Лекция: Аналитический и оптимизационный методы определения функций принадлежности.

В общем случае для задания функций принадлежности в аналитическом виде Л. Заде предложил использовать функцию следующего вида:

с — определяет точку тах µ(и)=1 для b>0 или min для b<0, b определяет поведение фронтов кривой, а -размах кривой. И тогда эмпирическое обоснование µ(и) сводится к подбору а, b, с. Но трудность этого подхода определения функции принадлежности состоит в том, что очень трудно бывает дать физическую (смысловую) интерпретацию этим коэффициентам.

Так, например, цель G — дебит скважины u должен быть близок к 1,5 млн. м3/сут, может бить определен функцией принадлежности вида

а ограничение С — дебит скважины uдолжен быть больше 1,5 млн. м3/сут представляется следующим образом:

Вообще говоря, сегодня при решении той или иной задачи выбор аналитического вида функции принадлежности и определения конкретных значений коэффициентов этих функций — это прерогатива эксперта. Практически все современные математические пакеты, такие как MATLAB, MATEMATICA и др. такую возможность эксперту обеспечивают.

В этом принципиальное отличие функции µ(u) от функции распределения в теории вероятностей. Сотнями экспериментов установлено, что рассеивание снарядов артиллерийских орудий подчиняется закону рассеивания Гаусса. И ни один специалист не имеет права считать, что оно подчиняется какому-нибудь другому закону распределения, например Эрланга. Если он так считает, он должен это доказать. Таким образом, функция µ(u) — это функция, определяющая субъективное мнение специалиста, а скажем, функция распределения случайной величины или закон Байеса — это выражение объективной закономерности, независимой от отношения специалиста к этой закономерности.

 


Нечеткая задача оптимизации выбора вариантов проектов.

Реальные прикладные задачи обычно содержат некоторые неизвестные параметры. Когда параметры известны только в пределах определенных границ, один подход к решению таких проблем называется робастной оптимизацией. Этот подход состоит в том, чтобы найти решение, которое является допустимым для всех таких данных и в некотором смысле оптимально.

В общем виде задача нечеткого математического программирования формулируется следующим образом — найти такой вектор x=(xi,x2, .…, xn) , для которого

Отметим, что различают следующие виды нечеткой функции:

нечетко ограниченная функция;

нечеткое рассмотрение четкой функции;

нечеткая функция от нечетких переменных;

четкая функция от нечетких переменных.

Если нечеткие функции f (x) и φiпредставляют собой нечеткое расширение четкой функции, то есть являются обычными функциями, но с нечеткими коэффициентами или переменными, тогда сформулированная задача представляет собой задачу нечеткого математического программирования.

В зависимости от вида функций f (x) и φiразличают следующие задачи:

• оптимизация с нечеткими отношениями;

• оптимизация с нечеткой целью;

• оптимизация с нечеткими ограничениями;

• оптимизация с нечеткой целью и нечеткими ограничениями.

Если же переменные x представляют нечеткие числа, а функции f(x) и φ (х) — четкие, то задача нечеткого математического программирования является задачей оптимизации с нечеткими числами.

 

 


24. Нечеткие числа: виды нечетких чисел; операции над нечеткими числами.

Нечеткой величиной называется произвольное нечеткое множеcтво заданное на множестве действительных чисел R1:

 

Нечетким числом называется нечеткая величина, функция принадлежности которой является выпуклой и унимодальной.

 

Нечеткие числа широко используются в повседневной жизни. Когда мы говорим: «приблизительно три», «приблизительно двадцать пять» и т. п., то тем самым предполагаем использование нечеткого числа. Формально нечеткое число можно рассматривать как нечеткое множество, заданное на множестве действительных чисел и обладающее некоторыми дополнительными свойствами.

Нечеткие числа во многих случаях применяются для непосредственных расчетов (см. например, расчеты чистого дисконтированного дохода, внутренней нормы рентабельности проекта разработки нефтегазового месторождения и др.). При этом, наиболее популярными и легко интерпретируемыми руководителями являются нечеткие числа LR -типа.

Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Нечеткое число ã, называется нечетким числом LR-типа или LR-числом, если

где a — мода нечеткого числа LR-типа, α — левый коэффициент нечеткости, β — правый коэффициент нечеткости, L(x) — левая функция принадлежности, R(x) — правая функция принадлежности.

Символически число LR-типа, записываются следующим образом:

Арифметические операции над нечеткими числами LR-типа выполняются по следующим правилам. Пусть имеется два нечетких числа LR-типа:

 


25. Модели нечеткого математического программирования: оптимизация с нечеткими отношениями.

Начало – вопрос №7

 

Оптимизация с нечеткими отношениями

В общем виде задача нечеткого математического программирования формулируется следующим образом — найти такой вектор x=(xi, x2,…, xn), для которого

при ограничениях:

Решение этой задачи ищется на основе следующего подхода.

Пусть Ф0 — значение критерия f(x), достижение которого считается достаточным для выполнения цели, тогда можно ввести некоторые d и li — пороговые уровни, такие, что выполняются неравенства:

которые означают сильное нарушение неравенств

определяющих возможные варианты решения задачи.

При таком подходе возможно для критериев оптимальности и ограничений ввести функции принадлежности решения к допустимому и оптимальному решению. В результате исходная задача оказывается сформулированной в форме задачи достижения нечетко определенной цели при нечетких ограничениях и для ее решения может быть применен подход Белмана-Заде.

К такого рада задачам в силу особенностей нефтегазодобывающего производства можно отнести: планирование геофизических исследований скважин (ГИС), техническое обслуживание и ремонт различных технологических объектов. В общем виде они могут быть записаны в виде следующей оптимизационной задачи

Где xij равно 1 — если j -й вид работ (вариант разработки месторождения комплекс ГИС, ТОР и др.) назначается на 1-й вид объектов,

0 — в противном случае.

aijh количество ресурсов h-го типа, необходимое для проведения j-го вида работ на i-ом виде объектов;

Ah — количество ресурса h-го типа, (время работы МТР, ремонтных бригад, стоимость работ и т.п.), имеющееся в системе;

с­ij — обобщенная (комплексная) эффективность применения j-го вида работ на i-ом виде объектов.

Известно, что четкий вариант задачи (6.1)-(6.5) хорошо решается методом ветвей и границ или с помощью L-алгоритма. При этом лишь некоторое исключение представляет собой задача распределения ГИС и ТОР по плановым периодам, имеющая в своем составе отличный от (6.1) вид критерия оптимальности, особенность которого состоит в том, что заранее, до начала решения задачи невозможно иметь значения Cij(они вычисляются в ходе решения задачи).

Однако, для всех перечисленных в начале этого раздела задач общими характерными моментами является то, что: 1) правые части ресурсных ограничений представляют собой некоторые средние значения полученные, например, в результате применения моделей теории массового обслуживания; 2) значения коэффициентов Cij, тоже, как правило, носят качественный (приближенный) характер и получаются в результате качественного экспертного анализа). Поэтому здесь имеется три альтернативных подхода для выбора методов (алгоритмов) решения этих задач.

 

Первый подход основан на том, что значения коэффициентов aijh, Ah, с­ij считаются хорошо определенными и для решения задачи применяются упомянутые выше метод «ветвей и границ» или L-алгоритм .

Второй подход основан на том, что aijh, Ah, с­ij имеют статистическую неопределенность. Тогда задача (6.1)-(6.5) становится М-задачей стохастического математического программирования, методы и трудности решения которой также хорошо известны. Наконец, третий подход может быть основан на том, что неопределенность коэффициентов с­ijв большей степени связана с не достаточностью информации и не носит ярко выраженной статистической неопределенности. В свою очередь можно допустить, так же, что при решении задачи (6.1)-(6.5) ресурсные ограничения могут выполняться лишь с определенной степенью точности, например в пределах среднеквадратического отклонения (или в пределах заданных экспертным путем, что в практической ситуации бывает достаточно часто). Учитывая это, задача (6. 1)-(6.5) может быть интерпретирована как обобщенная распределительная задача с нечетко поставленной целью и ограничениями.

