Лекция: УСЛОВИЕ ЛИПШИЦА

Применение некоторых методов одномерной минимизации воз­можно только в случае, если скорость изменения целевой функции f(х) на любом участке отрезка [а; b] ограничена некоторым числом, од­ним и тем же для всех участков. В этом случае говорят, что f(х) удов­летворяет на [а; b] условию Липшица. Целевые функции большинства практических задач оптимизации указанным свойством обладают.

Определение 2.3. Функция f(х) удовлетворяет на отрезке [а; b] ус­ловию Липшица, если существует такое число L > 0 (константа Липшица), что

(2.7)

для всех х' и х", принадлежащих [а; b].

Замечания:

1. Если неравенство (2.7) выполняется с константой L, то оно справедливо и при всех. Поэтому для функции, удовлетворяю­щей условию Липшица, существует бесконечное множество констант Lиз (2.7).

При использовании алгоритмов минимизации, включающих L как параметр, наилучшие результаты достигаются, как правило, если в ка­честве L берется минимальная из констант Липшица.

2. Из условия (2.7) непосредственно следует непрерывность f(х) на отрезке [а; b]. Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, функция f(х), удовлетворяющая на отрезке [а; b] условию Липшица, имеет на нем хотя бы одну точку минимума.

3. Условие (2.7) означает, что модуль углового коэффициента любой хорды графика f(х) не превосходит L.

Переходя в (2.7) к пределу при, убеждаемся, что если в не­которой точке существует касательная к графику функции f(х), то модуль ее уг­лового коэффициента также не может превышать L. Так, функция f(х)= на отрезке [0; 1] условию Липшица не удовлетворяет, потому что при угловой коэффициент касательной к ее графику k неограниченно возрастает (рис. 2.5).

4. Если функция f(х) имеет на отрезке [а; b] непрерывную произ­водную, то она удовлетворяет на этом отрезке условию Липшица с константой

По формуле конечных приращений для произвольных точек х', х" Î[а; b] имеем: , где x— некоторая точка, лежащая между х' и х". Отсюда с учетом условия получаем неравенство (2.7) для f(х).

5. Если a=x0 <x1<…<xn =b, а функцияf(х) непрерывна на [а; b] и удовлетворяет условию (2.7) на каждом из отрезков [xi, xi+1], i = 0, 1,..,п — 1, с константой Li, то она удовлетворяет условию Липшица и на всем отрезке [а; b] с константой