Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3 2

Файл : FERMA-n3 - new

© Н. М. Козий, 200 9

Украина, АС № 2 8607

Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ Ф ЕРМА

ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

А n + В n = С n (1)

где n — целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

А n = С n -В n (2)

Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:

A3 = C3 – B3 = (C-B)∙(C2 + C·B +B2 ) (3)

Обозначим: C – B = K (4)

Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)

Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:

A3 = K[C2 + C∙(C-K) + (C-K)2 ] =3K·C2 -3K2 ∙C +K3 (6)

Отсюда:3K·C2 -3K2 ∙C – ( A3 – K3 ) = 0 (7)

Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и К и переменной величиной С.Решая его, получим:

C = (8)

Число C будет целым только при условии, если:

=3N∙K2 (9)

Отсюда: 12K∙A3 – 3K4 = 9N2 ·K4

A3 = K3 ∙ (10)

A = K (11)

Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.

Из анализа формулы (10) также следует, что если A – целое число, то должно быть:

A3 = K3 ∙ Y3 , (12)

где: Y3 = (13)

Отсюда: A = K∙ Y = K (14)

Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:

Sn = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15)

По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:

SN = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16)

где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14).

Тогда: SN = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} = (17)

Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):

Y3 = 1 + 6∙SN (18)

Из уравнения (18) следует, что все числа Y3 нечетные.

Из уравнений (17) и (18) получим:

Y3 = 1 + 6∙ = , т.е. получили уравнение (13). (19)

т.е. получили уравнение (13).

Из уравнения (19) следует: Y = (20)

Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:

Y3 = 1 + 6∙ = 1 + 6∙SN (21)

Из уравнения (21) следует: SN = (22)

Полагаем, что Y — целое число . Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма SN была целым числом, число Y должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y , определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы SN :

Y = 3, SN = 4,333…; Y = 5, SN = 20,666…; Y = 7 , SN 1 = 57;

Y = 9, SN = 121,333…; Y = 11, SN = 221,666…; Y = 13 , SN 2 = 366;

Y = 15, SN =562,333…; Y = 17, SN = 818,666…; Y = 19, SN 3 = 1143; Y = 21, SN =1543,333…; Y = 23, SN = 2027,666…; Y = 25, SN 4 = 2604.

Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y, для которых сумма SN – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y в соответствии с формулами (13), (17) и (19)не существует целого числаN , т. е.:

N = — дробное число. (23)

Есть также такие значения числа Y, для которых сумма SN – целое число. Эти числа имеют особенность — они равны:

Y = 7 =1 + 6∙1 ; Y = 13 =1 + 6∙ 2; Y = 19 =1 + 6∙ 3; Y = 25 =1 + 6∙ 4.

Отсюда следует, что для чисел:

Y = 1 + 6∙ m, где: m =1, 2, 3,… , сумма SN – целое число.

Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:

N= (24)

Подставляя ранее полученные значения целых чиселSN, получим:

N= = 21 ,377… N= = 54,120…

N= = 95,629… N= = 144,336…

Отсюда следует, что и при целых числах SN числоN — дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа SN 1 , SN2 , SN3 , SN4 на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:

SN1 =57 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + p ; SN2 = 366 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + r;

SN3 = 1143 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + s ; SN4 = 2604 ≠ 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ + t.

Следовательно, в соответствии сформулами (19), (20) и (23) если N - целое число, тоY - дробное число. И, наоборот, если Y — целое число, то N - дробное число.

Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1 числоY всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A – также всегда дробное число.

При N = 1 из уравнения (14) следует A = K, а из уравнения (8): С=А=К. В этом случае из уравнения (5) следует: В=0.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3.

Автор Козий Николай Михайлович ,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru