Реферат: О синтаксической связности
I.
1.Вследствие открытия антиномий и благодаря способу их решения проблемысинтаксиса языка стали важнейшими проблемами логики (это слово здесь понимаетсянастолько широко, что охватывает также метатеоретические исследования). Средиэтих проблем наибольшее значение для логики имеет вопрос синтаксическойсвязности. В этом вопросе речь идет о нахождении условий, при выполнениикоторых словесное образование, составленное из простых осмысленных выражений,является осмысленным выражением, имеющим единое значение, хотя оно и составленоиз значений отдельных выражений, составивших его. Такое сочетание выраженийявляется синтаксически связанным.
Так,например, сочетание выражений «Иван любит Анну» построеносинтаксически связанным образом из осмысленных выражений русского языка* и самопринадлежит к осмысленным выражением русского языка. Тогда как «может коньесли хотя и светить» хотя и является сочетанием осмысленных слов русскогоязыка, однако ему не хватает синтаксической связности и оно не являетсяосмысленным выражением русского языка.
Существуетнесколько решений вопроса синтаксической связности. Одним из таких решенийявляется, например, теория типов Расселла. Но особенно просто и удобно понятиесинтаксической связности удается выразить при помощи разработанной проф.Станиславом Лесьневским науки о категориях значения.
Мыздесь будем основываться на результатах Лесьневского 1), а от себя предложимнекоторую символику, которую в принципе можно применить почти ко всем языкам ипри помощи которой можно построить исчисление, позволяющее определить и изучитьсинтаксическую связность сочетания слов.
2.Понятие и термин «категория значения» первым ввел Э.Гуссерль. В своемпроизведении «Логические исследования» Э.Гуссерль 2) замечает, чтоотдельные слова и составные выражения языка можно разделить на такие классы,что два принадлежащих к одному классу слова или выражения могут взаимнозаменять друг друга в контексте, обладающим единообразным значением, причемизмененный контекст после этого не становится какой-то несвязаннойпоследовательностью слов и вообще не утрачивает единообразного значения, тогдакак два слова или выражения, принадлежащих к разным классам, этим свойством необладают. Возьмем предложение «солнце светит» как пример контекста,обладающего единообразным значением. Если в этом предложении мы заменим слово«светит» словом «жарит», или «свистит», или«танцует», то получим из предложения «солнце светит» иныеистинные или ложные предложения, обладающие единообразным значением. Однако,если вместо «светит» подставим, например, «если» или«зеленеть», или «поскольку», то получим последовательностьбессвязных слов. Так охарактеризованные классы слов или выражений Гуссерльназывает категориями значения.
Определимэто понятие несколько точнее: слово или выражение А, взятое в значении x, ислово или выражение В, взятое в значении y принадлежат к одной и той жекатегории значений тогда и только тогда, когда существует такое предложение(соотв. высказывательная функция) Sa, в котором А выступает в значении x икоторое после замещения его компоненты А выражением В, взятом в значении y, приполном сохранении значений оставшихся слов и синтаксиса предложения Sa,преобразуется в выражение Sb, которое также является предложением (иливысказывательной функцией).
Лестницакатегорий значения является ближайшей родственницей упрощенной иерархиилогических типов, хотя и в значительно большей степени разветвлена, и, всущности, образует ее грамматическо-семантический эквивалент 3).
Средивсех категорий значений можно выделить два вида, которые мы назовемподстановочными категориями и функторными категориями (термин«функтор» введен Котарбинским, понятие и термин «подстановочнаякатегория» — мною). К сожалению, мы не можем определить эти понятиядостаточно точно. Однако нетрудно понять, о чем здесь идет речь. Термин«функтор» означает то же, что «знак функции». Такимобразом, это «ненасыщенный» знак, «сопровождаемыйкавычками». Функторные категории — это такие категории значения, к которымпринадлежат функторы. Подстановочной категорией я буду называть такую категориюзначения, которая не является функторной категорией.
Изприведенного выше определения категории значения непосредственно следует, чтодва произвольных предложения принадлежат к одной и той же категории значения.Конечно, предложения не являются функторами, а поэтому категория значения, кудавходят предложения, принадлежит к основным категориям. Кроме категорийпредложений могут быть также иные основные категории. У Лесьневского наряду скатегорией предложений выступает только одна единственная основная категория, аименно, категория имен, причем к ней принадлежат как единичные имена, так иобщие. Если позволительным будет сравнивать упрощенную теорию типов с теориейкатегорий значения, то нужно было бы в теории типов тип предложений и типсобственных имен отнести к основным категориям. Оставшиеся типы принадлежали бык категории функторов. Кажется, что в обычном языке не все имена образуют однуединственную категорию значений. По нашему мнению, в обычном языке можно средиимен выделить как минимум две категории значения, а именно, категорию значения,к которой принадлежат единичные имена индивидов, а также общие имена индивидов,поскольку они взяты in suppositione personali, и во-вторых, категорию значенияобщих имен, поскольку они выступают in suppositione simplici (т.е. как названияуниверсалий).
Еслистремиться выразить понятие синтаксической связности во всей полноте, то следовалобы ничего не предрешать о числе и виде основных категорий значения и категорийфункторов, поскольку они могут быть различными в разных языках. Однако дляпростоты мы ограничимся такими языками, в которых (как и у Лесьневского)выступают только две основные категории значения, а именно — категориипредложений и имен. Кроме этих двух основных категорий значения примем вслед заЛесьневским в принципе неограниченную вверх и разветвленную иерархию функторныхкатегорий, которые характеризу ются двояко: во-первых, числом и категориейзначения аргументов, а также их последовательностью, во-вторых, категориейзначения всего составного выражения, которое они образовывают совместно сосвоими аргументами. Таким образом, например, функторы с одним именем как аргументом,образующие предложения, представляли бы одну замкнутую категорию значения,функторы, образующие предложение с двумя именами как аргументами, представлялибы иную категорию значения и т.д. Функторы, которые образовывали бы имя изодного имени как аргумента составили бы еще одну категорию значения. Можно былобы в качестве отдельной категории значения назвать функторы, образующиепредложения и имеющие аргументом одно предложение (как например, знак ~ влогике) и т.д.
