Лекция: Математическая модель и математическое моделирование. Этапы математического моделирования.

Математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики

Важно так «сконструировать» приближенную математическую модель, чтобы она достаточно точно отражала характерные свойства рассматриваемого явления. При этом могут быть опущены несущественные и второстепенные свойства явления с тем, чтобы эта модель была доступна для исследования на данном уровне развития вычислительной техники.

Математическое моделирование — изучение явления с помощью математической модели.

Классическим примером математического моделирования является описание и исследование основных законов механики И.Ньютона средствами математики.

С точки зрения развития знаний человечества о естествознании и исследования законов природы, техники, общества и науки на основе математических моделей процесс решения конкретной проблемы можно разбить на следующие этапы.

1. Формулировка законов, связывающих основные объекты модели.

2. Исследование математических задач, к которым приводят

математические модели.

3. Проверка: удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию

практики.

4. Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об
изучаемых явлениях и модернизация модели.

Первый этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

На втором этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника — мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе различных математических моделей явлений бывают одинаковыми. Приведем пример: основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы. Это дает обоснование считать эти различные математические модели гомоморфными по отношению к математическим задачам, к которым эти модели приводятся. Такие типичные математические задачи исследуются учеными и инженерами как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

На третьем этапе проверяется, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам явлений макро- и микромира.

Перейдем к четвертому этапу. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании принятой математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели.