.
В центробежных насосах жидкость подводится к лопаткам рабочего колеса вдоль оси вала (рис. 48). При входе на лопатки происходит отклонение струй от осевого направления к радиальному. Жидкость на лопатки поступает с абсолютной скоростью <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_281939128-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">, ана внешней окружности рабочего колеса скорость ее достигает величины <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281939220-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">.
<img width=«328» height=«199» src=«ref-2_281939311-5801.coolpic» v:shapes="_x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172">
Частицы жидкости между лопатками рабочего колеса совершают сложное движение. Во-первых, они участвуют во вращении с окружной переносной скоростью <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281945112-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"> и, во-вторых, перемещаются вдоль лопаток с относительной скоростью <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281791718-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701">.
Для упрощения принимают, что движение жидкости является струйным, и траектории движения каждой частицы повторяют очертания лопаток. Такое движение возможно было бы при бесконечно большом числе лопаток.
Абсолютная скорость движения жидкости равна геометрической сумме переносной (окружной) и относительной скоростей (параллелограмм скоростей на рис. 48)
<img width=«63» height=«19» src=«ref-2_281945282-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">. (152)
Следует заметить, что окружная скорость <img width=«13» height=«19» src=«ref-2_281945431-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703"> направлена по касательной к той окружности, на которой расположена частица, а относительная скорость <img width=«16» height=«19» src=«ref-2_281945522-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704"> направлена по касательной к поверхности лопатки в данной точке.
Радиальная составляющая абсолютной скорости на ободе рабочего колеса равна
<img width=«87» height=«23» src=«ref-2_281945616-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">, (154)
а окружная составляющая
<img width=«89» height=«24» src=«ref-2_281945802-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">, (155)
где <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281769408-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">– угол между направлением абсолютной скорости и касательной к окружности; <img width=«12» height=«13» src=«ref-2_281516388-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"> – индекс, обозначающий «радиальная»; <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281945112-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">– индекс, обозначающий «окружная».
Индексы «1» и «2» приняты для обозначения величин соответственно на входе в рабочее колесо и на выходе из него.
Окружная скорость рабочего колеса на выходе
<img width=«75» height=«41» src=«ref-2_281946245-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">,
где <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281946487-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">–диаметр рабочего колеса, м; <img width=«13» height=«15» src=«ref-2_281946592-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712">–число оборотов в минуту.
Радиальную составляющую абсолютной скорости можно определить исходя из уравнения неразрывности потока
<img width=«133» height=«45» src=«ref-2_281946676-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">, (156)
где <img width=«23» height=«24» src=«ref-2_281947051-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">–теоретический расход жидкости, проходящий через колесо, м3/сек; <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281825495-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">–живое сечение на выходе из колеса, м2; <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281947250-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">–ширина рабочего колеса на выходе, м; <img width=«16» height=«17» src=«ref-2_281947350-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">– коэффициент стеснения потока лопатками на выходе; его значение для малых насосов принимают равным 0,9 и для больших – 0,95.
Аналогично можно определить величины абсолютной скорости, окружной скорости, угол между направлением относительной скорости и касательной на входе в рабочее колесо. Абсолютная скорость на входе зависит от конструктивных особенностей рабочего колеса; для большинства насосов угол входа при оптимальном режиме назначается равным 90° с таким расчетом, чтобы избежать гидравлического удара; тогда окружная скорость на входе <img width=«47» height=«24» src=«ref-2_281947445-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718"> (радиальный вход).
Коэффициент стеснения струи на входе по лабораторным исследованиям можно принять для малых насосов равным 0,75, для больших – 0,83.
В целях предотвращения гидравлического удара при поступлении жидкости на рабочее колесо необходимо, чтобы скорость ее не изменялась ни по величине, ни по направлению, т. е. направление относительной скорости при входе должно совпадать с направлением изгиба тела лопатки. Практика и опыт показывают, что при небольшом отклонении угла до 7-8° поток от лопаток не отрывается и поэтому гидравлические потери на удар можно принимать равными нулю. А это позволяет лопатки рабочего колеса у входа выполнять несколько круче, чем из условия безударного входа. Кроме того, входную кромку лопаток округляют.
После рассмотрения предварительных данных можно перейти к выводу основного уравнения центробежного насоса.
Выше было принято, что рабочее колесо имеет бесконечно большое число лопаток, и работа происходит без гидравлических потерь; это позволяет считать, что весь поток в колесе состоит из одинаковых элементарных струек, имеющих форму межлопаточного пространства колеса, и что скорости во всех точках цилиндрической поверхности данного радиуса одинаковы.
