Лекция: Алгоритм нахождения ранга матрицы.

Пусть требуется вычислить ранг матрицы А размеров m×n. Если матрица нулевая, то по определению. В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что a11≠0.

Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число. В результате вторая строка принимает вид

Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число. В результате третья строка принимает вид

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке.

Преобразованная матрица имеет вид

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля a11. В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что .

Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число. В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число, и т.д. В результате получаем матрицу

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то, так как минор. В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.

На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с (r+1)-ой, равны нулю (или отсутствуют при r =m≤ n), а минор в первых строках и первых столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен. Следовательно, .

Пример

 

еще рефераты
Еще работы по информатике