Учебное пособие: Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003

Министерство образования Российской Федерации

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Электроника и сети ЭВМ»

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Методические указания к лабораторной работе

Нижний Новгород 2003

Составитель Н.В.Марочкин

УДК 681.3.06

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ: Метод. указания к лаб.работе / НГТУ; Сост.: Н.В. Марочкин. Н.Новгород, 2003. – 20 с.

Рассмотрены основные характеристики цифровых фильтров, методы построения и анализа. Приведены индивидуальные задания по синтезу и анализу цифровых фильтров. Дана методика проведения исследования.

Редактор И.И.Морозова

Подп. к печ. 06.06.02. Формат 60х841/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд.л. 0,8. Тираж 200 экз. Заказ 434.
Нижегородский государственный технический университет.
Типография НГТУ. 603600, Н.Новгород, ул.Минина, 24.
© Нижегородский государственный
технический университет, 2003

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучить основные характеристики цифровых фильтров (ЦФ), методы построения и анализа. Закрепить теоретические знания проведением экспе-риментального исследования с помощью моделирующей программы.

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует посту-пившую на его вход последовательность чисел x (nT ) в другую последова-тельность чисел y (nT ), формируемую на выходе фильтра. ЦФ – дискретное устройство. Если при выполнении арифметических операций числа не подвергаются округлению, выполняются операции задержки, суммирова-ния, умножения на постоянные коэффициенты, то работу ЦФ можно описать линейным разностным уравнением с постоянными параметрами. При постоянном периоде дискретизации Т это уравнение имеет следующий вид:

(1)

где х( n Т), у( n Т) – входной и выходной дискретные сигналы в момент n Т, , – постоянные параметры уравнения. Как следует из уравнения для формирования выходного отсчета в текущий момент времени n Т исполь-зуются входные и выходные отсчеты, это в общем случае.

Для синтеза и анализа ЦФ вводят характеристики, сходные с характе-ристиками аналоговых фильтров. Как известно, для анализа аналоговых непрерывных систем широко используют дифференциальные уравнения. Для упрощения их решения используют преобразование Лапласа. В результате от дифференциальных уравнений переходят к алгебраичес-ким.Функция f( t), которая подвергается преобразованию Лапласа должна удовлетворять следующим требованиям:

1) f ( t )= 0, при t<0;

2) при t≥0 f ( t ) на каждом конечном отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода;

3) при t→∞ f ( t ) имеет ограниченную скорость роста, т.е. существуют α и М = М( f , α) такие, что │f ( t ) │≤, для t >0.

Прямое преобразование Лапласа :

, (2)

где p =δ+ jw комплексная величина.

Переменную следует выбирать так, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции f ( t ), для этого полюсы функции F ( p ) при t ≥0 находились слева от прямой , . Добавляя к этой прямой дугу бесконечного радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования с обходом пути интегрирования против часовой стрелки. Обратное преобразование Лапласа :

. (3)

Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции F ( p ). Прямое дискрет-ное преобразование Лапласа:

, (4)

представляет собой периодическую функцию частоты с периодом .

Дискретное преобразование Фурье:

, (5)

где k=0,1,2…N-1 –число выборок,, – верхняя частота в спектре сигнала, – частота повторения или интервал между соседними отсчета-ми АЧХ, рис. 1, .

Рис.1

Спектр дискретного периодического сигнала имеет вид, рис. 2.

В изображение по Лапласу входит множитель exp(pT ) – трасцендентная функция комплексной частоты. Это затрудняет переход от одних характе-ристик электрической цепи к другой. Нули и полюсы передаточной фун-кции периодически повторяются.

Рис.2

В связи с этим для дискретных систем широкое распространение получило Z -преобразование, получаемое заменой на z, при этом .

Такая замена преобразует трасцендентные функции в рациональные фун-кции от z. Периодическое повторение особых точек устраняется, сдвиг на период Т на плоскости Р соответствует повороту на 360º на плоскости комплексной переменной z. Ось частот jω плоскости Р отображается в окружность единичного радиуса, левая полуплоскость – во внутрь, рис. 3.

Рис. 3

Z – преобразование записывают так:

. (6)

Здесь f ( k ) – отсчеты импульсной характеристики аналоговой цепи в дискретные моменты времени 0,Т ,2Т ,…, при замене z =получим:

. (7)

Это означает, что единичная окружность Z плоскости – геометрическое место точек отсчетов частотной характеристики системы (или отсчетов спектральных составляющих), рис. 4.

Рис.4

Если Z – преобразование применить к разностному уравнению ЦФ (1), то получим:

, (8)

где Н( z ) – системная функция ЦФ, аналогичная по смыслу передаточной функции аналогового фильтра. Н( z ) – есть Z преобразование импульсной характеристики ЦФ.

