Лекция: Розв’язування рівнянь. Розв’язування рівнянь виду

, (1)

складається з двох етапів: відокремлення коренів, тобто встановлення проміжків,, в кожному з яких міститься тільки один корінь; уточнення коренів, тобто їх обчислення з наперед заданою точністю. Для відокремлення коренів використовуються аналітичні або графічні методи. Для уточнення коренів використовуються ітераційні методи. Розглянемо деякі методи уточнення коренів.

1. Метод поділу проміжку навпіл. Якщо функція неперервна і набуває на кінцях проміжку значень різних знаків, тобто, то корінь рівняння (1) можна обчислити з наперед заданою точністю. Побудуємо обчислювальний процес. Обчислимо середину проміжку. Оскільки, то буде:, або, або. Якщо, то знайдено точне значення кореня і процес завершується. При корінь міститься на проміжку. Покладемо. При корінь міститься на проміжку .і Покладемо. Якщо довжина проміжку більша за, то знову обчислюється середина проміжку і т. д. Якщо довжина проміжку менша за, то процес обчислень завершується, а вважається наближенням кореня з точністю .

2. Метод ітерацій. Нехай на проміжку рівняння (1), де неперервна на функція, має єдиний корінь. Замінимо рівняння (1) еквівалентним йому рівнянням так, щоб,, а всі значення належали проміжку при .

Починаючи з деякого початкового наближення, знаходимо послідовні наближення за формулою

,. (2)

Обчислення завершуються при виконані умови

, (3)

при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .

Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді так, щоб справджувалися вище наведені умови, наприклад,

, (4)

де – стала. При рівняння (4) і (1) еквівалентні. Сталу добирають так, щоб в околі кореня було тобто, щоб задовольнялися умови. Отже стала повинна мати той самий знак, що й, і задовольняти умову. Процес збігається тим швидше, чим ближче до нуля. Отже, слід добирати так, щоб добуток був якомога ближчим до для всіх .

3. Метод хорд (січних).Якщо функція двічі неперервно диференційовна на проміжку, похідні відмінні від нуля і зберігають знак на цьому проміжку, а, то за методом хорд наближене значення кореня знаходять як абсцису точки перетину хорди, що проходить через точки, з віссю .

Послідовні наближення кореня знаходять за формулою

,, (5)

де якщо, або якщо. Обчислення завершуються при виконанні умови

, (6)

де – задана точність,, При цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .

4. Метод дотичних (Ньютона).Якщо функція задовольняє ті ж умови, що й у методі хорд, то за методом дотичних наближене значення кореня знаходять як абсцису точки перетину дотичної до кривої в одній із точок чи з віссю .

Послідовні наближення кореня знаходять за формулою

,, (7)

де якщо, або якщо. Обчислення завершуються при виконані умови

, (8)

де – задана точність,,, при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .

5. Комбінований метод. Якщо функція задовольняє ті ж умови, що й у методі хорд, і в методі дотичних, то для уточнення кореня зручно комбінувати метод хорд і метод дотичних. При цьому одержуються оцінки кореня зверху і знизу.

Послідовні наближення кореня знаходять за формулами

, (9)

,, (10)

де якщо, або якщо .

Обчислення завершуються при виконанні умови

, (11)

де – задана точність, при цьому вважається наближеним значенням кореня з заданою точністю .

Завдання:

Розробити програму обчислення таблиці значень інтеграла з заданою точністю для, що змінюється на інтервалі з кроком. Для обчислення значення інтеграла використати одну із формул наближеного інтегрування для завдань: 1-4 – прямокутників; 5-9 – трапецій; 10-14 – Сімпсона. У програмі використати підпрограму обчислення інтеграла за вказаною формулою, в яку передати підінтегральну функцію як параметр. Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, в кожному рядку якої розмістити значення і відповідне йому значення інтеграла.

1.,,, .

2.,,, .

3.,,, .

4.,,, .

5.,,, .

6.,,, .

7.,,, .

8.,,, .

9.,,, .

10.,,, .

11.,,, .

12.,,, .

13.,,, .

14.,,, .

Розробити програму уточнення коренів рівняння на відрізку з різною точністю. Для уточнення коренів рівняння використати один із ітераційних методів для завдань: 15-18 – поділу відрізка навпіл; 19-21 – ітерацій; 22-24 – хорд; 25-27 – дотичних; 28-30 – комбінований. У програмі використати підпрограму уточнення коренів рівняння за вказаним методом, в яку передати як параметр функцію обчислення. Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, в кожному рядку якої розмістити значення і відповідне йому значення кореня.

, .

16., .

17., .

18., .

19. .

20., .

21., .

22., .

23., .

24., .

25., .

26., .