Лекция: КЛАССИЧЕСКАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Из математического анализа известны следующие условия ло­кального экстремума функции f(х), дифференцируемой достаточное число раз.

1. Если функция f(х) дифференцируема в точкеи достигает в этой точке локального экстремума, то (необходимое условие экстремума).

2. Пусть функция f(х) п раз дифференцируема в точке и в этой точке все производные f(х) до п - 1-го порядка включительно равны нулю, . Тогда, если n — нечетно, то не является точкой локального экстремума функцииf(х). Если же n — четное число, то:

а) при — точка локального минимума f(х);

б) при — точка локального максимума f(х) (доста­точное условие экстремума).

Перечисленные условия позволяют предложить следующий путь решения задачи минимизации (2.1):

1) с помощью условия 1 находим все точки возможного экстрему­ма функции f(х) на интервале (а; b), т.е. корни уравнения

(2.8)

(стационарные точки), принадлежащие интервалу (а; b);

2) найденные стационарные точки исследуем в соответствии с условием2, выделяя из них только точки локальных минимумов f(х);

3) значения f(х) в точках локальных минимумов и на концах отрезка [а; b] сравниваем между собой. Наименьшему из этих значений соответствует точка глобального минимума f(х) на [а; b].

3амечание. Применение условия 2 требует вычисления высших производных функцииf(х), поэтому в большинстве случаев бывает проще сравнить значения f(х) во всех стационарных точках, не интересуясь их характером. С учетом этого можно предложить следующий алгоритм минимизации f(х) на отрезке [а; b] (классический метод).

Шаг 1. Решить уравнение (2.8) на интервале х Î (а; b), т.е. найти все стационарные точки x1, .., xk-1Î (а; b). Положить x0 = а, xk = b.

Шаг 2. Вычислить значения f(х) функции f(х) в точках xi, i= 0, .., k.

Шаг 3. Найти f *=. Положить х *= xm.

Пример 2.2. Классический метод минимизации.

Решить задачуf(х) =х3 — Зх +1 ® min, х Î [-2; 2].

Шаг 1. Находим корни уравнения f '(х) = Зx2 — 3 = 0 из интервала (-2; 2): x1 = -1, x2= 1. Полагаем x0= -2, x3 = 2.

Шаг 2. Вычисляем значения f(х) в точках xi, i = 0, .., 3: f(х0) = -17, f(х1) = 3, f(х2) = -1, f(х3) = 1.

Шаг 3. Находим f *= min(-l 7, 3, -1, 1) = — 17 =f(х0). Поэтому x* = х0 = -2, f *=-17.

При решении практических задач оптимизации классический метод имеет ограниченное применение. Это объясняется тем, что, во-первых, во многих случаях значения целевой функции f(х) находятся из измерений или экспериментов, а измерение производной f '(х) затруднительно или невозможно и, во-вторых, даже когда производная f '(х) задана аналитически или поддается измере­нию, решение уравнения (2.8) зачастую вызывает затруднения.