Импульсная характеристика – есть реакция ЦФ на единичный импульс:

Z ( f ( nT ))= 1, поэтому при Х( z )= 1, H( z )= Y ( z ).

Системная функция H ( z ) характеризуется положением нулей и полюсов.

У физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функ-ции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной P =. Так как , то у устойчивого ЦФ полюсы системной функции H ( z ) должны располагаться внутри окружности еди-ничного радиуса. Системная функция H ( z ) связана с частотной характеристикой ЦФ следующим образом. Если подать на вход ЦФ дискретный гармонический сигнал , то сигнал на выходе ЦФ , где – частотная характеристика ЦФ.

В соответствии с разностным уравнением (1):

. (9)

Это выражение совпадает с H ( z ), если в нем заменить z -1 на , таким образом .

Частотная характеристика периодическая функция частоты, рис. 5.

Рис.5

Если период дискретизации выбран больше чем , то это приведет к искажению частотной характеристики, рис. 6.

Рис. 6

Разностное уравнение (1) есть алгоритм функционирование ЦФ. Его изобра-жают в виде структурной схемы ЦФ, рис. 7. Здесь z-1 — элементы задержки на один такт Т, элемент усилитель с коэффициентом усиления а, b; x ( nT ) – входной дискретный сигнал, у( nT ) – выходной, Т – период дискре-тизации.

Рис.7

Цифровой фильтр на рис. 7 имеет обратные связи, это фильтр с бесконеч-ной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр. Если все коэффициен-ты b 1 = b 2 =…= bN =0, то получим фильтр с конечной импульсной характерис-тикой, КИХ-фильтр, он всегда устойчивый.

При синтезе ЦФ важно, чтобы фильтр обладал определенной частотной и фазовой характеристикой. Для синтеза БИХ фильтров используют следу-ющие методы:

1) синтез по аналоговому прототипу;

2) синтез по цифровому прототипу;

3) расчет численными методами на ЭВМ.

При синтезе по аналоговому прототипу от известной передаточной функции К(р ) аналогового фильтра-прототипа стремятся перейти к разностному уравнению и системной функции H ( z ) ЦФ. Используют следующие методы:

1) метод отображения дифференциалов;

2) инвариантное преобразование импульсной характеристики;

3) согласованное Z-преобразование;

4) метод билинейного преобразования.

В методе отображения дифференциалов заменяют дифференциалы на конечные разности:

В случае прямой первой разности переход к Z плоскости производят так:

.

Метод приближенный поэтому частотные характеристики ЦФ и аналого-вого прототипа могут существенно различаться, возможна потеря устой-чивости.
При инвариантном преобразовании импульсной характеристики импуль-сную характеристику ЦФ получают из импульсной характеристики ана-логового фильтра прототипа. Импульсную характеристику аналогового фильтра прототипа h( t) представляют в виде суммы экспонент:

,

где bi — комплексная величина.

Импульсную характеристику h ( nT ) ЦФ получают дискретизацией h ( t ):

. (10)

Находят системную функцию:

. (11)

Полоса пропускания фильтра-прототипа не должна превышать величины π/Т для того, чтобы не было наложения частотных характеристик ЦФ.

При согласованном Z-преобразовании полюсы и нули передаточной функции К(р) аналогового фильтра-прототипа отображаются в полюсы и нули системной функции H ( z ) по правилу:

b → exp ( — bT ),

(p + b )→ (1 — Z - 1 (exp (- bT ))),

(p+a-jb )(p+a+jb )= (p+a ) 2+b 2→ 1- 2Z- 1e — aT cosbT+ 2Z- 2 e — 2 aT. Метод неприменим, если нет нулей у прототипа. Если частоты, соответ-ствующие нулям превышают половину частоты дискретизации, то поло-жение нулей цифрового фильтра будет искажаться за счет эффекта нало-жения.

В методе билинейного преобразования по передаточной функция К(р) аналогового фильтра-прототипа находят системную функцию ЦФ заменой

. (12)

Подставляя вместо р выражение через z , получим системную функцию H ( z ), однако H ( z ) не будет дробно-рациональным выражением и не соответствует никакому реальному цифровому устройству. Необходимо подобрать дробно-рациональное выражение, которое совпадало бы с , и при этом сохранялась бы устойчивость фильтра. Для этого используют разложение в ряд :

, (13)
где .

Ограничиваясь, для упрощения расчетов, одним членом ряда, получаем формулу билинейного преобразования:

. (14)

Этот переход от плоскости Р к плоскости Z отображает ось jω в единичную окружность │z │=1, точки, расположенные левее оси р= jω оказываются внутри окружности │z │=1. Фильтр сохраняет устойчивость, но не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, т.к. билинейное преобра-зование искажает частотный масштаб (из-за приближения для p ). Если — значение частоты характерной точки частотной характеристики аналого-вого фильтра, то этой характерной точке ЦФ будет соответствовать частота ω ц в соответствии с билинейным преобразованием:

(15)
Искажение частотного масштаба иллюстрирует рис. 8.

