Лекция: Средняя арифметическая.

Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:

, (6.2)

т. е. сумма центральных отклонений равна нулю.

Например, для значений 1; 4; 5; 5; 5 средняя арифметическая
μ = 4.

Центральные отклонения будут следующие:

1–4 = –3, 4–4 = 0, 5–4 = +1, 5–4 = +1, 5–4 = +1,

а сумма центральных отклонений: –3+0+1+1+1 = 0.

Это свойство средней арифметической используется для проверки правильности ее расчета: если оказалась неравной нулю, значит, допущена ошибка в вычислениях. Если к каждому значению признака прибавить постоянную величину a (или ее вычесть), то средняя арифметическая из измененных вариантов будет равна средней арифметической из первоначальных вариантов, увеличенных (или уменьшенных) на величину a. Например, если в разбираемом примере к каждой из первоначальных вариантов 1; 4; 5; 5; 5 прибавить 3, то для полученных величин 4; 7; 8; 8; 8 среднее μ = 7 на 3 больше первоначальной средней μ = 4. Если в этой группе из каждого значения вычесть, например, 1, то для уменьшенных значений 0; 3; 4; 4; 4 средняя μ = 3 будет на 1 меньше первоначальной средней μ = 4.

, (6.3)

Таким образом, если каждое значение умножить на постоянное число a, то средняя арифметическая из измененных вариантов будет точно в a раз больше первоначальной средней арифметической. Если в разбираемом примере все значения 1; 4; 5; 5; 5 умножить на 10, то для полученных увеличенных вариантов (10; 40; 50; 50; 50) средняя арифметическая μ = 40 ровно в 10 раз больше той, которая получена для неувеличенных вариантов (μ= 4). Если a равно дробному числу, то каждое значение, а также и каждая средняя будут уменьшены во столько же раз. Если в разбираемом примере все значения умножить на 1/5, то средняя арифметическая из уменьшенных вариантов (0,2; 0,8; 1; 1; 1) μ = 0,8 в 5 раз меньше средней арифметической, полученной для неизменных значений (μ = 4).

2.Уравнение прямолинейной регрессии

Прямолинейная корреляция отличается тем, что при этой форме связи каждому из одинаковых изменений первого признака соответствует вполне определенное и тоже одинаковое в среднем изменение другого признака, связанного с первым или зависящего от первого.

Та величина, на которую в среднем изменяется второй признак, при изменении первого на единицу измерения, называется коэффициентом регрессии. Рассчитывается он по формуле:

, (11.14)

где R2/1 – коэффициент регрессии второго признака по первому;

s2 – стандартное отклонение второго признака, который изменяется в связи с изменением первого;

s1 – стандартное отклонение первого признака, в связи с изменением которого изменяется второй признак;

r12 – коэффициент корреляции между первым и вторым признаками.

Ошибка коэффициента регрессии равна ошибке коэффициента корреляции, умноженной на отношение сигм:

(11.15)

Критерий достоверности коэффициента регрессии равен критерию достоверности коэффициента корреляции:

, (11.16)

Коэффициент прямолинейной регрессии показывает, на сколько от своей средней отклоняется второй признак, если первый признак от своей средней отклонился на единицу измерения. Это можно выразить следующей формулой:

(X2 – μ2) = R2/1 (X1 – μ1) (11.17)

Обозначая X1 через х, X2 через у, R1/2 через b и произведя необходимые преобразования этого выражения, можно получить рабочую формулу прямолинейной регрессии:

y=a+bx (11.18)

. (11.19)

Билет18