Учебное пособие: Задачи по моделированию средствами

МОУ «Лицей естественных наук города Кирова»

“Задачи по моделированию

средствами MS Excel”

г. Киров, 2009 Содержание

1. Введение ................................................................................................………………. 3
1.1 Психолого-педагогические особенности изучения темы

“Моделирования” в школьном курсе информатики

1.2 Обязательный минимум содержания образования по теме

“Моделирование и формализация”

1.3 Требования к уровню подготовки выпускников по теме

“Моделирование и формализация”

2. Основные понятия моделирования .......................................................……………. 7

3. Основные этапы моделирования ...........................................................……………. 10

4. Метод математических моделей ..........................................................……………… 13

5. Задачи по моделированию из различных предметных областей ..........…………. 16

5.1 “Экономика” ……………………………………………………………………… 16
5.2 “Астрономия” ……………………………………………………………………. 24
5.3. “Физика” ………………………………………………………………………… 27
5.4 “Экология” ………………………………………………………………………… 31
5.5 “Биология” ………………………………………………………………………… 38

5.6 “География” ……………………………………………………………………… 44

6. Заключение …………………………………………………………………………… 45

7. Список литературы …………………………………………………………………… 46

8. Приложение …………………………………………………………………………… 47

1. Введение

1.1 Психолого-педагогические особенности изучения темы “Моделирования” в школьном курсе информатики

Наиболее важные и значимые общеобразовательные цели информатики и информатизации — установление и усиление межпредметных связей, создание условий для восприятия и понимания информационных процессов в обществе, природе, познании — формирование у учащихся информационной картины мира.

Современное образование требует преодоления разрозненности учебных предметов. Каждой научной дисциплине свойственно свое особое сочетание формализованных и неформализованных методов моделирования явлений, процедур доказательства и объяснения, и лишь информатика легко преодолевает межпредметные границы, обогащает все области научного познания.

Проблема взаимосвязи школьных дисциплин — математики, информатики, физики, биологии и др. — является одной из актуальных проблем современной дидактики, психологии и методики преподавания. Решение задач — конкретных моделей явлений — на уроках информатики является одним из мощных способов реализации межпредметных связей информатики и других наук.

Человек издавна использует моделирование для исследования объектов, процессов, явлений в различных областях. Результаты этих исследований служат для определения и улучшения характеристик реальных объектов и процессов; для понимания сути явлений и выработки умения приспосабливаться или управлять ими; для конструирования новых объектов или модернизации старых. Моделирование помогает человеку принимать обоснованные и продуманные решения, предвидеть последствия своей деятельности.

Компьютерное моделирование учебных и реальных объектов, ситуаций и процессов в математике, физике, химии, биологии, экологии ставит учащегося в активную позицию исследователя, позволяет самостоятельно открывать законы и явления.

Развитие навыков построения моделей способствует решению задачи, имеющей общеобразовательную ценность, а именно развитию системного и логического мышления. Ведь процесс построения моделей требует помимо специальных знаний еще и особым образом развитого мышления.

Решение задач по моделированию процессов и явлений развивает мыслительную деятельность учащихся.

Под развитием мышления учащихся в процессе обучения психологи понимают формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработку умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другую.

Таким образом, развитие мышления включает в себя:

1. Развитие всех видов мышления (наглядно-действенного, наглядно-образного, абстрактно-логического) и одновременно стимуляцию процесса перерастания их из одного вида в другой.

2. Формирование и совершенствование мыслительных операций.

3. Развитие умений:

· выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных;

· находить главные связи и отношения предметов и явлений реального мира;

· делать правильные выводы из фактов и проверять их;

· доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения;

· раскрывать сущность основных форм правильных умозаключений (индукции, дедукции и по аналогии);

· излагать свои мысли определенно, последовательно, непротиворечиво и обоснованно.

4. Выработку умения осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области знания в другую; прогнозирование развития явлений и умение делать выводы.

5. Совершенствование умений и навыков по применению законов и требований формальной и диалектической логики в учебной и во внеучебной познавательной деятельности учащихся.

По мнению психологов схема решения мыслительных задач выглядит следующим образом:

Условия возникновения	Процесс	Приемы	Результат	Формы реализации
	Анализ	Суждения
Проблемная	Мышление	Синтез	Продукт	Понятия
ситуация	Сравнение	мышления	Умозаключения
	Обобщение

В процессе построения модели учащиеся, отталкиваясь от общей формулировки задачи, выделяют существенные части моделируемой системы, исследуют свойства этих объектов, находят связи между ними, проводят компьютерные эксперименты и анализируют результаты моделирования. Практически все перечисленные выше процессы мыслительной деятельности прослеживаются при решении задач на составление моделей.

Умение выделять необходимую информацию и организовывать ее в структуру — важнейшее качество человеческого интеллекта.

1.2 Обязательный минимум содержания образования

по теме “Моделирование и формализация”

Моделирование как метод познания. Материальные и информационные модели. Объектно-ориентированное информационное моделирование. Формализация. Основные типы информационных моделей (табличные, иерархические, сетевые). Исследование информационных моделей на компьютере.

1.3 Требования к уровню подготовки выпускников

по теме “Моделирование и формализация”

Учащиеся должны:

· уметь характеризовать сущность моделирования;

· уметь характеризовать сущность формализации;

· знать о существовании множества моделей для одного и того же объекта;

· уметь строить простейшие информационные модели;

· знать этапы информационной технологии решения задач с использованием компьютера.

2. Основные понятия моделирования

Понятие модели

Модель — это некоторое упрощенное подобие реального объекта, явления или процесса.

Модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал с целью его исследования, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты и свойства оригинала.

Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем реальный объект (например, такой, как экономика страны, Солнечная система и т.п.). Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта. Модель также позволяет учиться управлять объектом, что важно в тех случаях, когда экспериментировать с объектом бывает неудобно, трудно или невозможно (например, когда эксперимент имеет большую продолжительность или когда существует риск привести объект в нежелательное или необратимое состояние).

Таким образом, можно сделать вывод, что модель необходима для того, чтобы :

· понять, как устроен конкретный объект — каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

· научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (оптимизация);

· прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект, процесс.

Структура — это определенный способ объединения элементов, составляющих единый сложный объект.

Система — это сложный объект, представляющий собой совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в некоторую структуру.

В учебнике “Информатика 9 класс” Н.В.Макаровой предложена следующая классификация моделей.

1. Классификация по области использования

Модели
Учебные	Опытные	Научно-технические	Игровые	Имитационные

Учебные: наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы.

Опытные: уменьшенные или увеличенные копии исследуемого объекта для дальнейшего его изучения (модели корабля, автомобиля, самолета, гидростанции).

Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений (стенд для проверки телевизоров; синхротрон — ускоритель электронов и др.).

Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры.

Имитационные: отражают реальность с той или иной степенью точности (испытание нового лекарственного средства в ряде опытах на мышах; эксперименты по внедрению в производство новой технологии).

2. Классификация с учетом фактора времени

Модели
Статические	Динамические

Статическая модель — модель объекта в данный момент времени.

Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени.

3. Классификация по способу представления

Модели
Материальные	Информационные
Знаковые	Вербальные
Компьютерные	Некомпьютерные

Материальная модель — это физическое подобие объекта. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала (чучела птиц, муляжи животных, внутренних органов человеческого организма, географические и исторические карты, схема солнечной системы).

Информационная модель — это совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Любая информационная модель содержит лишь существенные сведения об объекте с учетом той цели, для которой она создается. Информационные модели одного и того же объекта, предназначенные для разных целей, могут быть совершенно разными.

