Лекция: Уравнение Эйлера-Лагранжа

Рассмотрим далее в качестве примера следующую задачу. Пусть на некоторой плоскости задана прямая. Зафиксируем две точки и, принадлежащие плоскости и располагающиеся по одну сторону от прямой. Будем предполагать также, что прямая, проходящая через точки не является перпендикулярной. Соединим точки и всевозможными гладкими кривыми (то есть, кривыми, имеющими непрерывную производную в каждой точке), лежащими в данной плоскости. При вращении каждой такой кривой вокруг прямой L получается некоторая поверхность вращения. Зададимся целью найти среди этих поверхностей такую поверхность вращения, площадь которой минимальна. Из курса математического анализа известно, что площадь поверхности вращения выражается через интеграл

(6.45)

Здесь введены следующие обозначения: – площадь поверхности вращения, – уравнение кривой, – абсциссы точек соответственно. Из формулы (6.45) следует, что при известной функции всегда можно (аналитически или числено) определить площадь поверхности вращения. В нашем случае, однако, функция заранее неизвестна и именно она, в первую очередь, должна быть определена. Таким образом, оптимальным решением в данном случае будет являться функция, а поставленной задаче можно дать следующую математическую формулировку:

, (6.46)

.

Множество других задач от классической задачи о брахистохроне (определение наименьшего времени, необходимого для прохождения пути, ограниченного заданными точками, при заданных начальных условиях) до задачи о получении оптимального технологического процесса с учетом потребностей рынка приводят к оптимальному решению — функции. Такие функции называются экстремалями. В настоящем разделе мы рассмотрим метод решения простейших задач такого рода.