Лекция: МИНИМУМ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть функция f(x) определена на множестве U вещественной оси R. Напомним некоторые основные понятия.

1. Число х* Î U называется точкой глобального (абсолютного) минимума или просто точкой минимума функции f(x) на множестве U, еслиf(x*) £f(x) для всех хÎ U.

Значение f* = f(x*) = f(x) называют глобальным ( абсолютным) минимумом или просто минимумом функции f(x) на множе­стве U.

Множество всех точек минимума f(x) на U будем в дальнейшем обозначать через U*.

2. Число ÎU называется точкой локального минимума функции f(x), если f(x) £ f(x) для всех x Î U, достаточно близких к, т.е. если существует e > 0 такое, что это неравенство выполняется для лю­бого .

3. Пусть функция f(x) ограничена снизу на множестве U, т.е.

f(x) ³ А >-∞ для всеххÎ U. Число f* называется точной нижней гранью функции f(x) на множестве U ( ), если f(x) f* при всех х Î U и для любого e > 0 найдется точка xe ÎU такая, что f(xe) <f* + e (т.е. сре­ди значений f(x) на множестве U найдутся как угодно близкие к f*).

Для неограниченных снизу функций f(x) полагают f* = — ∞.

Замечания:

1. Глобальный минимум f(x) является и локальным минимумом, а обратное, неверно.

2. Множество точек минимума U* функцииf(x) на множестве U мо­жет быть пустым, состоять из конечного или бесконечного числа то­чек.

Например:

а) еслиf(x)=lnx, U = (0;1], то U*=ø;

б) еслиf(x)= х2, U = [- 1; 1], то U* = {0} — конечное множество;

в) если f(x) = sin2 px, U = R, то U=Z — бесконечное множество.

3. Если U* = ø, то . Таким образом, точная нижняя грань обобщает понятие минимума функции на случай U* = ø.

Пример 2.1. Точная нижняя грань функции, не имеющей точек минимума.

Пусть f(x) =, U = [1; + ∞).Покажем, что:

а) U* = ø, т.е. f(x) не имеет на U точек минимума;

б) = 0.

а) (Доказательство от противного.) Предположим, что U*¹ ø, т.е. су­ществует хотя бы одна точка х* Î [1;+ ∞), такая, что

f(x*) £f(x) (2.2)

для всех х Î [1;+ ∞). Выберем произвольное число х 0 > х *. Очевидно,

х0 Î [1; + ∞), причем f(х *) = =f(x0), т.е. получаем противоречие с неравенством (2.2). Поэтому исходное предположение неверно иU*= ø.

б) Для всех х Î [1;+ ∞) имеем: f(x) = > 0, т.е. число 0 удовлетворяет пер­вому из неравенств для точной нижней грани f(x).

Далее, пусть > 0. Возьмем произвольное > mах(, 1). Тогда, очевидно, xe Î [1;+ ∞) и f(xe)< =0+, т.е. для числа 0 выполняется и второе нера­венство из определения точной нижней грани. Поэтому .

Если множество точек минимума функции f(x) на U — пусто, то задача минимизации f(x) теряет смысл. В этом случае можно ограни­читься поиском точки , в которой значение f(x) с заданной погрешностью приближает точную нижнюю грань функции f(x) на мно­жестве U, т.е. .

Широкий класс функций, для которых U*, определяет хорошо известная из математического анализа теорема Вейерштрасса, со­гласно которой непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своих минимального и макси­мального значений. Таким образом, пример (2.1) с непрерывной целе­вой функцией f(x) всегда имеет решение.