Лекция: РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

ОТЧЕТ

По лабораторной работе №1,2 по дисциплине вычислительная математика

Выполнил:

студент группы 4209

Еремин И.В.

Проверил:

Горбунов Д.А.

Казань 2011

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Задание.

1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения

(1)

на отрезке .

2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке.

3. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы.

Решение.

1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции на Рис.1 видно, что функция на заданном отрезке пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения (1). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение (1) к виду и построим два графика и, имеющих более простой аналитический вид (Рис. 2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим, что графический метод показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.

Рис. 1

Рис. 2 Зеленым цветом показан график; фиолетовым .

Аналитический метод. Функция непрерывна на отрезке [-1, -0.1], имеет на концах отрезка разные знаки ( ), а производная функции не меняет знак на отрезке ( ). Следовательно, нелинейное уравнение (1) имеет на указанном отрезке единственный корень.

2. Метод простых итераций.

Построим функцию. Константа выбирается из достаточного условия сходимости

(2)

Если производная, то значение выбирается из интервала, если производная, то – из интервала. Так как для рассматриваемого примера всюду положительна на отрезке [-1, -0.1], то придавая переменной различные значения из интервала [-1, -0.1] и выбирая наименьший интервал, получим -2 < c < 0. Выбираем произвольное значение из этого интервала. Пусть c = — 0.1. Тогда рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:

(3)

Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное начальное приближение. Итерационный процесс (3) заканчивается при одновременном выполнении двух условий:

и. (4)

В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке [-1, -0.1].

Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

(5)

Заметим, что в точке условие (5) не выполняется ( ), а в точке x = -0.1 — выполняется ( ). Следовательно, в качестве начального приближения выбирается точка. Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так:

(6)

Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям (4) метода простых итераций.

Модифицированный метод Ньютона. Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е.. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данного примера запишется так:

(7)

Условия выхода итерационного процесса (7) аналогичны условиям (4) метода простых итераций.

Ниже приведена программы на языке программирования С, реализующие различные итерационный процессы.