Лекция: Форматы представления информации в ЭВМ. (ОргЭВМ)

В точных науках известны позиционная и непозиционная системы счисления.

Система счисления (СС) — способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение.

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения в зависимости от расположения в изображении числа. Так, непозиционное римское Х имеет значение «десять» в числе XXX -тридцать, и в числе LX- шестьдесят. Непозиционные системы счисления не получили широкого распространения из-за громоздкости изображений и сложных правил получения значений по изображению.

В позиционной СС количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной СС, называется основанием СС. Значения цифр лежат в диапазоне от 0 до (Р-1).

В общем случае запись любого смешанного числа в СС с основанием Р будет представляться в виде ряда:

(1)

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

— положительные значения индексов, включая нуль — для целой части числа (m разрядов);

— отрицательные значения — для дробной части числа (s разрядов).

Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:

(2)

Минимальное значение, не равное 0, которое можно записать в s разрядах дробной части, равно (3)

В общем случае, имея Р разрядов целой части числа и S — дробной, можно записать разных чисел. Именно это выражение представляет диапазон отображаемых значений.

ЭВМ оперирует с числами, содержащими конечное число разрядов. Количество разрядов ограничено длиной разрядной сетки машины, под которой понимается совокупность битов информации, предназначенных для хранения и обработки машинных слов. Как следует из вышеизложенного, диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен размерами машинных слов.

Двоичная система счисления имеет основание Р=2 и использует для представления информации всего 2 цифры — 0 и 1. Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, основанные на соотношении (1). Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному

46,625:

101110,101 =1*25+0*24+1*23+1*22+1*2'+0*2°+1*2-1+0*2-2+1*2-3= 32 + 8 + 4 + 2 + 0,5 + 0,125 = 46,625

Правило перевода из двоичной СС в десятичную: определить вес каждого двоичного разряда в десятичной СС и сложив значения весов с единичными значениями разрядов (не забывайте, что абсолютные значения весов увеличиваются справа — налево в целой части и слева — направо — в дробной).

Перевод десятичного числа в СС с другим основанием непосредственно по соотношению (1) для человека весьма затруднителен, т.к. все действия, предусмотренные этим соотношением, необходимо выполнять в той СС, в которую переводится число. Однако, можно воспользоваться соотношением (1) и сделать перевод проще, если преобразовать отдельно целую и дробную части выражения (1) к виду:

((…(

Алгоритм перевода числа из десятичной СС в систему счисления с основанием р, основанный на этих выражениях, позволяет оперировать с числами в десятичной СС (той СС, из которой число переводится) и предусматривает отдельный перевод целой и дробной частей:

— для перевода целой части числа, исходное число, а затем и целые части, получающиеся в процессе преобразований, следует последовательно делить на основание р до тех пор, пока целая часть частного не окажется равной 0. Остатки от деления, записанные последовательно справа налево (от последних к первым), образуют целую часть числа в СС с основанием р;

— для перевода дробной части исходное число, а затем дробные части, получающиеся в процессе преобразований, следует последовательно умножать на основание р до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной 0 ( число переводится в новую СС точно) или не будет достигнута заданная точность (после s произведений дробная часть не равна 0 — число переводится в новую СС неточно). Целые части произведений, записанные после запятой последовательно слева направо (в порядке получения, от первых к последним) образуют дробную часть числа в СС с основанием р. Согласно вышеизложенным правилам, перевод в двоичную систему числа 46,625 будет следующим:

целая часть 46; процесс деления: 1) 46:2=23 (остаток 0), 23:2=11 (остаток 1), 11:2=5 (остаток 1), 5:2=2 (остаток 1), 2:2==1 (остаток 0), 1:2=0 (остаток 1). Итог: записываем остатки в обратном порядке:

101110;

дробная часть: 0,625; процесс умножения: 1) 0,625*2=1,250 (целая часть 1), 0,25*2=0.5 (целая часть 0), 0,5*2=1,0 (целая часть 1). Итог:

записываем целые части в порядке получения: 101.

Дампы памяти (распечатки содержания ячеек программы) представляются в шестнадцатеричной СС. Перевод из десятичной системы счисления в десятеричную, помимо приведенного выше правила, можно осуществить в два этапа: сначала перевести число в двоичную систему счисления, а затем каждые 4 двоичных разряда записать шестнадцатеричными цифрами. Двоичные числа от 0000 до 1001 представляют шестнадцатеричные цифры от 0 до 9, далее соответствие двоичных комбинаций шестнадцатеричным цифрам следующее:

1010 – А, 1011 – В, 1100 – С, 1101 – D, 1110 – E, 1111 – F.

Чтобы количество разрядов было кратно 4, можно добавлять незначащие нули слева к целой части числа и справа – к дробной. Используя изложенные выше положения, можно записать равенство:

здесь нижние индексы указывают СС, в которой представляется число.

Общие понятия о представлении чисел с фиксированной и плавающей точкой

Для представления в ЭВМ используются 2 формы: естественная (с фиксированной точкой) и нормальная ( с плавающей точкой).

Естественная форма представления предполагает, что положение запятой, отделяющей целую часть числа от его дробной части фиксировано в разрядной сетке ЭВМ. Кроме того, эти числа могут быть беззнаковыми (положительными) или иметь знак, для представления которого выделяется специальный разряд – знаковый. Как правило, это самый старший разряд в числе (крайний левый). Для положительных чисел в знак. Разряд заносится – 0, для отрицательных – 1. В ЭВМ известны 2 способа фиксирования положения запятой – либо перед старшим разрядом числа (после знакового разряда, если он имеется), либо после младшего разряда. Разрядная сетка ЭВМ для этих вариантов может быть представлена так, как показано на приведенных ниже иллюстрациях (в прямоугольниках, показывающих разряды двоичных чисел, проставлены веса разрядов).

Число без знака с запятой, фиксированной перед старшим разрядом:

Число со знаком с запятой, фиксированной перед старшим разрядом:

Число без знака с запятой, фиксированной после младшего разряда:

Число со знаком с запятой, фиксированной после младшего разряда:

В первом варианте могут быть представлены только правильные дроби, во втором – целые числа, смешанное число в такой разрядной сетке не представимо.

Нормальная форма представления чисел позволяет отображать смешанные числа и, кроме того, значительно расширяет диапазон представления чисел. Числа представляются в виде мантиссы и степени (порядка) числа в двоичной системе счисления. Мантисса обычно представляется правильной дробью в нормализованном виде (отсюда и название формы представления). В нормализованном виде первая цифра мантиссы (справа от запятой) должна быть отличной от нуля. Это позволяет избежать множественных форм представления чисел с плавающей точкой. Разрядная сетка ЭВМ для такого представления может быть следующей:

При m=22 и p=10 диапазон чисел составляет от до. Для сравнения: количество секунд, которые прошли с момента образования планеты Земля составляет всего .

Следует отметить, что все числа с плавающей запятой хранятся в машине в нормализованном виде. Нормализованными называются такие числа, старший разряд мантиссы которого не равен 0. У нормализованных двоичных чисел, следовательно, .