Лекция: Алгоритм построения Парето оптимального решения.

Парето-оптимальность – общее понятие равновесия, которое полностью зависит от того, какие элементы в нее включаются. Находя оптимальную точку, все участники переговоров получают доход не меньший, чем при выборе этой точки другим методом, или даже лучший.

Рассмотрим отношение ≥ (>) между оценками х, у ϵ Х: х≥ у (х>у), если Ui(х)>Ui(у) (Ui (х)>Ui(у)) для i= 1,n. Здесь Ui(x) — функция полезности (предпочтения). Оценка х° ϵ X называется максимальной по ≥ (по >) относительно X, если не существует оценки х ϵ Х такой, что х ≥ х°(х > х°). Оценка максимальная по ≥ называется эффективной, а также Парето-оптимальной. То есть, вектор х ϵ X Парето-оптимален тогда и только тогда, если не существует другого х ϵ X такого, что Ui (х) ≥ Ui (х*) для i= 1,n и строгое неравенство Uj (х) > Uj (х*) выполняется, хотя бы для одного j.

Множество всех Парето-оптимальных решений образуют рубеж Парето или, что тоже рубеж эффективности. Эти два термина используются в литературе как синонимы.

Оценка максимальная по > называется слабо эффективной, а также слабо оптимальной по Парето или оптимальной по Слейтеру. Множество всех таких оценок на X называется слабо эффективным.

Важным свойством метода Парето является возможность «выбраковывать» из множества возможных решений X заведомо неудачные, уступающие другим по всем критериям.

Из определения Парето-оптимальности следует простой переборный алгоритм нахождения множества Парето-оптимальных элементов. Поскольку Парето-оптимальность определяется не абсолютными, а относительными значениями оценок объектов (вариантов решений) по значениям их параметров, то для реализации алгоритма достаточно иметь информацию о типе отношений между каждой парой объектов, т.е. знать существует ли между ними отношение строгого предпочтения или нет. Поэтому введем булеву переменную

В табл. представлены экономическая и технологическая эф­фективности различных рассмотренных в [9.4] методов воздействия на пласт с целью повышения его нефтеотдачи.

Здесь неопределенность выражается разницей в максимальном и минимальном эффекте в зависимости от применяемого метода воз­действия.

Будем сравнивать методы воздействия на пласт по четырем по­казателям, показанным в табл. 9.6. При нахождении величины aijпоказатели можно сравнивать по средним значениям или по положению интервала значений на числовой оси, считая, например, что показатель «себестоимость 1 м » в интервале 63-119, лучше этого же показателя в интервале 63-157. Для сравнения методов воздействия СППР строит табл. 9.7, не показывая ее руководителям.

Таблица 9.7

В соответствии с табл. 9.7 лучшими методами (1 ранга) оказа­лись «пар» и «нагнетание С02». Вычеркивая столбцы и строки KeKs2 и 3, получаем табл. 9.8.

Таблица 9.8

В соответствии с табл. 9.8 методами второго ранга оказались «горение» и «поверхностно-активные вещества». Наконец, самым худшим методом (3 ранга) оказались «полимеры».

В результате ранжирования по Парето система высвечивает на дисплее табл. 9.9.

Таблица 9.9

Исходя из этих оценок, руководитель выбирает метод воздейст­вия на пласт.