Лекция: Слабые и сильные порядки

К требованию асимметрии целесообразно добавить одно из следующих свойств: негатранзитивность или транзитивность.

1. Транзитивность:

2. Негатранзитивность:

Слабый порядок — асимметричное негатранзитивное отношение или строго упорядоченное и негатранзитивное (пример: x>y).

Так же как и для строгого упорядочения можно ввести отношение безразличия для слабого порядка:

Отношение безразличия для строгого упорядочения было рефлексивно и симметрично. Новое отношение безразличия, введенное для слабого порядка, является кроме этого и транзитивным.

Докажем теорему:

Отношение является транзитивным.

— рефлексивно, симметрично, транзитивно и следовательно является отношением эквивалентности. Это означает, что по основному свойству отношения эквивалентности множество альтернатив X разбивается на взаимно непересекающиеся классы эквивалентности, которые в данном случае являются классами взаимно толерантных элементов.

.

— фактор-множество, множество классов эквивалентности.

Указанные выше 3 свойства уже позволяют сравнивать не отдельные элементы множества X, а целые классы.

Введем отношение :

Это отношение читается так: класс превосходит класс )

Это определение вводит отношение, которое вызвано отношением слабого порядка. В этом определении безразлично какой x из и какой y из были взяты, в любом случае если для одной такой пары имеет место xPy, то оно будет иметь место и для любой другой такой пары.

Отношение называется сильным порядком. Сильный порядок – асимметричное, негатранзитивное, слабо-полное отношение.

Слабая полнота: для любой пары.классов и имеет место

Замечание. Подобного отношения нельзя ввести для отношения I, введенного для строгого упорядочивания

Таким образом, отношение удается ввести только благодаря негатранзитивности отношения P, которое добавили.