 


26. Модели нечеткого математического программирования: использование нечетких LR-чисел.

Начало – вопрос №7

Если переменные x представляют нечеткие числа, а функции f(x) и φ (х) — четкие, то задача нечеткого математического программирования является задачей оптимизации с нечеткими числами.

 

Пример одной из таких задач — это модель оптимизации текущего планирования нефтеперерабатывающего предприятия, в которой решением задачи (объем выпуска различных видов продукции — выход бензина, керосина, гудрона и др.) является нечеткий вектор LR-типа, то есть искомые переменные представляются нечеткими числами LR-типа.

В этом случае решение исходной нечеткой оптимизационной задачи, в общем случае, сводится к решению трех четких традиционных задач математического программирования, решаемых относительно мод, левых и правах границ нечетких переменных x, представляемых нечеткими числами LR-типа, то есть оптимальное решение есть

 

X*LR=( X*, X* — X/*, X* + X//* )

X* оптимальное решений задачи относительно моды нечеткого вектора X*LR

X/* оптимальное решение относительно левой границы вектора X*LR;

X//* оптимальное решение относительно правой границывектора X*LR;

 


27. Генерация альтернатив решений: понятие генетического алгоритма.

Генетические алгоритмы. Идея использования генетических алгоритмов может рассматриваться как разновидность метода случайного поиска. Наименование «генетический алгоритм» происходит из аналогии представления сложной структуры посредством вектора ее компонентов, которое широко используется биологами для представления генетической структуры хромосом. В процессе анализа и решения сложной проблемы мы часто интуитивно комбинируем известные частичные решения, пытаясь найти решение общей задачи как комбинацию частных решений, предполагая при этом, что комбинация, состоящая из лучших вариантов, даст лучшее решение. Аналогия не вполне точная, но полезная для понимания идеи генетического алгоритма. Таким образом, в методе генетических алгоритмов сразу встает вопрос, какие параметры или характеристики при анализе ситуации следует варьировать, а какие сохранить без изменения. От этого, конечно, зависят и результаты анализа. Чаще всего используется два генетических оператора: crossover (перекрестный обмен) — обмен секциями хромосом родителей и mutation (мутация) — случайная модификация хромосом.

В теории генетических алгоритмов широко используется понятие схема, что значит вид или форма. Поясним это понятие следующим примером. Пусть две хромосомы, состоящие из 0 и 1, представлены векторами, показанными на рис.

1111010

1* 1* 0* *

Тогда схема для этого примера показано под чертой. В схеме символ * может быть заменен любым символом из используемого алфавита. В нашем случае нулем или единицей. Схема может рассматриваться как определение подмножеств подобных хромосом или гиперповерхностей в n-мерном пространстве. Легко представить, что каждая из хромосом может принадлежать и некоторым другим схемам. Некоторые из этих схем будут включать обе хромосомы, другие только одну. Каждый раз когда определяется годность данной хромосомы, собирается информация о возможной годности каждой схемы, которой принадлежит хромосома. Конечно, возникает вопрос сколько схем следует проанализировать. Перебор может оказаться достаточно большим. Один из путей сокращения перебора – ужесточение произвола в схемах, т.е. уменьшение в них символов * и сокращение числа самих схем. Характеристиками схем являются длина и порядок. Длина определяется числом позиций между первой и последней (т.е. не *) позициями в схеме, а порядок числом определенных (не *) позиций. Другой характеристикой является отношение годности, т.е. присутствие схемы в популяции схемы.

Операции мутации и перекрестного обмена, выбор родителей и использование схем являются инструментом влияния специалиста на ход анализа. Допуская или запрещая мутации определенных генов хромосомы и определяя точки, вокруг которых осуществляется перекрестный обмен, специалист влияет на результаты анализа ситуации и/или оценку последствий тех или иных событий.

Сегодня генетические алгоритмы нашли применение при диагностике осложнений технологических режимов нефте- и продуктопроводов, моделировании газопроводов в стационарных режимах, решении задач оптимизации инвестиционных проектов и др.

 


еще рефераты
Еще работы по информатике