3.Мы принимаем, что определенная категория значения слова устанавливаетсяпосредством значения, которым обладает простое выражение. Теперь в зависимостиот категории значения, к которой принадлежат простые выражения, снабдим ихиндексами. А именно, припишем простым выражениям, принадлежащим к категориипредложений, индекс «s», тогда как простым выражениям, принадлежащимк категории имен — индекс «n». Простым выражениям, не принадлежащим ккакой-либо основной категории, а к категории функторов, припишем индекс дроби,образованной из числителя и знаменателя таким образом, что в числителе окажетсяиндекс категории значения, к которой принадлежит выражение, составленное иззнака функции и его аргументов, в знаменателе — последовательно категориизначения, к которым принадлежат аргументы, с которыми функтор совместнообразует осмысленное целое. Так, например, выражение, которое из двух имен какаргументов образовывает предложение, получит индекс дроби
s
----.
nn
Такимобразом, каждая категория значения обладала бы характерным для себя индексом.Иерархия категорий значений выражалась бы в последовательности индексовследующего вида (далеко не полной):
s s s s s s s
s, n, ---, ----, ----,… ----, ----, -----, ..., -----,
n nn nnn s ss sss ns
s
—
s s s n n n n
— ,..., ---, -----, ..., ---, ----,-----,..., — и т.д.
sn s s s n nn sn s
— — — —
n n n n
Дляиллюстрации этой символики на примере возьмем какое-либо предложение логистики,например,
~p-->p.-->.p.Приписывая отдельным словам их индексы, получим:
~ p ---> p. --->. p
s s s
---s — s — s.
sss ss
Еслимы хотим применить символику индексов к обычному языку, то принятых (вслед заЛесьневским) категорий значения нам не всегда хватит, поскольку, как кажется,обычные языки много богаче категориями значений. Кроме того, решение, к какойкатегории значения следует отнести некоторое выражение, затруднено из-занепостоянства значений выражений. Вместе с тем временами появляетсянеуверенность, что следует понимать под единственным выражением. Однако как показываетследующий пример, в простых и недвухзначных случаях приведенный выше аппаратиндексов достаточно хорошо приспособлен к естественному языку:
сиреньпахнет очень сильно и роза цветет
n s s s s n s
— — — — —
n n n ss n
— —
s s
— —
n n
—
s
—
n
—
s
—.
n
4.В каждом осмысленном составном выражении некоторым образом отмечено, какиевыражения входят как аргументы и к каким выражениям, выступающим как функторы,они принадлежат. Если функтор имеет несколько аргументов, то должно бытьпоказано, какой из этих аргументов является первым, какой вторым и т.д., ибопоследовательность аргументов играет существенную роль; различие междусубъектом и предикатом или же между посылкой и следствием условного предложенияявляется особенным случаем того важного различия, которое образуетпоследовательность аргументов. Обобщенно говоря, эта последовательность неидентична внутреннему порядку, в котором выступают аргументы в данномвыражении; она вообще ни в коей мере не является чисто структурной, т.е. чистовнутренним делом, но основывается на свойствах всего выражения, вытекающих иззначения. Только в символических языках и в некоторых языках естественныхпоследовательности аргументов соответствует их сугубо внутренний порядок.
Длявыражения всевозможных взаимных принадлежностей частей выражения символическиеязыки прибегают к условиям, касающимся «связывающей силы» различныхфункторов, к употреблению скобок и порядку выражений. В естественном языке этапринадлежность обозначается при помощи порядка выражений, их флективных форм,предлогов и знаков препинания.
Составслов, в котором эта принадлежность вообще или полностью не обозначена, не имеетединообразного [einheitlichen] значения.
Вкаждом сложном осмысленном выражении отношения принадлежности, возникающиемежду функторами и их аргументами, должны быть так сформированы, чтобы всевыражения можно было разложить на части таким образом, что одна из них являетсяфунктором (который сам может быть составным выражением), а оставшиеся частипринадлежат ему как его аргументы. Такой функтор мы называем главным функторомэтого выражения ( понятием главного функтора и основной идеей его определениямы обязаны Ст.Лесьневскому). В приведенном выше примере из логистики второй знакимпликации является главным функтором всего предложения, в примере сестественным языком слово «и» является главным функтором. Если можноразложить составное выражение на главный функтор и его аргументы, то о такомвыражении мы говорим, что оно составлено правильно [gut gegliedert]. Главныйфунктор выражения и его аргументы назовем членами первой ступени этоговыражения. Если члены первой ступени выражения А сами являются простымивыражениями, или, если, будучи составными выражениями, сами правильно составлены,и если при дальнейшем продвижении к членам этих членов, и далее — к членам этихчленов и т.д., короче: идя к членам n-ой ступени можно прийти всегда или кпростым выражениям, или к выражениям правильно составленным, то мы называемвыражение А насквозь [durchgehend] составленным правильно.
Следуетобратить внимание, что в естественном языке часто появляются эллиптическиевыражения, вследствие чего в таком языке можно встретить осмысленное составноевыражение, не являющееся насквозь составленным правильно, поскольку во вниманиепринимаются только explicite содержащиеся в нем выражения. Однако можно легкополучить насквозь правильно составленное выражение, если мысленно добавитьопущенные слова. Более значимые трудности возникают тогда, когда язык, например,немецкий, допускает разделимые слова. Тогда нельзя привести критерий для одногослова сугубо структурным образом.
