Лекция: Составить программу для определения объема оперативной памяти вычислительной системы.

1. Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные или минимальные значения некоторой целевой функции, при проектировании новых объектов нередко возникает необходимость нахождения функций, доставляющих экстремум целевому функционалу. Такие задачи имеют место, например, при проектировании трубчатых химических реакторов (здесь требуется найти функцию распределения температуры по длине реактора, максимизирующую производительность), ректификационных колонн, стеклоплавильных печей и многих других объектов.

Для решения таких задач разработаны многочисленные аналитические и численные методы. Преимущество аналитических методов заключается в получении точного решения, недостаток — узкий класс задач, которые могут быть решены этими методами. Численными методами (особенно прямыми) могут быть решены многие задачи, не имеющие аналитического решения.

Немного теории:

Функционал – оператор, ставящий в соответствие некоторой функции число.

Аргумент функционала —

Приращение функционала —

Необходимое условие экстремума функционала – равенство нулю всех его вариаций.

Рассмотрим, например, следующий функционал

.

Приращение, согласно формуле (3.2), равно:

Вариация, согласно формуле (3.3), равна:

Простейшая задача вариационного исчисления ставится следующим образом.

Пусть функция F(t,x,x¢) имеет непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка включительно. Среди всех функций x(t), имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих граничным условиям х(t0)=x0, x(t1)=x1 найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу:

(3.1)

Для того, чтобы решить поставленную задачу, необходимо прежде всего познакомиться с определениями приращения и вариации функционала.

Приращением функционала называется величина:

(3.2)

где — приращение аргумента функционала.

Согласно определению 1 [18], вариация функционала (3.1) имеет вид:

= (3.3)

Согласно определению 2 [18], вариацией функционала (3.1) называется значение производной функционала по параметру L, когда L=0:

(3.4)

Аналитические методы решения вариационных задач основаны на необходимом условии экстремума функционала — обращении в нуль вариации функционала. Рассмотрим аналитические методы для простейшей задачи и более сложных случаев.

Из необходимого условия экстремума функционала выводится следующее утверждение. Для того, чтобы функционал (3.1) достигал на функции х(t) экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера:

(3.5)

Если требуется отыскать экстремум функционала, зависящего от производных высшего порядка:

(3.6)

а граничные условия имеют вид:

то экстремалями функционала (3.6) являются функции, полученные при решении уравнения Эйлера-Пуассона:

(3.7)

Если требуется отыскать экстремум функционала, зависящего от m функций:

(3.8)

при граничных условиях вида

,

то экстремали функционала (3.8) находятся из системы уравнений Эйлера:

(3.9)

Если требуется отыскать экстремум функционала

(3.10)

при условиях

,

(такая задача называется изопериметрической), то экстремаль функционала (3.10) определяется путем нахождения экстремали функционала вида

(3.11)

где — некоторая константа.

Если в оптимизационной вариационной задаче граничные условия заданы не в виде точек, а в виде функций, такая задача называется задачей с подвижными границами.

Необходимо отыскать экстремум функционала:

, (3.12)

определенного на гладких кривых x = x(t), концы которых A(t0,x0) и B(t1,x1) лежат на кривых: x=j(t) и x=Y(t).

Для решения поставленной задачи составляется и решается уравнение Эйлера, в результате чего находится семейство экстремалей x = f(t,C1,C2).

Параметры С1 и С2 определяются из уравнений:

f(t0,C1,C2)=j(t0),

f(t1,C1,C2)=Y(t1),. (3.13)

и из условий трансверсальности:

Если задача с подвижными границами ставится для поиска экстремума функционала вида

F[x, у]=

и точка A(t0,x0, у0) закреплена, а другая граничная точка B(t1,x1,y1) может перемещаться по некоторой кривой, заданной уравнениями:

x=j(t), у=Y(t),

то условие трансверсальности в этом случае принимает вид:

(3.15)

Если точка B(t1,x1,y1) может перемещаться по некоторой поверхности у=j(x,t), то условие трансверсальности запишется в виде двух выражений:

(3.16а)

(3.16б)

Как правило, аналитическое решение уравнения Эйлера удается получить лишь в простейших случаях. В большинстве практических случаев используют численные методы — пристрелки и прогонки. Согласно методу пристрелки, исходное дифференциальное уравнение заменяется разностной схемой и подбирается значение первой производной в начальной точке, при которой выполняется граничное условие в конечной точке.

Метод прогонки заключается в двукратном просчете задачи: сначала рассчитываются коэффициенты прогонки, используя которые вычисляются значения искомой функции.

Сложность подынтегральной функции исходного функционала часто не позволяет получить уравнение Эйлера, либо это уравнение получается чрезвычайно громоздким. В таких случаях целесообразно использовать прямые методы решения вариационной задачи, которые заключаются в подборе функции, при которой функционал имеет экстремум. При этом не используется необходимое условие экстремума и не решается уравнение Эйлера.

Прямой метод Ритца заключается в том, что значения функционала рассматриваются не на произвольных функциях, а на возможных линейных комбинациях функций Wi(t):

с постоянными коэффициентами аi.

Функции хn должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче и прежде всего должны удовлетворять граничным условиям.

Прямой метод Канторовича отличается от метода Ритца тем, что допускаются нелинейные относительно искомых параметров а1,a2,...,an комбинации функций Wi(t).

Прямые конечно-разностные методы заключаются в том, что решение ищется не на произвольных функциях, а лишь на ломаных, составленных из конечного числа n прямолинейных звеньев с заданными через абсциссами вершин. Таким образом, требуется найти n значений xi(t0+i t), при которых функционал экстремален.

Прямые методы решения вариационных задач.

2. Метод Ритца.

Прямые методы заключаются в нахождении искомой функции, доставляющей экстремум функционалу непосредственно его подбором. При этом не используется необходимое условие экстремума функционала и не составляется уравнение Эйлера. Поскольку количество всевозможных функций среди которых может искаться экстремум велико. В методе Ритца предложено искать решение среди линейных комбинаций заранее заданных функций.

Wi — заранее известные заданные функции и не содержащие неизвестные коэффициенты.

— неизвестные коэффициенты.

После подстановки (**) в функционал подынтегральная функция представляет собой набор известных функций аргумента t с неизвестными коэффициентами. Интеграл может быть взят, в результате чего получим некоторую функцию

и для неё надо найти экстремум. Поскольку необходимо определить экстремум n — переменных, то задача сводится от вариационной к конечномерной. Полученную задачу можно решить двумя методами:

3) Решив систему алгебраических уравнений.

4) Любым методом нелинейного программирования.

4. Метод Конторовича.

Имеет ту же основу что и метод Ритца, однако здесь допускается нелинейная комбинация искомых функций.

Приимущества:

Может быть достигнута лучшая аппроксимация экстремали при меньшем количестве параметров, в то же время более сложен вопрос о подборе функций удовлетворяющих краевым условиям.

5. Конечноразностный метод Эйлера.

XT

X0

t0 T

Интервал [t0, T] разбивается на n отрезков и ищутся значения функций в n-1 точке узлов разбиения. Искомая функция заменяется ломаной. Для каждой ломаной по методу прямоугольников, трапеций или Симпсона ищется значение функционала и находится та ломаная при которой значение функционала экстремально. С увеличением n точность аппроксимации увеличивается.