Рис.8

Для корректирования искажений нужно внести предыскажения в ана-логовый прототип. Известным характерным точкам нужно поставить в соответствие характерные точки аналогового прототипа ω а в соответствии с выражением (15).

При синтезе БИХ ЦФ по цифровому прототипу используется цифровой фильтр НЧ, от него переходят к цифровому фильтру НЧ, ПЧ, ВЧ, режекторному в соответствии с преобразованиями, указанными в табл.1.

Цифровой фильтр	Выражение для замены	Примечание
1. Нижних частот с частотой среза ω с		− частота среза ЦФ прототипа Т − период дискретизации
2. Верхних частот с частотой среза ω с
3. Полосо- вой с частотами среза ω 2 (ω 2 > ω 1 )
4. Режекторный с частотами среза ω 1 и ω 2 (ω 2 > ω 1 )

Если АЧХ не является ступенчатообразной функцией частоты и синтез по аналоговому прототипу дает больше искажения, применяют расчет БИХ-фильтров численными методами на ЭВМ. При этом численными методами подбирают коэффициенты a , b в разностном уравнении (1), минимизируя величину среднеквадратической ошибки:

(16)

где H действ (ejωT ), H задан (ejωT ) – частотные характеристики действительная и заданная.

При расчете КИХ-фильтров решают задачу аппроксимации АЧХ. Ис-пользуют метод частотной выборки и взвешивания.

Метод частотной выборки заключается в том, что если известны отсчеты требуемой АЧХ, то выполнив обратное дискретное преобразование Фурье, можно получить отсчеты h (n ) импульсной характеристики ЦФ. Их исполь-зуют для построения системной функции ЦФ:

. (17)

Если импульсная характеристика h (n ) задана и бесконечна, то ее ограни-чивают умножением на прямоугольный импульс единичной амплитуды:

(18)

Использование конечной импульсной характеристики приводит к всплес-кам АЧХ в переходной полосе из-за эффекта Гиббса. Для уменьшения всплесков используют методы оптимизации и взвешивания. При оптимизации АЧХ ЦФ представляют следующим образом:

, (19)

где Н о (jω ) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (0÷ω 1 ) и (ω 2 ÷ω 3 ),

Нк (jω ) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (ω 1 ÷ω 2 ) в переходной полосе,

− интерполирующая функция. Положение отсчетов Н к в полосе ω 1 ÷ω 2 (рис. 9), нужно выбрать так, чтобы Н( jω ) приближалась к заданной.

Рис.9

Задачу решают методом линейного программирования или с использова-нием алгоритма многократной замены Ремеза. Использование взвешивания применяют для уменьшения пульсации путем умножения импульсной характеристики на специально подобранную весовую функцию, функцию окна. Весовые функции приведены в табл.2, их свойства приведены в табл.3.

Таблица 2

Окно	Выражение
Ханна
Хемминга
Блэкмана
Кайзера	I o – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка

В предыдущих методах синтеза не представлялись требования к фазовой характеристике фильтра. Одной из основных особенностей цифровых КИХ-фильтров является то, что их можно построить так, чтобы они имели линейную фазу. Предположим, что число выборок входного сигнала N – нечетно, импульсная характеристика четная: h nc (-n )=h nc (n ), n =0,1…(N -1)/2.

фильтр некаузальный (физически нереализуемый, h (n )≠0 при n <0). Частот-ную характеристику фильтра можно записать так:

(20)

где а (0)=hnc (0), a (n )=2hnc (n), n =1,…,(N -1)/2.

Таблица 3

Окно	Ширина главного лепестка	Максимальный уровень боковых лепестков, дб.	Уровень пульсаций в полосе пропускания, дб.
Ханна		-45	0,26
Хемминга		-42,7	0,09
Блэкмана		-75	1,11
Кайзера		-30…-100 в зависимости от α	0,1…1 в зависимости от α

Чтобы получить каузальный (физически реализуемый) фильтр необхо-димо ввести задержку в некаузальную импульсную характеристику в течение интервала времени, который соответствует наличию (N -1)/2 выборок. Частотная характеристика каузального фильтра будет иметь вид:

. (21)

Для получения отсчетов импульсной характеристики можно использовать обратное дискретное преобразование Фурье выборок АЧХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой представлены в табл.4.