5.Если сложное выражение является насквозь правильно составленным, тодействительно, необходимое условие выполняется, однако оно еще не достаточно,чтобы это выражение обладало единообразным значением. Это условие должно бытьдополнено другими. Чтобы насквозь правильно составленное выражение имелозначение, оно должно содержать взаимно соответствующие члены одной и той жеступени, относящиеся к себе как функторы и аргументы. Иначе, каждому члену n-ойступени, который выступает как главный функтор всего выражения, или же какглавный функтор члена (n-1)-ой ступени, и который является функтором, требующимв своей категории значения столько-то и столько-то аргументов, принадлежащих копределенным категориям значения с тем, чтобы вместе с ними образовыватьосмысленное выражение, такому члену должно быть сопоставлено в качестве егоаргументов ровно столько же членов n-ой ступени, принадлежащих ксоответствующим категориям значения. Таким образом, например, члену,принадлежащему к категории значения, обозначенной индексом
s
—
ns
(еслион является главным функтором) должны, во-первых, соответствовать двааргумента, и во-вторых, первый аргумент должен принадлежать к категории имен, авторой — к категории предложений. Насквозь правильно составленное выражение,которое удовлетворяет обоим выше приведенным условиям, назовем выражениемсинтаксически связанным.
Этиусловия можно еще иначе и более прецизионно сформулировать при помощи нашейсимволики индексов. С этой целью мы должны ввести понятие показателя выражения,которое и объясним сначала на примере. Возьмем, например, выражение
p\/ p. --->. p и присоединим к отдельным простым выражениям их индексы.Получим:
p \/ p. --->. p..........................(A)
s s
s----s — s.
ssss
Сейчасчлены этого выражения упорядочим согласно следующему принципу. Сначала напишемглавный функтор всего выражения, затем последовательно первый, потом второй (возможнотретий, четвертый и т.д.) аргумент. Тогда получим:
---->,p\/p, p ............................(B)
s s
— s---s s.
ssss
Есликакой-то входящий в эту последовательность член все еще остается составнымвыражением главного функтора и его аргументов, то этот член мы раскладываем начлены ближайшего высшего ряда и упорядочиваем их по тому же принципу, записываясначала его главный функтор, затем первый, второй и т.д. аргументы этогофунктора.
Длянашего примера мы получим:
---->, \/, p, p, p ..........................(C)
s s
— — s s s.
ssss
Еслибы в этой последовательности нашелся еще один составленный из несколькихвыражений член, то мы разложили бы его по тому же принципу и продолжали бы такпоступать до тех пор, покаместь не получили бы в этой последовательности такиечасти, которые были бы только простыми выражениями. Последовательность простыхвыражений, входящих в состав данного составного выражения, упорядоченного вышеописанным способом, мы называем ХАРАКТЕРНОЙ [eigentliche] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮвыражений, входящих в состав этого выражения. Для нашего примера характернаяпоследовательность выражений оказалась достигнутой уже на втором шаге, т.е. (С)является характерной последовательностью выражений для выражения (А). Если сейчасот выражений, упорядоченных свойственной выражению (А) последовательностью, мыоторвем их индексы и выпишем их в той же очередности, то получим т.н.ХАРАКТЕРНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИНДЕКСОВ для выражения (А).
Итак,характерная последовательность индексов выражения (А) имеет следующий вид:
s s
— ----s s s. .........................(1)
ssss
Сейчас,идя слева направо, посмотрим, найдем ли мы в этой последовательности индексовтакое сомкнутое сочетание индексов, которое на первом месте имеет индекс в видедроби, после которого непосредственно следуют такие индексы, которые входят взнаменатель этого дробного индекса. Если мы найдем одно или несколько такихсочетаний, то вычеркиваем первое из них (идя слева направо) впоследовательности индексов и заменяем числителем дробного индекса. Полученнуютаким образом новую последовательность индексов назовем первой производнойхарактерной последовательности индексов данного выражения (А). Для нашегопримера она имеет вид:
s
— s s.… (2)
ss
Перваяпроизводная — это дробный индекс, после которого непосредственно следует такоеже сочетание индексов как то, которое образует знаменатель этого дробногоиндекса. Мы можем приведенным выше способом ее преобразовать, образуя вторуюпроизводную, которая имеет вид простого индекса
s....................................(3)
икоторую, поскольку она не ведет к новым производным, назовем последнейпроизводной характерной последовательности индексов выражения (А).
Последнююпроизводную характерной последовательности индексов данного выражения назовемПОКАЗАТЕЛЕМ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ.
Определимеще показатель сформулированного в естественном языке предложения на стр.???..Его характерная последовательность индексов и его очередные производныепредставляются следующим образом:
s
—
n
—
s s
— —
s n n s s
— — — — n — n (характерная последовательность
ss s s n n индексов)
— —
n n
—
s
—
n
s
—
s n s s
— — — n — n ( 1. производная)
ss s n n
—
n
s s s
— — n — n ( 2. производная)
ss n n
s s
— s ---n ( 3. производная)
ss n
s
— s s ( 4. производная)
ss
s( 5. и последняя производная).
Теперьмы можем привести определение: выражение является синтаксически связанным тогдаи только тогда, когда 1] оно насквозь правильно составлено, 2] каждомувходящему в это выражение функтору в качестве главного функтора некоторойступени соответствует ровно столько аргументов, сколько букв содержитзнаменатель его индекса и 3] оно имеет показатель, который является единичныминдексом 4).
