Лекция: И т е р а ц и я 1.

Шаг 1. Находим x2=0,5, f(x2) = 0,669. Переходим к шагу 2.

Шаг 2. Определяем x1 = 0,25, f(x1) = 0,783. Переходим к шагу 3.

Шаг 3. f(x1) > f(x2), поэтому полагаем x3 = 0,75, вычисляем f(x3) = 0,789 и переходим к шагу 4.

Шаг 4. f(x1) < f(x2), поэтому полагаем а = 0,25, b = 0,75 и переходим к шагу 5.

Шаг 5. Находим en = 0,25 > 0,1, т.е. переходим к следующей итерации, начиная с шага 2.

Результаты вычислений на остальных итерациях записаны в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Таким образом, x* » x2 = 0,5, f* » f(x2) = 0,67. Сравните этот ответ с ре­зультатами решения предыдущих примеров.

Замечание. На первой итерации второго метода деления отрезка пополам вычисляется не более трех значений f(x) а на ос­тальных — не более двух. Поэтому N вычислений f(x) гарантируют осуществление (N-1)/2 итераций, и достигнутая точность определе­ния x* составляет

. (2.18)

Сравнение методов исключения отрезков и перебора. При срав­нении прямых методов минимизации обычно учитывают количество N значений f(x), гарантирующее заданную точность определения точки х* тем или иным методом. Чем меньше N, тем эффективнее считается метод. При этом вспомогательные операции такие, как выбор пробных точек, сравнение значений f(x) и т.п., не учитываются. Во многих прак­тических случаях определение значений целевой функции требует больших затрат (например, времени ЭВМ или средств для проведения экспериментов) и вспомогательными вычислениями можно пренеб­речь. А эффективность метода минимизации особенно важна именно в таких случаях, поскольку позволяет сократить указанные затраты.

Эффективность методов минимизации можно также сравнивать, на основании гарантированной точности e(N) нахождения точки х*, которую они обеспечивают в результате определения N значений f(x). Из анализа формул (2.10), (2.14), (2.17) и (2.18) следует, что наиболее эффектив­ным из сравниваемых методов является метод золотого сечения, за ним идут методы деления отрезка пополам и наименее эффективен метод перебора. Этот вывод иллюстрирует табл. 2.5 значений достиг­нутой точности e(N) в зависимости от количества Nнайденных значе­нийf(x) на отрезке длины 1 для указанных методов.

Таблица 2.5

* ) Из формул (2.14)и (2.18)следует приблизительно одинаковая эффективность обоих методов деления отрезка пополам. В табл. 2.5 представлены значения e(N)для второго из них