Тест: Дифференцирование Интегрирование

Задание 1.Найти производные функций

a) />

Пусть />, />, тогда />

b) />

Если функция имеет вид />, то её производная находится по формуле />.

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному: />

По свойству логарифма />

Таким образом,

c) />

Продифференцируем уравнение, считая yфункцией от х:

Задание 2.Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции />

Областью определения функцииявляются все действительные числа,

кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.

Функция нечетная, т. к. />

Функция не пересекается с осямикоординат (уравнение y=0 не имеет решений).

Найдем производную функции:

/>.

/>Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.

/>/>/>/>

Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

и убываетв промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.

В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0)/><0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) />>0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптотыграфика функции />:

1) вертикальная асимптота – прямая х=0

Т.к. />и />

2) горизонтальных асимптот нет,

т. к. />и />

3) наклонных асимптот нет,

т. к. />

и/>

Задание 3. Найти экстремумы функции Z= ln(3 – x2+ 2x– y2)

Найдем частные производные первого порядка.

М (1; 0) – стационарная точка.

Найдем вторые производные и их значения в точке М.