Этотиндекс может иметь вид единичной литеры, однако может иметь и вид дроби. Так,например, выражение
пахнеточень сильно
s s s
— — —
n n n
— —
s s
— —,
n n
—
s
—
n
—
s
—
n
характернойпоследовательностью индексов которых является
s
—
n
—
s s
— —
n n s
— — —
s s n
— —
n n
—
s
—
n
s
имеетв качестве показателя дробный индекс —.
n
Какпример синтаксически несвязанного выражения приведем следующее сочетание слов:
F(ф) :<->: ~ ф (ф)
s s s s s s
— — — — — —
s n ss s n n
—
n
Характернойпоследовательностью индексов этого выражения и его производными являются:
s s s s s s s s s s
— — — — — — --s — — —
ss s n s n n ss s n s
—
n
Перваяпроизводная, которая здесь является одновременно и последней, образуетпоказатель, который, как легко заметить, состоит из нескольких индексов. Такимобразом, приведенное выражение не является синтаксически связанным (исследованноев этом примере сочетание слов образует известное «определение»,которое приводит к расселловской антиномии класса классов, не содержащих самихсебя в качестве элементов).
Показательсинтаксически связанного выражения представляет категорию значения, к которойпринадлежит это составное выражение как целое.
6.Символика, которая связала бы с отдельными словами их индексы, не потребовалабы скобок или иных средств с тем, чтобы указывать расчленение ее синтаксическисвязанных выражений (взаимную принадлежность функторов и их аргументов). Дляэтого было бы достаточно строго придерживаться той очередности слов, согласнокоторой определена очередность индексов в характерной последовательностииндексов этого выражения. Это значит, что нужно бы таким образом упорядочитьслова каждого составного выражения, чтобы они следовали друг за другом попринципу: сначала главный функтор, затем его первый, потом второй и т.д.аргументы.
Например,предложение, записанное в символике Расселла следующим образом:
p.q.--->.r:<->:~ r.q.-->~ p ......................(A) должно было бысогласно этому принципу быть записано так:
1
-------+-------
5 ¦ 3 4 ¦
--+- ----+---- -+-
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
<-> -->. p q r --->. ~ r q ~ p .............(B)
s s s s s s s s s s
— — — — — — s s — s
ss ss ss ss ss s s
¦¦
L-----------T-------------
2
Назовемфунктор n-аргументным, если знаменатель его индекса содержит n индексов. Тогдаможно сказать, что выражение A тогда и только тогда является k-ым аргументомn-аргументного функтора F в выражении В, когда: I. из выражения В можновыделить не содержащую пропусков часть T, следующую непосредственно после F справой стороны, причем показатель этой части имеет тот же вид, что изнаменатель показателя F, II. эту часть Т удается без остатка разложить на nсоставных частей, не содержащих дальнейших пропусков таким образом, чтопоказатели этих последующих составных частей поочередно те же, что очередныеиндексы в знаменателе индекса F, III. A является k-ой среди этих последующих составныхчастей, IV. F и T совместно образуют целое выражение В или член В (если бытьточным, это пояснение следовало бы заменить определением по индукции).
Согласноэтому пояснению часть выражения В, обозначенная цифрой 3 является первым, частьобозначенная цифрой 4 — вторым аргументом знака импликации, обозначенногоцифрой 5 в выражении В, ибо: I. из выражения В можно выделить часть,обозначенную цифрой 1 и не содержащую пропусков, непосредственно связанную справой стороны с частью, обозначенной цифрой 5, причем показатель обозначенногоцифрой 1 выражения имеет тот же вид, что и знаменатель индекса 5, II. часть,обозначенную цифрой 1, можно разделить без остатка на такие две части, которыене содержат пропусков и показатели которых поочередно являются такими же, что ииндексы, содержащиеся в знаменателе индекса 5, причем III. часть, обозначеннаяцифрой 3, является первой, а часть, обозначенная цифрой 4 — второй, и IV.части,обозначенные цифрами 5 и 1 совместно образуют член выражения В.
Преимуществотакой символики индексов, благодаря которой оказываются излишними все скобки,может показаться незначительным, если принимать во внимание примеры толькопредложений пропозиционального исчисления. Для исчисления предложенийпроф.Лукасевич ввел символику, которая, даже без помощи индексов, не требуетникаких скобок либо подобных вспомогательных знаков для сигнализированиясостава синтаксически связанных выражений 5).
Возможностьустранения скобок без введения индексов в этом случае объясняется тем, что висчислении высказываний используется небольшое (практически не больше трех)число категорий значения, причем все переменные принадлежат только к однойкатегории значения, а число постоянных ограничено, благодаря чему категориюзначения данного выражения можно отметить посредством выделения какой-топодробности его строения. В этом случае правила построения можно попростувычислить. Однако когда мы имеем дело с громадным, теоретически не ограниченнымчислом различных категорий значения, мы вынуждены прибегнуть к томусистематическому способу обозначения различных категорий значения, каковымявляется наша символика индексов.
Проводимыедо настоящего времени исследования относились только к выражениям, несодержащим операторов (см. ниже $ 7). Сейчас мы займемся такими выражениями, вкоторые входят операторы.
II.
7.Выше мы предположили, что каждое простое выражение языка, благодаря томузначению, каким оно обладает, можно причислить к определенной категориизначения и таким образом снабдить его соответствующим индексом. Все составныевыражения можно анализировать по схеме «функторы и их аргументы»только тогда, когда это предположение выполнено. Для некоторых языков этопредположение, возможно, и выполнимо, однако, как кажется, для некоторыхсимволических языков оно не выполняется. Здесь мы имеем в виду такие языки, вкоторых используются т.н. операторы. Этот термин охватывает такие знаки, какнапример, логический знак всеобщности вида "(Пx)" или"(x)", называемый также квантификатором общности 6), затем логическийзнак существования или частичный квантификатор "(Еx)", затемалгебраический знак суммирования (сигма в пределах от к=1 до n — Б.Д.), знакпроизведения «П» (в пределах от x=1 до 100 — Б.Д.), знакопределенного интеграла (dx от 0 до 1 — Б.Д.) и т.п. Все эти знаки имеют однообщее свойство: они всегда относятся к выражениям, содержащим одну или болеепеременных и низводят одну или более из них к роли мнимой переменной. Такимобразом, если оператор относится, например, к выражению, содержащему толькоодну переменную, то возникает сложное выражение, имеющее определенное значение.