Вербальная модель — информационная модель в мысленной или разговорной форме.

Знаковая модель — информационная модель, выраженная специальными знаками, т.е. средствами любого формального языка. Знаковые модели — это рисунки, тексты, графики, схемы, таблицы ...

Компьютерная модель — модель, реализованная средствами программной среды.

Прежде чем построить модель объекта (явления, процесса), необходимо выделить составляющие его элементы и связи между ними (провести системный анализ) и “перевести” полученную структуру в какую-либо заранее определенную форму — формализовать информацию.

Формализация — это процесс выделения и перевода внутренней структуры предмета, явления или процесса в определенную информационную структуру — форму.

Процесс построения модели называется моделированием.

3. Основные этапы моделирования

Моделирование — творческий процесс. Заключить его в формальные рамки очень трудно. В наиболее общем виде его можно представить поэтапно в следующем виде.

I этап. Постановка задачи Описание задачи Цель моделирования Анализ объекта
II этап. Разработка модели Информационная модель Знаковая модель Компьютерная модель
III этап. Компьютерный эксперимент
IV этап. Анализ результатов моделирования
Результаты соответствуют цели	Результаты не соответствуют цели

Каждый раз при решении конкретной задачи такая схема может подвергаться некоторым изменениям: какой-то блок может быть убран или усовершенствован. Все этапы определяются поставленной задачей и целями моделирования.

I этап. Постановка задачи

Под задачей в самом общем смысле понимается некая проблема, которую надо решить. Главное — определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат.

По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменяется характеристика объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть “что будет, если...”. Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется “как сделать, чтобы...”.

Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи.

Далее переходят к описанию объекта или процесса. На этой стадии выявляются факторы, от которых зависит поведение модели. При моделировании в электронных таблицах учитывать можно только те параметры, которые имеют количественные характеристики.

Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть.

При анализе объекта необходимо ответить на следующий вопрос: можно ли исследуемый объект или процесс рассматривать как единое целое или же это система, состоящая из более простых объектов? Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система — надо перейти к анализу объектов, ее составляющих, определить связи между ними.

II этап. Разработка модели

По результатам анализа объекта составляется информационная модель. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи.

Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы будем работать в среде электронных таблиц, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель в форме таблиц, в которой выделяются три области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся “вручную”. Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, записанным по правилам электронных таблиц.

III этап. Компьютерный эксперимент

Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т.е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Это требует больших материальных затрат и времени. В помощь пришли компьютерные исследования моделей. При проведении компьютерного эксперимента проверяют правильность построения моделей. Изучают поведение модели при различных параметрах объекта. Каждый эксперимент сопровождается осмыслением результатов. Если результаты компьютерного эксперимента противоречат смыслу решаемой задачи, то ошибку надо искать в неправильно выбранной модели или в алгоритме и методе ее решения. После выявления и устранения ошибок компьютерный эксперимент повторяется.

IV этап. Анализ результатов моделирования

Заключительный этап моделирования — анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса.

4. Метод математических моделей

Если попытаться одной фразой ответить на вопрос: ”Каким образом современная математика применяется к изучению физических, астрономических, биологических, экономических, гуманитарных и других явлений?”, то ответ будет таким: ”С помощью построения и анализа математических моделей изучаемого явления”. Что же такое математическая модель?

Под математической моделью понимают систему математических соотношений — формул, уравнений неравенств и т.д., отражающих существенные свойства объекта или процесса.

При построении математических моделей далеко не всегда удается найти формулы, явно выражающие искомые величины через исходные данные. В таких случаях используются математические модели, позволяющие дать ответы той или иной степени точности.

Изучение явлений с помощью математических моделей называется математическим моделированием. Схематически процесс математического моделирования представлен в следующей таблице:

Явление внешнего мира

Его приближенное описание. Запись основных свойств и соотношений между ними на математическом языке, формулировка основных математических задач

Решение математических задач, исследование решений

Выводы, новые свойства изучаемого явления, прогнозы, сравнение с известными результатами

Уточнение модели

Хорошо построенная математическая модель обладает удивительным свойством: ее изучение дает новые, неизвестные ранее знания об изученном объекте или явлении.

П р и м е р 1. В 1846 г. Французский астроном У.Ж.Ж.Леверье (1811-1877) открыл новую планету Солнечной системы и назвал ее Нептуном. Открытие этой планеты было сделано чисто математически, путем вычислений, так сказать, “на кончике пера”. Анализируя созданную И.Кеплером и И.Ньютоном модель движения планет Солнечной системы, ученые обнаружили, что фактическая траектория движения планеты Уран отклонялась от теоретически вычисляемого движения. Ж.Леверье предположил, что ”возмутителем порядка” является неизвестная планета, которая воздействует на планету Уран. Пользуясь моделью Солнечной системы, он определил массу и закон движения новой планеты, так что все противоречия и движения планеты Уран были сняты.

Немецкий астроном И.Г.Галле в 1846 г. наблюдал новую планету в точно указанном Леверье месте.

Аналогичным методом, благодаря использованию расхождения теоретически вычисленной траектории Нептуна с наблюдаемой, в 1930 г. была открыта еще одна планета Солнечной системы, названная Плутоном.

П р и м е р 2. Знаменитый английский физик Дж. К. Максвелл (1831 — 1879), изучая построенную им математическую модель классической электродинамики, из анализа уравнений модели предсказал существование электромагнитных волн, которые позднее были экспериментально обнаружены немецким физиком Г.Р.Герцем (1857 — 1894).

П р и м е р 3. Русский ученый А.А.Фридман (1888 — 1925), анализируя уравнения общей теории относительности, составленные А.Эйнштейном (1879 — 1955), в 1922 г. обнаружил, что кроме решений, не зависящих от времени, уравнения А.Эйнштейна имеют еще и другие решения, которые от времени зависят. Это привело к открытию того, что Вселенная расширяется и сжимается, т.е. пульсирует. Представление о пульсировании Вселенной стало основой всей современной космологии.

Математические модели, с помощью которых исследование явлений внешнего мира сводится к решению математических задач, занимают ведущее место среди других методов исследования и позволяют не только объяснить наблюдаемые явления, как это было, например, с движением планеты Уран, но и заглянуть туда, где еще в принципе не могло быть опытных, экспериментальных данных. Именно так было при проведении первых атомных и водородных взрывов. И это еще не все. Существуют сферы человеческой деятельности, где проведение экспериментов, получение экспериментальных результатов принципиально не возможны!

Например, невозможно экспериментировать над озоновым слоем Земли. Невозможно определить меру антропогенного воздействия на ноосферу, достаточную для ее разрушения, — неизвестно, найдется ли в этом случае на Земле место для человечества.

Развитие математического аппарата и внедрение мощных современных компьютеров позволили математическому моделированию, успешно зарекомендовавшему себя в технике, физике, астрономии и космологии, проникнуть сегодня практически во все области человеческой деятельности — в экономику и биологию, экологию и лингвистику, медицину и психологию, историю, социологию и т.д. По мере усложнения объектов исследования, роль математических моделей изучаемых явлений существенно возрастает. Появляется целая иерархия математических моделей, каждая из которых описывает изучаемое явление глубже, полнее, всестороннее.

5. Задачи по моделированию из различных предметных областей

5.1 Экономика

Задача 1

Машиностроительный завод, реализуя продукцию по договорным ценам, получил определенную выручку, затратив на производство некоторую сумму денег. Определить отношение чистой прибыли к вложенным средствам.

Постановка задачи

Цель моделирования — исследовать процесс производства и реализации продукции с целью получения наибольшей чистой прибыли. Пользуясь экономическими формулами найти отношение чистой прибыли к вложенным средствам.

