Лекция: Системы счисления. Операции над числами в различных системах счисления
Кроме десятичной существует неизмеримое количество других систем, при этом некоторые из них используются для представления и обработки информации в компьютере. Существуют два вида систем счисления: позиционные и непозиционные.
Непозиционными системами называются такие, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места нахождения в числе. Примером может служить римская система счисления, в которой используются такие цифры как I, V, X, L, C, D, M и т.д.
Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её места положения. Позиционная система характеризуется основой исчисления, под которой будет пониматься такое число £, которое показывает, сколько единиц какого-либо разряда необходимо для получения единица старшего порядка.
Например, можно записать
.
Что соответствует числам в десятичной системе счисления
,
Индекс снизу указывает на основу счисления.
Для перевода положительных чисел, из одной системы счисления в другую известны два правила:
— перевод чисел из системы, в систему с использованием арифметики системы ;
— перевод чисел из системы, в систему с использованием арифметики системы ;
Рассмотрим первое правило. Допустим, число в десятичной системе необходимо представить в двоичной системе. Для этого данное число делится на основание системы представленное в системе, т.е. на 210. Остаток от деления будет младшим разрядом двоичного числа. Целая часть результата от деления вновь делится на 2. Операцию деления повторять столько раз, пока частное не будет меньше двух.
Пример: 8910 перевести в двоичное число, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления
8910 → 10110012
Обратный перевод, согласно того же правила, следующий:
10110012 перевести в десятичное число, пользуясь арифметикой двоичной системы счисления
Двоичные числа 1000 и 1001 согласно таблице 2.1 соответственно равны 8 и 9. Поэтому 10110012 → 8910
Иногда обратный перевод удобнее осуществлять, пользуясь общим правилом представления числа в какой-либо системе исчисления.
Рассмотрим второе правило. Перевод чисел из системы, в систему с использованием арифметики системы. Для осуществления перевода необходимо каждую цифру числа в системе умножить на основание системы счисления представленной в системе счисления и в степени позиции этого числа. После чего полученные произведения суммируются.