Так,например, выражения "(Еx).x есть человек", «Ex¤(знаксуммирования сигма в пределах от x=1 до 10 — Б.Д.) имеют определенные значения,хотя в них и входят переменные. Благодаря оператору эти переменные становятсямнимыми переменными, или же, говоря иначе, переменными, связанными оператором.
Итак,разложение содержащего оператор выражения на функторы и их аргументы, категориизначения которых были бы взаимно согласованы, например, общего предложения»(Пx).fx", кажется, встречается с непреодолимыми трудностями.
Невникая во внутреннее строение составного оператора "(Пx)" сразуотбросим напрашивающуюся интерпретацию синтаксического строения общегопредложения "(Пx).fx", согласно которой в таком предложении оператор"(Пx)" играл бы роль главного функтора, а принадлежащая емупропозициональная функция — роль его аргумента. Если бы этот синтаксическийанализ общего предложения соответствовал действительности, то нужно было быпричислить квантификатор всеобщности "(Пx)" к тем функторам, которыес одним предложением в качестве своего аргумента образуют предложение и такимобразом принадлежат к категории s/s. Однако следует заметить, что вэкстенсиональной логике функтор типа s/s должен быть истинностнозначным (truthfunctor). Тем самым пробег его значений должен соответствовать одной из четырехтаблиц:
p ¦f1p p ¦f2p p ¦f3p p ¦ f4p
---+------+--- ---+--- ----+----
0¦ 0 0 ¦ 1 0 ¦ 1 0 ¦ 0
--+-----+--- --+--- ---+----
1¦ 1 1 ¦ 0 1 ¦ 1 1 ¦ 0
¦¦ ¦ ¦
Другимисловами, если бы квантификатор всеобщности был функтором s/s, то предложение(Пx).fx должно было бы быть эквивалентно либо 1) fx, либо 2) ~fx, либо 3)независимо от x должно было бы быть всегда истинным, либо 4) всегда быть ложно.Однако все эти случаи не соответствуют смыслу, какой связывается с выражением"(Пx).fx". Следовательно, в экстенсиональной логике нельзя пониматьоператор "(Пx)" как функтор типа s/s. Однако поскольку этот операторсовместно с предложением «fx» образует предложение, то он не можетбыть иным функтором.
Однаковозникает догадка, что синтаксическое строение общего предложения (Пx).fx можетбыть также интерпретировано иначе, чем прежде. Может не "(Пx)"является в этом предложении главным функтором, а «fx» — его аргументом,но может знак «П» является главным функтором, а «x» егопервым, тогда как «fx» — его вторым аргументом. Тогда следовало быобщее предложение правильно записывать в виде П(x,fx).
Поскольку«x»может принадлежать к разным категориям значения, постольку также и«П» должно было бы быть многозначным в смысле своего типа. Например,если «x» принадлежит к категории предложений, «f» — ккатегории s/n, то для того, чтобы «П(x,fx)» было предложением«П» должно было бы принадлежать к категории s/ss. В этом случае«П» должно было бы в экстенсиональной логике быть двузначнымфунктором истинности, а тем самым должно было бы соответствовать одной из 16известных таблиц для двузначных функторов истинности. Однако можно легкопоказать, что это также не удается согласовать со значением общего предложения"(Пx).fx".
Такимобразом, ни первым, ни вторым способом не удается интерпретироватьсинтаксическое строение общего предложения согласно схеме функторов иаргументов.
8.Вместо переменной, к которой в утверждаемом предложении относится оператор,нельзя ничего подставлять. Таков смысл того, что переменная является«мнимой» или «связанной». С этой точки зрения совершенноиначе ведут себя функторы.
Такимобразом, если несвязывающую роль мы включим в понятие функтора, а связывающуюроль — в понятие оператора, то непосредственно увидим, что оператор не можетбыть причислен к функторам.
Можнобыло бы привести еще и второстепенное различие между функтором и оператором, аименно то, что функтор может выступать в роли аргумента другого функтора,оператор же никогда не может быть аргументом функтора.
Кроменазванных различий существует подобие оператора и функтора. С выражением, ккоторому оператор относится, он может образовывать обладающее единообразнымзначением сложное целое так же, как образовывает его функтор со своимиаргументами. Тогда можно было бы и для операторов добавить индексы, однако этииндексы нужно было бы отличать от индексов, приписываемых функторам по тойпричине, что при определении показателя их нельзя трактовать также, как индексыфункторов. А именно, поскольку оператор никогда не может быть аргументом, то иего индекс не может соединиться с предыдущим индексом в характернойпоследовательности индексов или в ее производных, но должен всегдарассматриваться совместно с последующим за ним индексом. Поэтому индекс дляоператоров мы предлагаем в виде соответствующей дроби с вертикальной чертой слевой стороны. Поскольку квантификатор общности "(Пx)" с предложениемобразует предложение, тогда он получил бы индекс
¦s
+---.
¦s
Операторукак целостности мы сразу приписываем один индекс, хотя на первый взглядоператор составлен из нескольких слов. Однако этим мы не нарушаем принципа, покоторому индекс с самого начала следует приписывать только отдельным словам, аиндексы для составных выражений учитываются только как показатели (т.е. какпоследние производные последовательностей их индексов), ибо оператор не можеттрактоваться как выражение, составленное из нескольких слов. В конечном счетеоператор является простым выражением, составленным из нескольких литер.Существуют методы записи операторов, в которых это проявляется явно. Такнапример, проф.Шольц пишет «x» после "(Пx)". Характероператора как простого выражения проявляется очевидным образом и в обычнойзаписи, когда пишут "(x)" вместо "(Пx)", или «Пx»вместо "(Пx)".
