Лекция: Парадоксы голосования
Часто возникают коллизии из-за субъективной неразличимости вариантов выбора. Разработаны различные способы, помогающие решить проблему. Приведем пример.
Пусть два эксперта дали противоположные предпочтения между вариантами выбора а и b. Попробуем сделать выбор, сравнивая силу предпочтения экспертов. Это часто делается в криминалистической практике. Двум экспертам предлагается в одном ряду с а и b упорядочить по предпочтению еще несколько альтернатив, например,c, d, e.
Пусть первый эксперт дал следующее упорядочение (c, d, a, b, e),а второй (b, c, d, e, a). Ясно, что первый эксперт больше сомневается в своем выборе, чем второй. Поэтому целесообразно принять результат сравнения второго.
Наиболее интересный результат, касающийся методов голосования заключается в парадоксе Эрроу. Им доказана так называемая теорема о невозможности.
Суть теоремы состоит в следующем:
Пусть существует n индивидуальных предпочтений R1,R2,…,Ri,…,Rn. Необходимо найти функцию F,
P=F(R1,R2,…,Ri,…,Rn),
которая бы «справедливо» согласовывала эти предпочтения.
Сформируем ряд «очевидных» свойств (аксиом), которым должна соответствовать функция F:
1. n 2, где n — число голосующих;
N 3, где N — число альтернатив;
функция F определена на любых индивидуальных наборах.
2. Если в результате группового выбора предпочтение было дано альтернативе x, то это решение не должно измениться, если кто-либо из голосующих, ранее отвергнувший альтернативу x, изменил свое предпочтение в пользуx, Это– условие монотонности. Это можно записать так:
3. Если изменение индивидуальных предпочтений не коснулось определенных альтернатив, то в новом групповом упорядочении взаимный порядок этих альтернатив не должен меняться (условие независимости несвязанных альтернатив).
4. Условие суверенности. Для любой упорядоченной пары альтернатив x и y существует такой набор индивидуальных предпочтений для которого:
5. Отсутствие диктатора:
Парадокс Эрроу состоит в том, что первые четыре свойства несовместимы с пятым. Можно придумать такую функцию F, что она будет удовлетворять первым четырем свойствам, но не будет удовлетворять пятому. Это говорит о противоречивости всей конструкции, хотя на первый взгляд она безупречна. Причина неприятности состоит в 3 свойстве.
Другой пример. Нарушение транзитивности и его следствие.
Пусть каждый из n субъектов имеет свою долю ai из общего ресурса:
Вектор с этими компонентами назовем состоянием системы.
Рассмотрим два произвольных состояния системы:
.
Будем говорить, что состояние не хуже для i-ого субъекта, если .
Будем проводить перераспределение ресурсов на основе очень сильного большинства — тотально – мажоративного: система перейдет из в, если не хуже для всех субъектов кроме одного.
Последовательность состояний называется тотально – мажоративной путем из в, если переходом в очередное состояние удовлетворены все субъекты, кроме того, чей ресурс в данный переход перераспределяется.
Теорема.
Для любых двух состояний и существует тотально – мажоративный путь из в .
Последний пример. Парадокс многоступенчатого выбора.
Такой способ выбора (двухступенчатый) применяется в США при выборе президента.
Рассмотрим трехуровневую схему выбора.
Пусть черные кружки – «красные», а белые – «белые». Они объединены в «округа» — овалы.
Нижний уровень на рисунке соответствует первой ступени выбора. Если ограничиться только ей без учета «округов», победят «белые» с разгромным счетом 19:8.
Будем, однако выбирать по округам, то на второй ступени получим счет скромнее — 5:4, но опять в пользу «белых». Но уже на третьей ступени счет 2:1 в пользу «красных». В результате президент «красный»,
Отбор
Отбор – это повторный выбор.
Возможны системы, в которых выбор повторяется многократно, причем каждый последующий выбор происходит в условиях, отличающихся от тех, в которых происходил предыдущий. Это придает процессу выбора динамику.
Рассмотрим модель отбора, предложенную профессором Ефимовым.
Предположим, что имеется некоторая совокупность элементов, выражающаяся некоторым критерием. Численное значение его x, причем. Тот элемент, который имеет большее значение x, будет считаться лучшим.
В исходной совокупности M, которую можно считать бесконечной, присутствуют элементы с любыми значениями x.
Допустим, что для достижения нашей цели требуется, чтобы показатель качества для элементов отобранной группы (элитной) был не ниже некоторого значения a (a<1).
Количество элементов в элитной группе Э ограничено: |Э|=n
Предположим, что процедура отбора иногда дает сбой, так что в элитную группу с небольшой вероятностью β попадают «сорные» элементы, для которых x<a.
Если элемент для отбора выбирается случайно, то можно говорить о F(x) – функции распределения качества x в исходной группе и о f(x) – соответствующей плотности вероятности.
Тогда плотность распределения качества x в элитной группы будет выглядеть так:
Очевидно, что среднее значение качества в Э зависит от β и F(a).
Так как обычно вероятность β достаточно мала, а F(а) достаточно велика, то >>. При β= F(а), то есть если вероятность сбоя велика, то среднее качество по элите не отличается от среднего по исходному множеству .
Если по ряду причин (старения, разрушения, отчисления) какие-то элементы выбывают из элитной группы, а численность ее требуется сохранить, то возникает задача повторного выбора новых элементов из основной совокупности на вакантные места в состав элитной группы. При этом, естественно, расположение критической величины x внутри элитной группы может измениться. Характер изменения этого распределения будет зависеть от ряда факторов:
от изменения качества x каждого элемента со временем, как в элитной группе, так и в основной совокупности;
от правил отсева из элитной группы (происходят такие случаи с учетом или без учета величины x, лучшие или худшие элементы);
от правила включения новых элементов (в соответствии с прежним эталоном или с измененным эталоном);
от временных соотношений между моментами очередных пополнений элитной группы (это важно, если x во времени меняется);
Различное сочетание этих условий приводит к возникновению большого количества задач с различным типом эволюции элитной группы.
Рассмотрим некоторые процедуры пополнения группы и выхода из нее.
1. Процедура «претендент – рекомендатель».
Правило состоит в том, что при наличие вакансии в элите наугад из общей совокупности выбирается элемент («претендент»), который сравнивается с наугад взятым из элиты элементом («рекомендателем»). Если значения x у претендента не меньше значения y рекомендателя, то претендент включается в элиту, иначе процедура повторяется. В этом случае направление изменения качества в элитной группе определяется тем, какие элементы (лучше или худшие) дольше существуют в элитной группе.
2. Процедура «Прополка».
Правило прополки состоит в удалении из элитной группы m наихудших элементов и замена их тоже m, но наугад взятых из основной группы. Процедура прополки является обратной процедуре снятия урожая.
3. Процедура снятия урожая.
Правило прополки состоит в удалении из элитной группы m наилучших элементов и замена их тоже m наугад взятых из основной группы.
4. Процедура делегирования.
Эта процедура предполагает активность, внешнюю по отношению к элите. Она состоит в следующем:
из исходной совокупности случайно выбирается N элементов (делегирующая выборка);
делегирующую выборку упорядочивают по величине x;
элемент с наибольшим рангом зачисляют в формируемую элитную группу.
Эту процедуру можно использовать при исходном формировании элитной группы, операцию при этом надо провести N раз.
Доказано, что наилучший результат получается, если
.