Чистая прибыль — это прибыль после уплаты налога. При расчете налога на прибыль необходимо учитывать его зависимость от уровня рентабельности. Примем, если уровень рентабельности не превышает 50%, то с прибыли предприятия взимается налог в 32%. Если же уровень рентабельности превышает 50%, то с соответствующей суммы прибыли налог взимается в размере 75%.

Объектом моделирования является процесс производства и реализации некоторой продукции.

Разработка модели

Основными параметрами объекта моделирования являются: выручка, себестоимость, прибыль, рентабельность, налог с прибыли.

Исходные данные:

выручка B;

затраты (себестоимость) S.

Другие параметры найдем, используя основные экономические зависимости. Значение прибыли определяется как разность между выручкой и себестоимостью P=B-S.

Рентабельность r вычисляется по формуле: .

Прибыль, соответствующая предельному уровню рентабельности 50%, составляет 50% от себестоимости продукции S, т.е. S*50/100=S/2, поэтому налог с прибыли N определяется следующим образом:

если r<=50, то N=P*32/100 р., иначе N=S/2*32/100+(P-S/2)*75/100.

Чистая прибыль Рч =Р-N.

И, наконец, результат решения этой задачи — отношение чистой прибыли к вложенным средствам q= Рч /S.

Так выглядит электронная таблица в формате отображения формул:

A.	B.
1.	Рентабельность производства
2.	Исходные данные
3.	Выручка (р.)
4.	Себестоимость (р.)
5.
6.	Прибыль (р.)	=B2-B3
7.	Рентабельность (%)	=B4/B3*100
8.	Налог (р.)	=ЕСЛИ(B7<=50;B6*0,32;B4/2*0,32+(B6-B4/2)*0,75)
9.	Чистая прибыль (р.)	=B4-B6
10.	Отношение чистой прибыли к вложенным средствам	=B7/B3

Компьютерный эксперимент

1. Ввести в компьютерную модель исходные данные.
Например: B=3000; S=2000.

2. Исследовать, как изменяется отношение чистой прибыли к вложенным средствам, если менять только выручку, оставляя постоянной себестоимость.

3. Исследовать, как изменяется отношение чистой прибыли к вложенным средствам, если менять только себестоимость, оставляя постоянной выручку.

4. Как измениться модель, если налог вычисляется следующим образом:

рентабельность	<=30%	от 30 до 70%	>70%
налог	20%	40%	60%

Изменится только формула в ячейке B8.

8.

Налог (р.)

=ЕСЛИ(B7<=30; B6*0,2; ЕСЛИ(B7<=70; B6*0,4; B6*0,6))

Анализ результатов

Полученная модель позволяет в зависимости от рентабельности определять налог с прибыли, автоматически пересчитывать размер чистой прибыли, находить отношение чистой прибыли к вложенным средствам.

Проведенный компьютерный эксперимент показывает, что отношение чистой прибыли к вложенным средствам увеличивается при увеличении выручки и уменьшается при увеличении себестоимости продукции.

Задача 2

Леспромхоз ведет заготовку деловой древесины. Известен ее первоначальный объем, ежегодный естественный прирост, а также годовой план заготовки. Какой объем деловой древесины на данной территории будет через год, через 2 года и т.д. — до тех пор, пока этот объем не станет меньше минимально допустимого значения.

Постановка задачи

Цель моделирования — показать динамику изменения объема деловой древесины, определить время до которого эти изменения будут происходить.

Объектом моделирования является процесс ежегодного изменения количества деловой древесины.

Количество деловой древесины в каждый следующий год вычисляется по количеству древесины предыдущего года до тех пор пока этот объем не станет меньше минимально допустимого значения (23000 м3 ).

Разработка модели

Допустим, исходные данные принимают следующие значения:

первоначальный объем V (м3 ) — 120000;

ежегодный прирост p (%) — 5,5;

годовой план заготовки R (м3 ) — 9500;

миним. допустимое значение (м3 ) — 23000.

Результатом является объем древесины через 1, 2, 3,… года.

Объем древесины в каждом следующем году вычисляется по формуле:

Vi+1 = Vi + Vi *p/100-R

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

A.	B.
1.	Задача о заготовке древесины
2.	Исходные данные:
3.	Первоначальный объем (м3 )	120000
4.	Ежегодный прирост (%)	5,5
5.	Годовой план заготовки (м3 )	9500
6.	Миним. допустимое значение (м3 )	23000
7.	Объем древесины (м3 )
8.	Через 1 год	=B3+B3*B4/100-B5
9.	2	=B8+B8*$B$4/100-$B$5
10.	3	=B9+B9*$B$4/100-$B$5

Формулу копируем.

....

27.

20

=B26+B26*$B$4/100-$B$5

Вычислительный эксперимент

1. Введите значения исходных данных и проследите динамику ежегодного изменения количества древесины, построив график.

2. Разработайте план использования древесины, так, чтобы данный процесс продолжался в течение 25 лет. (Изменяя значения R.)

A.	B.
1.	Задача о заготовке древесины
2.	Исходные данные:
3.	Первоначальный объем (м3 )	120000
4.	Ежегодный прирост (%)	5,5
5.	Годовой план заготовки (м3 )	9500
6.	Миним. допустимое значение (м3 )	23000
7.	Объем древесины (м3 )
8.	Через 1 год	117100
9.	2	114041
10.	3	110813
11.	4	107407
12.	5	103815
13.	6	100025
14.	7	96026
15.	8	91807
16.	9	87357
17.	10	82661
18.	11	77708
19.	12	72482
20.	13	66968
21.	14	61152
22.	15	55015
23.	16	48541
24.	17	41710
25.	18	34505
26.	19	26902
27.	20	18882

Анализ результатов

В результате эксперимента, видим, что процесс ежегодного изменения количества деловой древесины будет происходить в течение 19 лет (до тех пор, пока ее объем не будет меньше минимально допустимого значения V<23000 м3 ).

Задача 3

Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный цех способен собрать не более 600 прогулочных и не более 300 спортивных велосипедов. Качество каждого велосипеда проверяется на двух стендах А и В. Каждый прогулочный велосипед проверяется 0,3 ч на стенде А и 0,1 ч — на стенде В, а каждый спортивный велосипед проверяется 0,4 ч на стенде А и 0,3 ч — на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может работать более 240 ч в месяц, а стенд В — более 120 ч в месяц. Реализация каждого прогулочного велосипеда приносит фирме доход в 50 руб., а каждого спортивного — 90 руб. Сколько прогулочных и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно выпускать фирма, чтобы ее прибыль была наибольшей? [3]

Постановка задачи

Цель моделирования — составить такой производственный план, который обеспечит максимальную прибыль.

Объект моделирования — процесс производства и реализации велосипедов

Разработка модели

Исходные данные:

x — количество прогулочных велосипедов, выпускаемых ежемесячно фирмой;

y — количество спортивных велосипедов.

Занятость стенда А составляет 0,3х+0,4y, что не должно превышать 240 ч.

Занятость стенда В составляет 0,1х+0,3y, что не должно превышать 120 ч.

Прибыль фирмы составляет S=50х+90у (руб.)

Итак, мы пришли к следующей модели: необходимо найти целые значения х и у, удовлетворяющие системе неравенств.

0,3х+0,4y £ 240 О1

0,1х+0,3y £ 120 О2

0 £ x £ 600 О3

0 £ y £ 300 О4

и такие, чтобы прибыль S=50х+90у была наибольшей.