<img width=«255» height=«241» src=«ref-2_281947577-5711.coolpic» v:shapes="_x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175">
Как известно, работа на перемещение жидкости равна
<img width=«80» height=«24» src=«ref-2_281953288-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">,
где <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_281742612-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">– объемный вес жидкости; <img width=«23» height=«24» src=«ref-2_281947051-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">–теоретическая производительность; <img width=«25» height=«24» src=«ref-2_281953680-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">– теоретический напор.
Используем уравнение моментов количества движения, которое для установившегося потока можно сформулировать так: изменение момента количества движения массы жидкости, протекающей в единицу времени при переходе от одного сечения к другому, равно моменту внешних сил, приложенных к потоку между этими сечениями. Относя положение к центробежному насосу, можно отметить, что внешние силы прикладываются к потоку под действием лопаток рабочего колеса. За 1 сек через каналы рабочего колеса протекает объем жидкости, численно равный перекачиваемому секундному расходу <img width=«23» height=«24» src=«ref-2_281947051-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">; его масса равна
<img width=«133» height=«24» src=«ref-2_281953902-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">.
Момент количества движения потока при радиусе <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_281954283-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"> у входа в рабочее колесо (рис. 49) равен
<img width=«116» height=«24» src=«ref-2_281954385-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">. (157)
Здесь <img width=«12» height=«23» src=«ref-2_281954750-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">– длина перпендикуляра, опущенного из центра колеса на направление скорости <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_281939128-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">.
Соответственно, момент количества движения потока у выхода из колеса при радиусе <img width=«20» height=«23» src=«ref-2_281954934-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">
<img width=«120» height=«24» src=«ref-2_281955038-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">. (158)
Таким образом, изменение момента количества движения жидкости, протекающей через колесо за 1 сек, равно
<img width=«271» height=«24» src=«ref-2_281955410-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">.
Согласно рис. 49
<img width=«88» height=«23» src=«ref-2_281956011-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732"> и <img width=«85» height=«23» src=«ref-2_281956210-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">.
Подставляя эти значения в предыдущее выражение, имеем
<img width=«253» height=«24» src=«ref-2_281956402-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">.
Умножая обе части уравнения на угловую скорость <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281825495-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735">, получим
<img width=«273» height=«24» src=«ref-2_281957082-622.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">, (а)
где <img width=«31» height=«19» src=«ref-2_281957704-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">–мощность, затраченная на передачу энергии жидкости.
Поток с расходом <img width=«23» height=«24» src=«ref-2_281947051-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738"> переносит в секунду <img width=«29» height=«24» src=«ref-2_281957935-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739"> жидкости; если при этом жидкость обладает напором <img width=«25» height=«24» src=«ref-2_281953680-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">, то поток обладает мощностью
<img width=«109» height=«24» src=«ref-2_281958167-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">. (б)
Следовательно, можно записать
<img width=«123» height=«24» src=«ref-2_281958512-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">.
Учитывая, что <img width=«57» height=«23» src=«ref-2_281958891-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743"> и <img width=«61» height=«23» src=«ref-2_281959050-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744"> из выражений (а) и (б), получим
<img width=«283» height=«24» src=«ref-2_281959213-641.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">.
Поделим обе части уравнения на <img width=«29» height=«24» src=«ref-2_281957935-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746"> и получим основное уравнение теоретического напора
<img width=«193» height=«44» src=«ref-2_281959975-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">. (159)
Так как <img width=«93» height=«24» src=«ref-2_281960395-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748"> и <img width=«88» height=«24» src=«ref-2_281960583-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749"> (проекции скоростей), основное уравнение можно написать в следующем виде:
<img width=«115» height=«44» src=«ref-2_281960765-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">. (160)
Тангенциальная проекция абсолютной скорости <img width=«21» height=«24» src=«ref-2_281961050-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751"> представляет собой скорость закручивания потока до поступления его в рабочее колесо. В современных насосах обеспечивается вход на колесо без предварительного закручивания (радиальный вход). Тогда тангенциальная скорость на входе равна нулю и
<img width=«95» height=«24» src=«ref-2_281961150-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">. (161)
Уравнение (161) показывает, что напор насоса пропорционален окружной скорости (т. е. числу оборотов и диаметру рабочего колеса) и проекции абсолютной скорости <img width=«23» height=«24» src=«ref-2_281961361-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753"> на окружную скорость, т. е. напор тем больше, чем меньше угол <img width=«20» height=«23» src=«ref-2_281961462-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754"> и чем больше угол <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281961564-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755"> (см. рис. 49). Фактически создаваемый насосом напор меньше теоретического, так как часть энергии расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений внутри насоса, а также вследствие того, что не все частицы жидкости совершают движение вдоль лопаток, а это вызывает уменьшение абсолютной скорости.