9.Если выражение содержит оператор, то его показатель должен вычисляться иначе,чем это показано выше, поскольку, если бы мы обращались с индексами операторовтакже, как с индексами функторов, то могло бы случиться так, что индексоператора слился бы с предшествующим ему индексом, что, как уже упоминалось,недопустимо. Рассмотрим, например, следующее выражение:
F (Пx. x)..................................(A)
s ¦s n
— +--
n ¦s
—
s
---.
s
Еслибы мы образовывали его показатель согласно с ранее указанными предписаниями, тополучили бы следующие производные:
1) s 2) 3)
—
n ¦s s
— +--n — n s
s ¦s n
---.
s
Такимобразом мы получили бы индекс всего предложения как показатель, тогда каквыражение А, очевидно, является синтаксическим нонсенсом.
Новоеправило получения показателя выражения требует с самого начала отдельнотрактовать ту часть характерной последовательности индексов, которая начинаетсяс крайней правой вертикальной черты для того, чтобы для той части, котораятолько в начале имеет индекс с вертикальной чертой, выделить согласно старогоправила последнюю производную. При этом индекс с чертой трактуется также, какиндекс без черты, т.е. например, вместо
¦s, так же как и вместо
«sставится индекс „s“,
+--s
---s
¦s
sаналогично и в прочих случаях.
Вычисливпоследнюю производную части последовательности индексов, начинающихся споследней вертикальной черты, вставляем ее вместо этой части во всюпоследовательность индексов. При этом следует различать два случая. Или привычислении последней производной части последовательности индексов, отделеннойпоследней вертикальной чертой, индекс, стоящий в ее начале пропал (т.е. приобразовании n-ой производной от (n-1)-ой он оказался вместе с последующимипосле него индексами заменен своим числителем), или нет.
Вовтором случае, когда этот индекс не пропадает, мы останавливаемся и считаем всюпоследовательность индексов, измененную вследствие замены частипоследовательности индексов, отделенной вертикальной чертой, ее последнейпроизводной и эту измененную последовательность считаем последней производнойвсей характерной последовательности индексов, а тем самым и ее показателем.
Впервом случае, когда пропадает последний индекс с вертикальной чертой,начинающий отделенную ею часть последовательности индексов, также и во всейпоследовательности индексов эта черта пропадает, а число всех вертикальных чертпоследовательности уменьшается на одну. В таком случае мы продолжаем продвижениесогласно этому же предписанию так долго, покамест не придем к какому-то индексус чертой, который уже не сокращается или же не пропадут все индексы с чертами имы не придем к последовательности индексов без черт, которую уже больше неудается сократить. Последовательность индексов, являющуюся последней в этойпроцедуре, мы называем последней производной характерной последовательностииндексов исследуемого выражения и его показателем.
Покажемэти новые действия на примере следующего выражения:
(Пfg):.(Пx).fx --> g x: -->: (Пx). f x .-->. (Пx).g x ....(A)
¦ s ¦s s s s s ¦ s s s ¦s s
+--- +-- ---n — — n — +--- — n — +-- — n
¦ s ¦s s ss n ss ¦ s n ss ¦s n
характернаяэтому выражению последовательность имеет вид:
¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s ¦ s s
+--- — +--- — ---n---n — +--- — n +-- — n ....(I)
¦ s ss ¦ s ss n n ss ¦ s n ¦ s n
Сначалаполучим последнюю производную части, отделенной последней вертикальной чертой:
1) ¦ s s 2) ¦ s 3)
+--- — n +--s s.
¦s n ¦ s
Теперьзаменим в (I) часть, отделенную последней вертикальной чертой, ее последнейпроизводной; таким образом, одной чертой стало меньше. Мы получим:
¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s
+--- — +--- — ---n---n — +--- — n s ..............(II)
¦ s ss ¦ s ss s s ss ¦ s n
Споследовательностью (II) мы поступаем также, как поступили с (I):
¦ s s ¦ s s s s s
+--- — +--- — ---n---n — ss ........................(III)
¦ s ss ¦ s ss n n ss
К(I) опять применяем ту же процедуру. Таким образом мы ищем последнююпроизводную части, отделенную в (III) последней вертикальной чертой. Так какэта процедура несколько длиннее, то мы ее приводим:
¦ s s s s s
+--- — ---n---n — ss .................................(1)
¦ s ss n n ss
¦ s s s s
+--- ---s ---n — ss ......................................(2)
¦ s ss n ss
¦ s s s
+--- ---ss — ss ...........................................(3)
¦ s ss ss
¦ s s
+---s — ss ..................................................(4)
¦ s ss
¦ s
+---ss..........................................................(5)
¦ s
ss..............................................................(6)
Этозначение мы подставляем вместо части, отделенной в (III) последней чертой иполучаем:
¦ s s
+--- ---ss....................................................(IV)
¦s ss
Теперьлегко вычисляем последнюю производную этой оставшейся последовательностииндексов. Ею является s. Найденная таким образом последняя производнаяпервичной последовательности индексов является показателем выражения (А).
Дляпримера исследуем еще случай, когда не все индексы с чертами пропадают. Возьмемвыражение
(Пx). f x: -->: (Пx). g(x,z) (B)
¦s s s ¦s n
+-- — n — +-- ---n n
¦s n ss ¦s nn
характернаяему последовательность индексов имеет вид:
s ¦s s ¦s n
— +-- — n +-- ---n n (I)
ss ¦s n ¦s nn
Образуемпоследнюю производную части, отделенную последней вертикальной чертой. Онаимеет вид:
¦s
+--n
¦s
Нопри этом не пропал индекс с чертой. С учетом этого обстоятельства мы не опускаемчерту и последняя производная I, а тем самым и показатель B имеют вид:
s ¦s s ¦s
— +-- — n +-- n.
ss ¦s n ¦s
Такимобразом, выражение В не имеет показателя в виде единичного индекса.