Таким образом, задача нахождения наилучшего производственного плана свелась к задаче определения максимального значения функции S(x,y) при заданных ограничениях. (Такие задачи называются задачами условной оптимизации)

Электронная таблица в режиме отображения формул выглядит следующим образом:

A.	B.
1.	Задача планирования
2.	Исходные данные
3.	х
4.	у
5.	Ограничения
6.	=0,3*B3+0,4*B4
7.	=0,1*B3+0,3*B4
8.	Результат	Прибыль
9.	=50*B3+90*B4

Компьютерный эксперимент

В среде электронных таблиц существует возможность автоматического поиска максимального (минимального) значения функции. Для этого:

1. введите значения исходных данных в ячейки В3 и В4 — любые целые числа, учитывая ограничения О3 и О4;

2. выберите команду [Сервис-Поиск решения...];

3. в появившемся диалоговом окне введите адрес ячейки, где содержится формула (функция для оптимизации);

4. укажите цель оптимизации (максимальное значение);

5. введите диапазон ячеек, посредством изменения значений которых будет достигнуто оптимальное значение целевой функции;

6. введите все ограничения.

Результат выполнения выглядит так:

A.	B.
1.	Задача планирования
2.	Исходные данные
3.	х	480
4.	у	240
5.	Ограничения
6.	240
7.	120
8.	Результат	Прибыль
9.	45600

Анализ результатов

Значения, находящиеся в ячейках В3, В4 являются оптимальными для получения максимальной прибыли.

Продолжите компьютерный эксперимент

1. Что будет, если по технологическим причинам возможность работы стенда В уменьшится до 100 ч. в месяц.

2. Что будет, если доход от реализации каждого прогулочного велосипеда увеличится до 60 руб.

3. Что будет, если проверку спортивного велосипеда на стенде А ограничить до 0,3ч

Задача 4

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозится 50 т муки, со второго — 70 т. Эта мука доставляется на хлебозаводы, причем первый получает 40 т, второй — 80 т. Допустим, что перевозка одной тонны муки с первого склада на первый завод составляет 120 руб., с первого склада на второй завод — 160 руб., со второго склада на первый завод — 80 руб. и со второго склада на второй завод — 100 руб. Как нужно спланировать перевозки, чтобы их общая стоимость за один день была минимальной? [13]

Задача 5

Для полива трех полей колхоз использует насосную станцию. На первое поле требуется подать не менее 200 кубометров воды в сутки, на второе — не менее 300, на третье — не менее 350. Колхоз имеет право расходовать не более 1200 кубометров воды в сутки. Стоимость подачи одного кубометра воды на первое поле — 1570 руб., на второе поле — 1720 руб., на третье — 1930 руб. Сколько кубометров воды надо подать на каждое поле, чтобы затраты были наименьшими? [13]

5.2 Астрономия

Задача 1

Определите скорость движения планет по орбите. Для этого составьте компьютерную модель Солнечной системы.

Постановка задачи

Цель моделирования — определить скорость движения планет по орбите.

Объект моделирования — Солнечная система, элементами которой являются планеты. Внутреннее строение планет в расчет не принимается. Будем рассматривать планеты как элементы, обладающие следующими характеристиками:

название;

R — удаленность от Солнца (в астрономических единицах;

астроном. ед. — среднее расстояние от Земли до Солнца);

t — период обращения вокруг Солнца (в годах);

V — скорость движения по орбите (астр.ед./год), предполагая, что планеты

движутся вокруг Солнца по окружностям с постоянной скоростью.

Разработка модели

Исходные данные:

R — расстояние от планеты до Солнца,

t — период обращения планеты вокруг Солнца.

Т.к. планеты движутся вокруг Солнца по окружностям с постоянной скоростью, значение скорости найдем по формуле:

, (1)

Данную модель реализуем в среде электронных таблиц. Диапазон ячеек D3:D11 содержат формулы. Так выглядит таблица в формате отображения формул:

A.	B.	C.	D.
1.	Модель Солнечной системы
2.	Планета	Расстояние от Солнца (астр.ед.)	Период обращения вокруг Солнца (год)	Скорость движения по орбите (астр.ед./год)
3.	Меркурий	0,387	0,24	=2*ПИ()*B3/C3
4.	Венера	0,723	0,62	=2* ПИ()*B4/C4
5.	Земля	1,000	1,00	=2* ПИ()*B5/C5
6.	Марс	1,524	1,88	=2* ПИ()*B6/C6
7.	Юпитер	5,203	11,86	=2* ПИ()*B7/C7
8.	Сатурн	9,539	29,46	=2* ПИ()*B8/C8
9.	Уран	19,18	84,02	=2* ПИ()*B9/C9
10.	Нептун	30,07	164,79	=2* ПИ()*B10/C10
11.	Плутон	39,44	247,7	=2* ПИ()*B11/C11

Компьютерный эксперимент

1. Выполните расчеты по формулам.

A.	B.	C.	D.
1.	Модель Солнечной системы
2.	Планета	Расстояние от Солнца (астр.ед.)	Период обращения вокруг Солнца (год)	Скорость движения по орбите (астр.ед./год)
3.	Меркурий	0,387	0,24	10,132
4.	Венера	0,723	0,62	7,327
5.	Земля	1,000	1,00	6,283
6.	Марс	1,524	1,88	5,093
7.	Юпитер	5,203	11,86	2,756
8.	Сатурн	9,539	29,46	2,034
9.	Уран	19,18	84,02	1,434
10.	Нептун	30,07	164,79	1,147
11.	Плутон	39,44	247,7	1,000

2. Вычислите скорость движения планет по орбите в км/ч и постройте график в виде столбчатой диаграммы для скоростей.

В данной модели формула (1) будет иметь вид:

(1 астрономическая единица = 150 млн. км.)

Анализ результатов

1. Проанализируйте результаты расчетов. Можно ли утверждать, что планеты, находящиеся ближе к Солнцу имеют большую скорость движения по орбите?

2. Представленная модель Солнечной системы является статической. При построении этой модели мы пренебрегали изменениями расстояния от планет до Солнца во время их движения по орбите. Чтобы знать, какая планета дальше и каковы примерные соотношения между расстояниями, этой информации вполне достаточно. Если же мы хотим определить расстояние между Землей и Марсом, то пренебрегать временными изменениями нельзя, и здесь придется использовать уже динамическую модель. Объясните, как вы понимаете термин динамическая модель ?

5.3 Физика

Задача 1

При подъеме в гору “заглох” мотор у машины. Остановится ли машина на горе или же она будет скатываться вниз.

Постановка задачи

Цель моделирования — пользуясь знакомыми физическими законами движения тела под действием нескольких сил, исследовать данную ситуацию при различных значениях исходных данных.

Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: машина и дорога.

Разработка модели

Необходимо рассмотреть силы, действующие на машину в данной системе.

y

N

Fтр

a

a

x

Fт a

_ _

На машину действуют три силы: сила тяжести Fт=mg, сила трения Fтр и сила реакции опоры N.

По I закону Ньютона тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно, если равнодействующая всех приложенных к телу сил равна нулю, т.е. F=0. _ _ _

II закон Ньютона в векторной форме записывается так: Fт+N+Fтр=0.

Запишем его в скалярной форме, для этого рассмотрим проекции сил

на ось x:	на ось y:
(Fт)х =m*g*sina; Nx =0; (Fтр)х =-Fтр Уравнение: m*g*sina-Fтр=0	(Fт)y =-m*g*cosa; Ny =N; (Fтр)y =0 Уравнение: -m*g*cosa+N=0

Fтр= m*g*sina

N= m*g*cosa

Так как Fтр=m*N, то m*g*sina=m* m*g*cosa

sina=m* cosa

tga=m

Итак, если tga>m, то машина стоит на месте, в противном случае она будет скатываться вниз.

