Лекция: Пример Цоя
Несмотря на то, что аксиомы Н, О, С, К кажутся естественными для любого выбора, можно построить относительно простой пример функции выбора, которая не удовлетворяет ни одной из этих аксиом.
Рассмотрим функцию выбора заданную на всевозможных множествах на плоскости.
В любой плоской фигуре ищем центры окружности, целиком лежащей внутри этой фигуры и имеющей максимальный радиус среди таких окружностей.
Покажем что каждая из аксиом Н, С, О, К не выполняется при этом выборе.
Покажем, что не выполняется аксиома Н.
Согласно аксиоме Н.
Очевидно, что
.
отрезок [A,B] не содержится в точке А.
Итак, аксиома Н не выполняется
Одновременно с этим, не выполняется и аксиома К.
Покажем, что не выполняется аксиома О. Для этого, в качестве X возьмем тот же прямоугольник, а Y поднимем вверх.
C(X)=CD
C(Y)=E
Очевидно,, но, что противоречит аксиоме О.
Покажем, что не выполняется аксиома С.
Заштрихованная область — Y=X/S;
. Поэтому .
Что и требовалось доказать
Еще две теоремы Сена. Теперь они связывают аксиомы с бинарными отношениями.
3 Теорема Сена.
Для того чтобы функция выбора порождалась качественным порядком, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классам Н, С, О.
4 Теорема Сена.
Для того чтобы функция выбора порождалась слабым порядком, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла аксиома константности..
Индикаторы (функция полезности)
Функцией полезности или индикатором строгого отношения P заданного на множестве G называют функцию, такую что
. (1)
Таким образом, эта функция оцифровывает порядковую шкалу.
Часто используют другое, более жесткое определение полезности:
. (2)
Основные результаты связи индикаторов и бинарных отношений:
1. Бинарное отношение P может быть представлено в виде (2) в том случае если P – слабый порядок. При этом постоянна на классах безразличия, т.е.
.
2. Бинарное отношение P не обладает функцией полезности вида (2), если оно или определяемое им отношение безразличия, не является транзитивным.
Нарушение транзитивности отношения безразличия при выборе вариантов решения не редкое явление, наблюдаемое в поведении людей. Оно обычно объясняется наличием порога чувствительности у эксперта, которое не позволяет ему различать альтернативы близкие между собой в некотором смысле. В этом случае изучается бинарное отношение представления в виде:
,
где — пороговая функция, — функция полезности;
.
3. Каждому качественному порядку P можно сопоставить набор скалярных функций:
это есть паретовский выбор.
Все приведенные результаты нами не доказаны, но главное то, что в этих результатах нет алгоритма построения индикаторов.