На рис. 10 показаны импульсные и частотные характеристики фильтров четырех видов. При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики B (ω) необходимо подобрать коэффициенты Со ,…, Ск частотной характеристики цифрового фильтраФ(ω, Со, С1 ,…, Ск ) так, чтобы выполнялось приближенное равенство Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск )≈ B (ω ). Для реше-ния используют критерии оценки приближения. Среднеквадратический критерий заключается в минимизации интегра-ла в заданной полосе частот ω 1 ÷ ω 2 :

. (22)

Критерий наилучшего равномерного приближения (чебышевский критерий):

. (23)

Рис.10

Таблица 4

Тип симметрии	Частотная характеристика
Фильтр вида 1 N — нечетно, симметричная импульсная характеристика h ( n )=h ( N -1-n )
Фильтр вида 2 N — четное, симметричная импульсная характеристика
Фильтр вида 3 N – нечетное, антисимметрич-ная импульсная характеристика h(n)= - h(N -1-n)
Фильтр вида 4 N – четное, антисимметрич-ная импульсная характеристика

Если использовать среднеквадратический критерий и разложить функцию Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) в ряд Фурье, то можно найти коэффициенты Со ,…, Ск. Для функций Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) двух видов:

, (24)
(25)

коэффициент определяется следующим образом:

, (26)

где − нормированная частота, − частота дискретизации; D =2 при l =0; D =4 при l ≠0 ;и для выражений (24) и (25) соответственно.
Пусть требуется найти для ФНЧ с частотной характеристикой:

. (27)

Пользуясь формулой (3), получим:

(28)

Для фильтра вида 1 отсчеты импульсной характеристики находят так:

, l =0,1,…,k -1;, k =(N -1/2), N – нечетное,

, так как импульсная характеристика симметричная.

Структура ЦФ будет иметь вид, показанный на рис. 11.

Рис. 11

Сгладить пульсации частотной характеристики можно путем умножения отсчетов импульсной характеристики на весовое окно g ( l ), тогда вместо коэффициентов получим , l =0,…,(N -1)/2.

Найдем коэффициенты для преобразователя Гильберта, идеали-зированная частотная характеристика которого имеет вид:

,

где Ω – нормированная частота. Выберем В(ω )=-1 в диапазоне при интегрировании в соответствии (3) и , получим:

.

Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра :

, l =1,…,k; k =(N -1)/2, коэффициенты h (0), h (1), h (k ) антисимметричны коэффициентам h (2k ),…,h (2k -l ): h (l )=-h (2k -l ).

Это фильтр вида 3, количество отсчетов импульсной характеристики нечетное.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Выберите в качестве аналогового фильтра прототипа цепь, схема кото-рой показана рис.12.

Рис. 12

Ее передаточная функция , где Т* = RC . Заданы величины Т* и Т (Т – период дискретизации). Используйте метод инвариантного преобразования импульсной характеристики. Постройте структурную схему ЦФ, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.

2. В задании 1 используйте метод билинейного преобразования, постройте структурную схему, фильтра, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.

3. Используйте метод билинейного преобразования постройте ЦФ с максимально гладкой АЧХ со следующими данными: затухание на частоте среза , 3дб, затухание на частоте , А дБ; частота дискретиации , аналоговый прототип – фильтр Баттерворта с частотной характерис-тикой:

, где n – порядок фильтра,.

Расчет выполняйте следующим образом.

1) определите аналоговые частоты, соответствующие требуемым ив соответствии с выражением:

,
этим корректируется искажение частотного масштаба;

2) из условия затухания А дб на частоте в сравнении с сигналом на нулевой частоте определите порядок фильтра n :
;

3) из справочника [4 ] найдите передаточную функцию прототипа или используйте табл.5;

4) сделайте замену в соответствии с билинейным преобразованием:

, получите К (p )→Н (z );

5) по системной функции H (z) постройте структурную схему ЦФ, АЧХ и ФЧХ.

4. Постройте структурную схему ЦФ преобразователя Гильберта,
АЧХ, ФЧХ.

Исходные данные для расчетов по п.1-4 получите у преподавателя.

5. Полученные результаты по п.1-4 сравните с результатами работы
моделирующей программы

Таблица 5

n	K(p)
1
2
3

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

1. Каковы назначение и принцип работы ЦФ?
2. Что такое системная функция ЦФ?
3. Какова структурная схема ЦФ?
4. В чем отличие КИХ и БИХ ЦФ.
5. В чем заключается метод частотной выборки ?
6. Виды КИХ фильтров с линейной фазовой характеристикой.
7. В чем заключается метод инвариантного преобразования импульсной характеристики ?
8. Методы синтеза КИХ фильтров.
9. Как найти частотную характеристику ЦФ?

6. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера
и А.Д. Константинидиса. – М.: Мир, 1976. – 216с.

2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки
сигналов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1978. – 848с.

3. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с англ. Под
ред. Г. Темеша и С. Митра. – М.: Мир 1977. – 560с.

4. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир.
1984. – 320с.

5. Чернега В.С., Василенко В.А., Бондарев В.Н. Расчет и
проектирование технических средств обмена и передачи
информации. М.: Высшая школа, 1990. – 223с.