Исходными данными являются:

m — коэффициент трения, 0<m<1;

a — угол наклона, 0<a<90. Так как в электронной таблице Excel функция tg находит значение tg от угла, выраженного в радианах, то при записи формулы предусмотрим перевод градусной меры угла в радианную.

Так выглядит таблица в формате отображения формул:

A.	B.
1.	Задача о дорожном происшествии
2.	Исходные данные:
3.	m
4.	a (град.)
5.	Результат	=ЕСЛИ(TAN(B4*ПИ()/180)> B3;”Поедет”;”Стоит на горе”)

Компьютерный эксперимент

1. Введите в компьютерную модель исходные данные.
(Например: m=0,5; a=12)

2. Найти такой коэффициент трения при котором машина поедет с горы (при данном угле).

3. Найти такой угол при котором машина будет стоять на горе (при данном коэффициенте трения).

4. Каков будет результат, если силой трения пренебречь.

Анализ результатов

Данная компьютерная модель позволяет проводить вычислительный эксперимент, взамен физическому. Меняя значения исходных данных, можно видеть все изменения происходящие в системе.

Интересно заметить, что в построенной модели результат не зависит ни от массы автомобиля, ни от ускорения свободного падения.

Задача 2

На заданном расстоянии от пушки находится стена. Известны угол наклона пушки и начальная скорость снаряда. Попадет ли снаряд в стену? [5]

Постановка задачи

Цель моделирования — пользуясь знакомыми физическими законами движения тела, брошенного под углом к горизонту, исследовать данную ситуацию при различных значениях исходных данных.

Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: снаряд, брошенный под углом к горизонту, и стена. Подобрать начальную скорость и угол бросания так, чтобы брошенное тело (снаряд) достигло цели.

Разработка модели

Снаряд считаем материальной точкой.

Сопротивлением воздуха и размерами пушки пренебрегаем.

Исходные данные:

a — угол наклона пушки, 0<a<90 градусов;

V — начальная скорость снаряда (м/с), 0<V<1000;

S — расстояние от пушки до стены (м), S>0;

h — высота стены (м), h>0.

Результатом является одно из сообщений: “Снаряд попал в стену”, “Снаряд не попал в стену”.

Для определения попадания снаряда в стену надо найти высоту L снаряда на расстоянии S от пушки: ведь попадание снаряда в стену означает, что 0<L<h. Перемещение снаряда по горизонтали и вертикали:

x=V*t*cosa

y=V*t*sina-g*t2 /2, где g-ускорение свободного падения (9,8 м/с2 ).

Определим, сколько времени понадобится снаряду, чтобы преодолеть расстояние S:

t=S/( V*cosa).

Подставив это значение t в выражение для y, получим значение:

L=S*tga-g*S2 /(2*V2 *cos2 a).

Если L<0, то снаряд до стены не долетит. Если L>h, то снаряд перелетит через стену.

Так выглядит электронная таблица в формате отображения формул:

A.	B.
1.	Полет снаряда
2.	Исходные данные:
3.	a (град.)	35
4.	V	180
5.	S	3000
6.	h	6
7.	g	9,8
8.	a (радианы)	=B3*ПИ()/180
9.	L	=B5*TAN(B8)-B7*B5^2/(2*B4^2*(COS(B8))^2)
10.	Результат	=ЕСЛИ(И(B9>0;B9<B6);«Попал»;«Не попал»)

Компьютерный эксперимент

1. Введите значения исходных данных:
Например: a=35; V=180; S=3000; h=6; g=9.8 и проанализируйте результат.
(Результат “Не попал”)

2. Найти такой угол наклона пушки, не изменяя другие параметры системы, при котором снаряд попадет в цель. (Результат a=32.6; a=32.7)

3. Найти такую скорость снаряда, не изменяя другие параметры системы, при котором снаряд попадет в цель. (Результат V=177)

4. Усовершенствуйте модель таким образом, чтобы результатом являлось одно из сообщений: “Снаряд попал в стену”, “Недолет”, “Перелет”.

Анализ результатов

Данная компьютерная модель позволяет проводить вычислительный эксперимент, взамен физическому. Меняя значения исходных данных, можно видеть все изменения происходящие в системе, производить расчет на поражение цели в зависимости от угла наклона пушки и скорости снаряда.

Задача 3

Две моторные лодки равномерно двигались по реке в направлении к озеру, в которое река впадает. Поравнявшись, они начали двигаться равноускоренно. Какая из лодок раньше дойдет до озера? [11]

5.4 Экология

Задача 1

Представьте себе, что на Земле останется только один источник пресной воды — озеро Байкал. На сколько лет Байкал обеспечит население всего мира водой?

Постановка задачи

Цель моделирования — определить количество лет, в течение которых Байкал обеспечит население всего мира водой, исследовать построенную модель.

Объектом моделирования является система, состоящая из двух компонентов: озеро Байкал и население Земли.

Зная количество воды в Байкале, численность населения Земли и потребляемость воды на 1 человека, можно найти на сколько лет ее хватит. При составлении этой модели мы не учитываем возможные изменения климатических условий. Мы также считаем постоянными численность населения Земли и потребляемость воды на 1 чел. в день. (Человечество потребляет на свои нужды огромное количество пресной воды. Основными ее потребителями являются промышленность, сельское и коммунально-бытовое хозяйство. Объем потребляемой воды зависит от уровня жизни, составляя от 3 до 700 л на одного человека.)

Разработка модели

Для построения математической модели определим исходные данные. Обозначим:

V — объем озера Байкал 23000 км3 ;

N — население Земли 6 млрд. чел.;

p — потребление воды в день на 1 человека (в среднем) 300 л.

Так как 1л. = 1 дм3 воды, необходимо выполнить перевод V воды озера из км3 в дм3. V (км3 ) = V * 109 (м3 ) = V * 1012 (дм3 )

Результат — количество лет, за которое население Земли использует воды Байкала, обозначим g. Итак, g=(V*1000000000000)/(N*p*365)

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

A.	B.
1.	Задача об использовании вод Байкала
2.	Исходные данные
3.	V(км3 )
4.	N (чел)
5.	p (л)
6.	g (год)	=(B3*1000000000000)/(B4*B5*365)

Компьютерный эксперимент

1. Введите в компьютерную модель исходные данные.

A.	B.
1.	Задача об использовании вод Байкала
2.	Исходные данные
3.	V(км3 )	23000
4.	N (чел)	6000000000
5.	p (л)	300
6.	g (год)	35

2. Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если потребляемость воды увеличится до 400 литров на человека?

3. Сколько лет можно будет пользоваться водами Байкала, если население Земли уменьшится до 5,7 млрд. чел.?

Анализ результатов

Построенная модель позволяет прогнозировать время использования вод Байкала с учетом потребляемости воды на 1 человека, изменения численности населения всего мира. Данную модель можно уточнить, учитывая изменения климатических условий.

Задача 2

Известны ежегодные показатели рождаемости и смертности некоторой популяции. Рассчитайте, до какого возраста могут дожить особи одного поколения.

Постановка задачи

Цель моделирования — исследовать изменение численности поколения популяции в зависимости от времени, определить возраст до которого могут дожить особи одного поколения популяции.

Объектом моделирования является процесс ежегодного изменения количества одного поколения популяции, который зависит от рождаемости популяции и ее смертности.

Разработка модели

Так как ежегодная рождаемость популяции соответствует количеству особей одного поколения в популяции, то исходными данными являются:

x — количество особей в 1 год;

p — ежегодная смертность (%).

Численность популяции в каждом следующем году рассчитывается по формуле: xi+1 =xi — xi *p/100. Расчет производим до тех пор, пока значение xi не станет <1.