Чтобы учесть конечное число лопаток рабочего колеса и соответственно величину проекции абсолютной скорости на выходе, вводится поправочный коэффициент К. Исходя из изложенного, уравнение для полного напора при конечном числе лопаток можно написать в виде
<img width=«95» height=«44» src=«ref-2_281961667-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">, (162)
где К – коэффициент, учитывающий конечное число лопаток; <img width=«13» height=«17» src=«ref-2_281961933-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757">– гидравлический к. п. д., зависящий от конструкции насоса и его размеров и принимающий значения 0,8-0,95.
Практически принимают <img width=«79» height=«24» src=«ref-2_281962021-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758"> и <img width=«120» height=«24» src=«ref-2_281962205-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">. Принять <img width=«45» height=«23» src=«ref-2_281962440-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760"> нельзя, так как тогда радиальная скорость на выходе будет равна нулю, и насос не будет подавать жидкость.
Для определения значения К можно привести одну из формул, полученную академиком Г. Ф. Проскура
<img width=«159» height=«67» src=«ref-2_281962575-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">, (163)
где <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_281672733-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">– число лопаток.
Обычно <img width=«64» height=«19» src=«ref-2_281963242-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">, тогда К получается равным 0,75-0,9.
При приближенных расчетах для определения напора в метрах водяного столба (м вод. ст.) можно пользоваться следующим уравнением:
<img width=«65» height=«47» src=«ref-2_281963384-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">, (164)
где <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281769408-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">–коэффициент напора, принимаемый для насосов турбинного типа, т. е. с направляющим аппаратом, <img width=«100» height=«21» src=«ref-2_281963691-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">, для спиральных насосов <img width=«91» height=«21» src=«ref-2_281963893-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">; <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_281964081-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768">–окружная скорость на внешней окружности рабочего колеса, м/сек. Теоретическую производительность рабочего колеса насоса можно вычислить по формуле
<img width=«69» height=«24» src=«ref-2_281964179-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">, (165)
где <img width=«16» height=«15» src=«ref-2_281825495-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">– площадь живого сечения потока на выходе из колеса, м2; <img width=«23» height=«23» src=«ref-2_281964438-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771">– средняя радиальная скорость жидкости, м/сек.
Для центробежных насосов площадь живого сечения рабочего колеса (без учета стеснения его лопатками и утечек через неплотности) определяют как боковую поверхность цилиндра с диаметром, равным внешнему диаметру колеса <img width=«21» height=«23» src=«ref-2_281946487-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772"> и высотой, равной ширине колеса <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_281947250-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">. Таким образом,
<img width=«69» height=«23» src=«ref-2_281964743-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">, <img width=«87» height=«23» src=«ref-2_281964919-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775">. (166)
При бесконечно большом числе лопаток радиальная скорость может быть принята одинаковой во всех точках цилиндрической поверхности данного радиуса, а отсюда средняя скорость в уравнении расхода равна радиальной скорости на выходе, т. е. <img width=«52» height=«23» src=«ref-2_281965109-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776">.
Итак, теоретическая производительность равна:
для выходного сечения
<img width=«91» height=«24» src=«ref-2_281965240-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777">, (167)
(без учета стеснения и утечек через неплотности);
для входного сечения
<img width=«85» height=«24» src=«ref-2_281965453-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">; (168)
полезная производительность
<img width=«65» height=«24» src=«ref-2_281965658-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">, (169)
где <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_281965833-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780">– объемный к. п. д. насоса. продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по военному делу
Реферат по военному делу
Пристосування підвальних і напівпідвальних приміщень під протирадіаційні укриття
3 Сентября 2013
Реферат по военному делу
Тест для охранника
3 Сентября 2013
Реферат по военному делу
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Руководителям служб и подсистем РСЧС Ставропольского края по организац
3 Сентября 2013
Реферат по военному делу
Дистанционно-пилотируемый летательный аппарат ДПЛА Пчела-1Т
3 Сентября 2013