Мыпознакомились с методом получения показателя выражений, содержащих операторы.Очевидно, что этот метод содержит как частный случай ранее рассмотренный метод,пригодный для выражений без операторов (при его формулировании нужно было бытолько вспомнить о „случайно“ встречающихся индексах с чертами).Сейчас мы могли бы приведенную ранее дефиницию синтаксической связностиповторить дословно и она также была бы обязательна для выражений, содержащихоператоры.
10.Понятие синтаксической связности выражений без операторов совпадает с понятиемих синтаксической связности. Однако для выражений с операторами к понятиюсинтаксической связности должно добавиться еще одно условие. Это условиетребует, чтобы в аргументе каждого оператора, т.е. в выражении к которомуоператор применим 7), каждой переменной, на которую указывает оператор,соответствовала эквиморфная переменная, не связанная внутри этого аргумента.Лишь тогда, когда это условие выполняется, синтаксически связанное выражение,содержащее операторы, является также и синтаксически правильным.
III.
11.Связывающую роль операторов мы посчитали их характерным свойством, отличающейоператоры от функторов. Связывание одной или нескольких переменных являетсяобщей свойством всех операторов. Кроме этой связующей роли различные операторыиграют и другие роли, чем и отличаются между собой. Однако существует оператор,роль которого исчерпывается связыванием одной или больше переменных. Каккажется, таким оператором является знак „^“, введенный Расселлом иУайтхедом. Расселл употребляет этот знак для различения того, что он называет»неопределенным значением функции" от того, что называется«самой функцией». Если «fx» есть символ неопределенногозначения функции, то «fx^» представляет саму функцию. Однако приближайшем рассмотрении оказывается, что то, что Расселл называет «неопределеннымзначением функции» является тем, что где-то в других местах называется«значением зависимой переменной». Зато то, что Расселл называет«самой функцией», не является никакой переменной, но чем-топостоянным. Более глубокое проникновение в замечания, при помощи которыхРасселл выясняет понятие «собственно функции», приводит к допущению,что этим определением Расселл хочет ухватить то, что мы назвали бы объективнымэквивалентом функтора. Итак, fx^ есть то же, что f, и символы «fx^» и«f» имеют один денотат. Если эта интерпретация верна, то знак"^" можно причислить к операторам, поскольку его роль заключается в«вычеркивании» или «связывании» переменной. Нужно ещевспомнить, что при помощи знака "^" можно одновременно связывать водном выражении несколько переменных. Так, например, «fx^y^»представляет функтор двух аргументов «f».
Впростейших случаях, когда знак "^" ставится над всеми аргументамиглавного функтора всего выражения, например, в часто используемых примерах«fx^» или «fx^y^», знак "^" действует так же, какчерта, которой перечеркивают акцентируемую переменную (т.е. переменную, надкоторой находится знак "^") и таким образом ее элиминируют. Однакоесли не все аргументы главного функтора всего выражения акцентированы, то рользнака "^" уже не отождествима c обычным перечеркиванием. Так,например, «p^-->.a.~a» (причем «a» должно бытьпостоянным предложением) представляет функтор «f» типа s/s, длякоторого имеет место эквивалентность fp.<-->.p-->.a.~a. Сразу видно,что знак отрицания на месте «f» выполняет эту эквивалентность.Следовательно, «p^-->a.~a» означает то же, что "~". Затовыражение "-->.a.~a", которое можно было бы получить из«p-->.a.~a» посредством перечеркивания буквы «p», непредставляет функтор типа s/s и вообще это выражение не является синтаксическисвязанным.
12.Если все выражение, в котором знак "^" соотносится с какой-топеременной, принадлежит к категории предложений, тогда в символике Расселла мынаходим другой знак, с которым знак "^" можно отождествить. Имявляется знак (x^), используемый для образования символа класса, или же знак(x^y^), используемый в символике отношений. Ведь если «fx^»представляет функцию высказывания, то символ "(x^).fx" имеетденотатом то же, что и функтор «f», а следовательно то же, что«fx^» (если не обращать внимание на некоторые сложности, возникающиевследствие допущения интенсиональных функций, от рассмотрения которых Расселлотказался во втором издании Principia). То же можно сказать и обэквивалентности символов "(x^y^).fxy" и «fx^y^».
Мыбудем пользоваться знаками (x^) или (x^y^) также и в тех случаях, когдавыражение, к которому они относятся, не принадлежит к категории предложений,так что мы вообще будем писать "(x^).fx" вместо «fx^», асимвол «fx^y^» можем заменить "(x^y^).fxy". Измененноенаписание знака "^" ту дает выгоду, что можно выделить всё выражение,на которое распространяется действие оператора, тогда как в предыдущемнаписании это не было возможно, что в сложных случаях может привести кмногозначности. Кроме того, новое написание неоднократно позволяет поочередноприменять оператор к выражению, т.е. допускает запись"(x^):(y^).fxy", которая отлична от "(x^y^).fxy" (в старомнаписании «fx^y^»). В новом написании более выразительно проявляетсяхарактер символа "^" как оператора.
13.Символ (x^) (или (x^y^) и т.п.) как оператор получает в нашей символикеиндексов индекс с чертой. Однако поскольку эти операторы могут быть применены квыражениям разных категорий значения и кроме того преобразуют их в выраженияразличных категорий значения, то символ "^" не всегда получает один итот же индекс с чертой.
Обобщенноесловесное определение (унарного) оператора "(x^)" звучит следующимобразом: оператор "(x^)", относящийся к переменной X в выражении А,образует с этим выражением функтор, который с переменной X как со своимаргументом образует выражение, эквивалентное выражению А. Это можнопродемонстрировать на следующем примере, в котором выражение А имеет вид«fx», а переменная X — вид «x»: (x^).fx:x.:<-->.fx.