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

A.	B.
1.	Задача о прогнозировании численности популяции
2.	Исходные данные
3.	смертность (%)
4.	рождаемость
5.	1 год	B4
6.	2 год	=B5-B5*$B$3/100
7.	3 год	=B6-B6*$B$3/100

Формулу копируем.

Компьютерный эксперимент

1. Введите в компьютерную модель исходные данные p, x (например p=30, x=1000) и проиллюстрируйте зависимость численности популяции от времени на графике.

Результаты вычислений выглядят следующим образом:

A.	B.
1.	Задача о прогнозировании численности популяции
2.	% смертности	30
3.	1 год	1000
4.	2 год	700
5.	3 год	490
6.	4 год	343
7.	5 год	240,1
8.	6 год	168,1
9.	7 год	117,6
10.	8 год	82,4
11.	9 год	57,6
12.	10 год	40,4
13.	11 год	28,2
14.	12 год	19,8
15.	13 год	13,8
16.	14 год	9,7
17.	15 год	6,8
18.	16 год	4,7
19.	17 год	3,3
20.	18 год	2,3
21.	19 год	1,6
22.	20 год	1,1
23.	21 год	0,8
24.	22 год	0,6

Анализ результатов

Результаты эксперимента показывают, что особи одного поколения данной популяции могут дожить до 20 лет.

Продолжите компьютерный эксперимент

1. Какова должна быть рождаемость популяции, чтобы особи одного поколения доживали до 25 лет при той же смертности. (Результат: x=5000)

2. Каков должен быть показатель смертности, чтобы при той же рождаемости (x=1000) особи одного поколения доживали до 35 лет. (Результат: p=18)

Анализ результатов

Модель показывает, что количество особей одного поколения всегда уменьшается и стремится к нулю, т.е. приводит к гибели данного поколения популяции.

Задача 3

Определите, как будет меняться плотность популяции голубя в течение 5 ближайших лет, если предварительные наблюдения позволили установить, что ее плотность составляет 130 особей/га. За период размножения (у голубя раз в году) из одной кладки яиц в среднем выживает 1,3 детенышей. Смертность голубя постоянна, в среднем за год погибает 27% особей. При увеличении плотности популяции до 300 особей/га и выше смертность составляет 50%.

Постановка задачи

Цель моделирования — исследовать процесс изменения плотности популяции с учетом ее рождаемости и смертности.

Объект моделирования — процесс изменения плотности популяции.

Плотность популяции — это число особей, приходящаяся на единицу площади или объема жизненного пространства. Измерением плотности пользуются в тех случаях, когда важнее знать не конкретную величину популяции в тот или иной момент времени, а ее динамику, то есть ход изменений численности во времени.

Рождаемость характеризует способность популяции к увеличению численности за счет размножения особей. Показатель рождаемости — это число новых особей (также яиц, семян), родившихся (вылупившихся, отложенных) в популяции за определенный промежуток времени.

Смертность — это показатель, противоположный рождаемости. Смертность, как и рождаемость, выражается числом особей, погибших за данный период времени, но чаще в виде относительной или удельной величины. Такой величиной может быть процент особей, погибших в единичный отрезок времени.

Разработка модели

Известно начальное значение плотности популяции.

Плотность популяции к началу следующего года есть ее плотность к началу данного года плюс рождаемость и минус смертность.

Рождаемость зависит от плотности самок и плодовитости. Предположим, что в популяции равное количество самок и самцов, то, зная плотность популяции, можно определить плотность самок (плотность самок=1/2 плотности популяции). Плодовитость известна по условию задачи. Число особей, погибших за год — это процент (смертности) от общей плотности популяции. Смертность популяции зависит так же и от величины плотности популяции.

Исходные данные:

плотность популяции (P) — 130 особей/га;

плодовитость — 1,3 детеныша в год.

Остальные показатели рассчитываются следующим образом:

плотность самок = P/2;

рождаемость (R) = плотность самок * плодовитость;

смертность (S) = P * удельная смертность;

где удельная смертность голубя = 27% в год, если P<300,

в противном случае она равна 50%;

Плотность популяции в каждом следующем году рассчитывается по формуле:

Pi+1 = Pi + Ri — Si .

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

A.	B.	C.	D.	E.	F.
1.	Задача о прогнозировании плотности популяции голубя
2.	Исходные данные:
3.	Плотность популяции	130
4.	Плодовитость	1,3
5.
6.	Показатели популяции голубя	1 год	2 год	3 год	4 год	5 год
7.	Плотность	=B3	=B7+B8-B9	=C7+C8-C9	=D7+D8-D9	=E7+E8-E9
8.	Рождаемость	=B7/2*$B$4	=C7/2*$B$4	=D7/2*$B$4	=E7/2*$B$4	=F7/2*$B$4
9.	Смертность	=ЕСЛИ(B7<300; B7*0,27; B7*0,5)	=ЕСЛИ(С7<300; C7*0,27; C7*0,5)	=ЕСЛИ(D7<300; D7*0,27; D7*0,5)	=ЕСЛИ(E7<300; E7*0,27; E7*0,5)	=ЕСЛИ(F7<300; F7*0,27; F7*0,5)

Компьютерный эксперимент

1. Введите значения исходных данных (Плотность популяции=130 и Плодовитость=1,3) и постройте в одной системе координат графики изменения плотности, рождаемости и смертности популяции голубя за 5 лет.

6.	Показатели популяции голубя	1 год	2 год	3 год	4 год	5 год
7.	Плотность	130	179	248	342	393
8.	Рождаемость	85	117	161	222	255
9.	Смертность	35	48	67	171	196

2. Как изменится модель, если число самок составляет 1/3 от общего количества популяции.

Анализ результатов

Данная модель позволяет исследовать процесс изменения плотности популяции с учетом ее рождаемости и смертности.

Задача 4

Как определить размер популяции рыбы в озере, используя метод мечения и повторного отлова.

Постановка задачи

Объект моделирования — популяция рыбы.

Для измерения обилия популяций испытано много различных методов. К наиболее распространенным относится метод мечения и повторного отлова (для подвижных животных). Этот метод — включает отлов животных, его мечение (без причинения вреда), пойманных животных подсчитывают и выпускают. Через некоторое время животных снова отлавливают и подсчитывают их общее число и отдельно число меченых. Численность популяции оценивают по формуле:

О = В1*В2/М,

где О — общая численность популяции,

В1 — число особей при 1 отлове,

В2 — число особей при 2 отлове,

М — число меченых животных пойманных при 2 отлове.

Используя данный метод, решите предложенную задачу при следующих значениях исходных данных: В1=625; В2=873; М=129.

Результат: 4230 особей.

5.5 Биология

Задача 1

Для производства вакцины на заводе планируется выращивать культуру бактерий. Известно, что если масса бактерий — x г., то через день она увеличится на (a-bx)x г., где коэффициенты a и b зависят от вида бактерий. Завод ежедневно будет забирать для нужд производства вакцины m г. бактерий. Для составления плана важно знать, как изменяется масса бактерий через 1, 2, 3, ..., 30 дней.. [5]

Постановка задачи

Цель моделирования — исследовать изменения массы бактерий, в зависимости от ее начального значения.

Объектом моделирования является процесс ежедневного изменения количества вакцины с учетом выращивания и использования бактерий для производства вакцины.

Разработка модели

Исходные данные:

a и b — коэффициенты;

x0 — начальная масса бактерий;

m — масса бактерий, забираемых для нужд производства;

Количество бактерий каждого следующего дня зависит от количества бактерий предыдущего дня и вычисляется по формуле:

xi+1 = xi +(a-b*xi )*xi -m — масса бактерий в следующий день.

Результатами являются значения массы бактерий через 1, 2, 3, 4… 30 дней.

Так выглядит электронная таблица в режиме отображения формул:

A.	B.
1.	Задача о производстве вакцины
2.	Исходные данные
3.	a
4.	b
5.	m (г.)
6.	1 день (г.)
7.	2 день (г.)	=B6+(B$3-B$4*B6)*B6-B$5
8.	3 день (г.)	=B7+(B$3-B$4*B7)*B7-B$5
9.	4 день (г.)	=B8+(B$3-B$4*B8)*B8-B$5

....

35.

30 день (г.)

=B34+(B$3-B$4*B34)*B34-B$5

Компьютерный эксперимент

1. Введите в компьютерную модель исходные данные (например a=1, b=0.0001, m=2000, x0=12000) и постройте график зависимости массы бактерий от количества дней.

Результаты вычислений выглядят следующим образом:

A.	B.
1.	Задача о производстве вакцины
2.	Исходные данные
3.	a	1
4.	b	0,0001
5.	m (г.)	2000
6.	1 день (г.)	12000
7.	2 день (г.)	7600
8.	3 день (г.)	7424
9.	4 день (г.)	7336,422
10.	5 день (г.)	7290,535
11.	6 день (г.)	7265,88
12.	7 день (г.)	7252,459
13.	8 день (г.)	7245,102
14.	9 день (г.)	7241,054
15.	10 день (г.)	7238,821

...

35.

30 день (г.)

7236,068

Анализ результатов

Видно, что масса бактерий достаточно быстро убывает и становится близкой к 7236 граммам.

Компьютерный эксперимент.

1. Что произойдет к концу месяца, если увеличить начальную массу бактерий. Проведите эксперимент, взяв начальную массу 13000 г., 14000 г., 17000 г., 18000 г. Постройте соответствующие графики зависимости массы бактерий от количества дней.

Анализ результатов

В результате этих экспериментов можно увидеть, что к концу месяца масса бактерий каждый раз упорно стремится к 7236 г. А при начальной массе в 18000 г. уже через 2 дня бактерии погибнут.

Вычислительный эксперимент показывает, что существует такой интервал значений начальной массы (от 2764 г. до 17236 г.), при котором в течение некоторого времени масса бактерий стабилизируется на уровне 7236 г. Если же взять начальную массу за пределами этого интервала, то бактерии погибнут.

Задача 2

Составить модель биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты (дня отсчета) на месяц вперед с целью дальнейшего анализа модели. На основе анализа индивидуальных биоритмов прогнозировать неблагоприятные дни, выбирать благоприятные дни для разного рода деятельности. [4]

Постановка задачи

Цель моделирования — составить модель биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты на месяц вперед с целью ее дальнейшего анализа.

Объектом моделирования является любой человек, для которого известна дата его рождения.

В жизни человека бывают творческие и бесплодные, счастливые и несчастливые дни, дни, когда он бывает в приподнятом или в подавленном настроении. Существует теория, что жизнь человека подчиняется циклическим процессам, называемым биоритмами. Эти циклы описывают три стороны самочувствия человека: физическую, эмоциональную и интеллектуальную. Биоритмы характеризуют подъемы и спады нашего состояния. Многие полагают, что “взлетам” графика, представляющего собой синусоидальную зависимость, соответствуют более благоприятные дни. Дни, в которые график переходит через ось абсцисс, являются критическими, т.е. неблагоприятными. Если у каких-либо двух (или у всех трех) биологических ритмов совпадают критические дни, то такой день называется дважды (трижды) критическим.

За точку отсчета трех биоритмов берется день рождения человека.

Физический биоритм характеризует жизненные силы человека, т.е. его физическое состояние. Периодичность ритма 23 дня.

Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, его возбудимость, способность эмоционального восприятия окружающего. Продолжительность периода эмоционального цикла равна 28 дням.

Третий биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное состояние человека. Цикличность его — 33 дня.

Разработка модели

Исходные данные:

дата рождения человека;

дата отсчета;

период физического цикла = 23 дня;

период эмоционального цикла =28 дней;

период интеллектуального цикла =33 дня.

Указанные циклы описываются следующими формулами:

физический цикл Rф (x)=

эмоциональный цикл Rэ (x)=

интеллектуальный цикл Rи (x)=,

где переменная x соответствует возрасту человека в днях.

Для нахождения x необходимо из текущей даты вычесть дату рождения человека.

Результатом является диаграммы биоритмов человека: физического, эмоционального и интеллектуального, построенные в одной системе координат.

Компьютерный эксперимент

1. Введите значения исходных данных в таблицу в ячейки C3:C7.

A.	B.	C.	D.	E.
1.	Моделирование биоритмов человека
2.	Исходные данные:
3.	Период физического цикла	23
4.	Период эмоционального цикла	28
5.	Период интеллектуального цикла	33
6.	Дата рождения	08.05.1985
7.	Дата отсчета	01.03.2000
8.	Результаты:
9.	Порядковый день	Физическое	Эмоциональное	Интеллектуальное
10.	01.Мар	1.	SIN((2*ПИ()*(A10-$C$6)/$C$3))	SIN((2*ПИ()*(A10-$C$6)/ $C$4))	SIN((2*ПИ()*(A10-$C$6)/ $C$5))
11.	02.Мар	2.	SIN((2*ПИ()*(A11-$C$6)/ $C$3))	SIN((2*ПИ()*(A11-$C$6)/ $C$4))	SIN((2*ПИ()*(A11-$C$6)/ $C$5))
12.	03.Мар	3.	SIN((2*ПИ()*(A12-$C$6)/ $C$3))	SIN((2*ПИ()*(A12-$C$6)/ $C$4))	SIN((2*ПИ()*(A12-$C$6)/ $C$5))

.. .

40.

31.Мар

31

SIN((2*ПИ()*(A40-$C$6)/ $C$3))

SIN((2*ПИ()*(A40-$C$6)/ $C$4))

SIN((2*ПИ()*(A40-$C$6)/ $C$5))

Результаты вычислений:

8.	Результаты:
9.	Порядковый день	Физическое	Эмоциональное	Интеллектуальное
10.	01.Мар	1.	0,998	1,000	-0,189
11.	02.Мар	2.	0,942	0,975	0,000
12.	03.Мар	3.	0,817	0,901	0,189

.. .

40.

31.Мар

31

-0,398

0,901

-0,690

2. По результатам расчетов, выделив диапазон ячеек B10:E40, постройте общую диаграмму для трех биоритмов.

Анализ результатов

1. Проанализировав диаграмму, выберите неблагоприятные дни для участия в спортивных соревнованиях.

2. Выберете дни, когда учебная деятельность будет наиболее (наименее) успешной.

3. Выберете день для посещения театра.

4. Определите, есть ли у вас дважды (трижды) критические дни в этом месяце?

5. Как вы думаете, что будет показывать график, если сложить все три биоритма? Можно ли по нему что-либо определить?

6. Сторонники селенобиологической гипотезы (селенобиология исследует влияние Луны на земные организмы) утверждают, что периоды многодневных ритмов, зависящие от Луны, не должны были бы представлять собой точно определенные отрезки времени. По их мнению, Луна диктует некоторый ритм, который не является таким уж регулярным. В связи с этой гипотезой продолжительность периода такова: физический период — 23,688437 суток, эмоциональный период — 28,426124 суток и интеллектуальный — 33,163812 суток. [8]

Измените модель биоритмов человека в соответствии с данной теорией.