Изсказанного видно, что если выражение А, к которому относится оператор, имеетпоказатель «Е1», а переменная X — индекс «Е2», то оператордолжен иметь индекс с чертой:
¦Е1
¦----
¦Е2
+-----
¦Е1
Взависимости от того, какие индексы ставятся вместо «Е1» и«Е2», снабженный чертой индекс нашего оператора принимает различныйвид.
Аналогичнообстоит дело для многократных операторов типа (x^y^).
Какуже было отмечено, роль оператора "^", как кажется, исчерпываетсясвязыванием переменной. Однако роль других операторов простирается дальше.Главное различие между функтором и оператором мы усматриваем в том, чтооператор играет связывающую роль, которую функтор не выполняет. Это приводит кмысли, что роль таких операторов, которые не только связывают, возможно удастсяразложить так, что связывающую роль оператора выполняет знак "^",тогда как вторую роль исполняет функтор. Введем, например, функтор«U», который получит индекс
s
—
s
—
n
т.е.с синтаксической точки зрения мы будем понимать его как такой функтор, которыйс функтором типа s/n как со своим аргументом образует предложение. Установившитаким образом категорию функтора «U», определим его, говоря:выражение «U(f)» является выполнимым на месте «f» всеми итолько теми функторами типа s/n, которые с каждым именем образуют истинноепредложение.
Итак,имеем: U(f).<-->.(Пx).fx.
Назовемтакой функтор универсальным функтором. Тогда можно было бы заменитьквантификатор всеобщности универсальным функтором везде в тех местах, где мымогли бы для высказывательной функции, к которой относится оператор"(Пx)", привести такой функтор, который со связанной операторомпеременной как своим аргументом образовывал бы выражение, эквивалентное этойфункции высказывания. Это всегда можно сделать при помощи оператора «x^»,поскольку "(x^).fx как раз и является таким искомым для высказывательнойфункции «fx» функтором, в каком бы виде эта высказывательная функцияне выступала. Следовательно, мы всегда можем вместо "(Пx).fx" писатьU((x^).fx). Таким образом, роль квантификатора всеобщности удалось бы заменитькомбинацией ролей универсального функтора и оператора «x^». Очевидно,что существует не только один универсальный функтор, но их много больше иотличаются они своими категориями значения в зависимости от категории значенияфунктора, который служит для них аргументом.
Благодаряэквивалентности U(f).<-->.(Пx).fx можно легко определить универсальныйфунктор при помощи квантификатора всеобщности. Зато его определение встречаетсяс трудностями, если мы не хотим прибегать к квантификатору всеобщности. Однакопо нашему мнению, суррогатом определения универсального функтора могли бы бытьправила вывода, очерчивающие способ его использования в [теории] дедукции.Тогда символ «U» нашел бы в логике свое место открыто, как первичный знаки имел бы в системе этой науки выразительную позицию, чем контрабандныйквантификатор всеобщности, который не принадлежит ни к определяемым, ни кпервичным знакам логики.
Тогданужно было бы или определить оператор «x^», или «протянуть»его в логику, подобно обычно протаскиваемому квантификатору всеобщности. Этудилемму мы здесь разрешать не будем. Однако, если остановиться на контрабандномхарактере оператора x^, то позволим себе высказать допущение, что такаяконтрабанда, возможно, неплохо бы себя оправдала, поскольку все прочиеоператоры, которых в дедуктивных науках великое множество, можно заменитьоператором «x^» и соответствующими функторами. По нашему мнению, былабы немалая польза, если бы мы везде могли бы пользоваться только одним видомоператоров, а именно — оператором «x^».
К.Айдукевич,Перевод с немецкого Б.Т.Домбровского
Примечания
1) Stanislaw Lesniewski. Grundzuge eines neuen Systems derGrundlagen der Mathematik.«Fundamenta Mathematicae».t.XIV,Warszawa1929, str.13 и след.,67 и след.От Лесьневского мы принимаемтолько основную идею категорий значения и их разновидностей. За формулированиепредлагаемых нами соответствующих дефиниций и пояснений, как и за подробностисодержания, которое мы приписываем этому понятию, нельзя делать ответственным Лесьневского,поскольку он не устанавливает свои дефиниции вообще, но только для своейспециальной символики и совершенно иным способом, в наивысшей степени точным исугубо структурным.
2) Edmund Husserl Logische Untersuchungen. Bd.II, T.1 Zweiteumgearbeitete Auflage. Halle a. d. S. 1913, str.294,295.305-312,316-321,326-342.
3) R.Carnap Abriss der Logistik. Wien 1929, str.30; A.TarskiPojecie prawdy w jezykach nauk dedukcyjnych.Warszawa 1933,str.67.
4)Выполнение первого и третьего условия еще не гарантирует синтаксическойсвязности, ибо, например, выражение
"~ (ф, x)"
s s
— — n
sn
неявляется синтаксически связанным, хотя это выражение насквозь правильносоставлено, а его показатель, к которому мы приходим следующим образом:
s s s
— --n --s s
sn s
являетсяпростым индексом.
5) Ср. Jan LukasiewiczPhilosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalkul.Warszawa 1930, «Comptes rendus des seances de la Societe des Sciences etde Lettres de Varsovie» ,XXIII, Cl.III.
6) Ср. R.Carnap Abriss der Logistik.Wien 1929, str.13.
7)Строго говоря, не следует говорить об «аргументе» опера- тора, авместо это нужно употреблять выражение, например, «опе- рандум». Нашипредыдущие замечания, относящиеся к «правильному синтаксису»выражения, конечно, должны относится также и к отноше- ниям: оператор — операндум.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.rusword.com.ua/