5.6 География

Задача 1

Какова будет численность населения России в 2010 году? [16]

Постановка задачи

Объектом моделирования является процесс изменения численности населения в зависимости от времени. На этот процесс влияют многие факторы: экология, состояние медицинского обслуживания, экономическая ситуация в стране, международная обстановка и многое другое. Обобщив демографические данные, ученые вывели функцию, выражающую зависимость численности населения от времени:

f(t)=

где коэффициента a и b для каждого государства свои,

e основание натурального логарифма.

Эта формула лишь приближенно отражает реальность. Для нахождения значений коэффициентов a и b можно воспользоваться статистическим справочником. Взяв из справочника значения f(t) (численность населения в момент времени t), можно приближенно подобрать a и b так, чтобы теоретические значения f(t), вычисляемые по формуле, не сильно отличались от фактических данных в справочнике.

6. Заключение

Тема “Моделирование” является очень важной в курсе информатики, так как дает учащимся возможность провести исследовательскую работу, выполнить анализ полученных результатов, обратить внимание на конечность алгоритма, оценить точность модели, столкнуться с погрешностью приближенных вычислений, увидеть взаимосвязь различных наук и дисциплин, получить удовлетворение от выполненной работы.

Использование компьютера как инструмента учебной деятельности дает возможность переосмыслить традиционные подходы к изучению многих вопросов естественнонаучных дисциплин, усилить экспериментальную деятельность учащихся, приблизить процесс обучения к реальному процессу познания, основанному на технологии моделирования.

Решение задач из различных областей деятельности человека на компьютере базируются не только на знаниях учащимися технологии моделирования, но, естественно, и на знаниях данной предметной области. В связи с этим, предложенные уроки по моделированию целесообразнее проводить после изучения учащимися материала на общеобразовательном предмете, учителю информатики необходимо сотрудничать с учителями разных образовательных областей. Известен опыт проведения бинарных уроков, т.е. уроков, проводимых учителем информатики совместно с учителем-предметником.

Предложенные задачи можно использовать при изучении курса информатики в 9-11 классах.

7. Список литературы

1. Извозчиков В.А., Бережной Л.Н., Слуцкий А.М. Межпредметные связи и информатика (методические рекомендации) — Санкт-Петербург, 1992.

2. Машбиц Е.И. Психолого-педагогические проблемы компьютеризации обучения — М., Педагогика, 1988.

3. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. — М., Школа-Пресс, 1999.

4. Учебник “Информатика. 9 класс.” под ред. Макаровой Н.В. — Санкт-Петербург, ПИТЕР КОМ, 1999.

5. Гейн А.Г., Житомирский В.Г. и др. “Основы информатики и вычислительной техники” пробный учебник для 10-11 классов средней школы — М., Просвещение, 1992.

6. Семакин И., Залогова Л., Русаков С., Шестакова Л. «Информатика” учебник по базовому курсу — М., ООО Лаборатория Базовых Знаний, 1998.

7. Гисин В.Б., Коновалов В.П., “Программно-методический комплекс № 4 по курсу информатики. Элементы компьютерного моделирования” — М., АО КУДИЦ, 1994.

8. Дагене В.А., Григас Г.К., Аугутис К.Ф. “100 задач по программированию”, книга для учащихся, пер. с лит. — М., Просвещение, 1993.

9. Криксунов Е.А., Пасечник В.В., Сидорин А.П. “Экология 9 класс”, учебник для общеобразовательных учебных заведений — М., Дрофа, 1995.

10.Криксунов Е.А., Королев Ю.Б., Пасечник В.В., “Экология 9 класс”, рабочая тетрадь — М., Дрофа, 1996.

11. Кикоин И.К., Кикоин А.К. “Физика. 9 класс”, учебник — М., Просвещение,1990.

12.Петросян В.Г., Газарян Р.М. Межпредметные связи и решение задач//
Информатика и образование. 1998 №8.

13.Островская Е.М. Моделирование на компьютере// Информатика и образование. 1998 №7, 8; 1999 №1.

14.Пономарева Е.А. Основные закономерности развития мышления// Информатика и образование. 1999 №8.

15.Бешенков С.А., Лыскова В.Ю., Матвеева Н.В., Ракитина Е.А. Формализация и моделирование// Информатика и образование. 1999 №6.

16.Гусева О.Л., Миронова Н.Н. Excel для Windows. Практические работы// Информатика и образование. 1996 №5.

8. Приложение

Рентабельность и вычисление налогов на прибыль

Любое производство не может существовать, если оно не получает прибыль. Прибыль является важнейшим показателем финансовой деятельности предприятия. В экономике рассматривают различные формы прибыли. Под прибылью будем понимать разность между выручкой и себестоимостью. Выручкой называются доходы от продажи товаров, а себестоимостью — затраты на их производство и продажу. Обычно прибыль выражают в денежных единицах.

Обозначим выручку от реализации продукции через B, себестоимость — черезS. Тогда прибыль P будет равна

P = B — S.

Однако величина прибыли от продажи некоторого продукта безотносительно к тому, сколько затрачено на его производство, мало что говорит.

На рисунке показаны три фирмы, имеющие одинаковый доход D, но совершенно различные затраты, этот доход обеспечивавшие.

фирма I фирма II фирма III

Затраты З 1 фирмы I для получения дохода D достаточно велики, у фирмы II — затраты З 2 меньше, чем у фирмы I, а у фирмы III они меньше всех. Очевидно, что фирма III работает более эффективно, чем фирмы I и II.

Понятие рентабельности (от нем. rentabel — доходный) и является одним из способов измерения эффективности деятельности фирмы, отрасли и т.д. за определенный промежуток времени.

Показателем рентабельности, или рентабельностью r называют отношение прибыли P предприятия или фирмы за некоторый промежуток времени к полным затратам (себестоимости) S за этот же период. Поэтому

или (1)

Если дробь то это значит, что P>S, т.е. предприятие работает эффективно, окупает не только все издержки производства, но и получает определенную прибыль на каждый затраченный рубль.

Если же дробь то это говорит о неэффективности фирмы и необходимости повышения ее рентабельности путем снижения себестоимости, повышения качества, уменьшения потерь и т.д. Рисунок показывает, что наибольшая рентабельность у фирмы III, несколько меньше она у фирмы II, и совсем небольшая у фирмы I.

Как правило, рентабельность выражается в процентах:

(2)

Изменение показателя рентабельности характеризует динамику развития производства, прибыльность или убыточность хозяйственной деятельности фирм, отраслей и т.д. Еще несколько лет назад уровень рентабельности играл важнейшую роль при определении налога с прибыли предприятия или фирм, потому что ставка налога на прибыль существенно зависела от рентабельности. Дело в том, что в условиях дефицита продукции и отсутствия конкурентности, некоторые предприятия, особенно предприятия-монополисты, имели возможность установить непомерно высокие цены на свою продукцию и тем самым значительно увеличить прибыль без крупных вложений в производство. Увеличение прибыли вело к повышению рентабельности. Чтобы цены не росли непомерно, государство принимало различные меры и в том числе установило так называемый предельный уровень рентабельности. Если рентабельность продукции предприятия превышала установленный предельный уровень, то налог взимался по повышенной ставке. Так, в 1991-1993 гг. в России был установлен предельный уровень рентабельности в 50%. Если уровень рентабельности не превышал этого значения, то с прибыли предприятия взимался налог в 32%. Если же уровень рентабельности превышал 50%, то с соответствующей суммы прибыли налог взимался в размере 75%. (Прибыль, соответствующая предельному уровню рентабельности 50%, составляет 50% от себестоимости продукции S, т.е. S*50/100=S/2.)

Соотношения , или позволяют определить любую из величин r, P или S, если известны две другие.