Лекция: ВОПРОС 45. Примеры логических функций. Таблицы истинности. Приоритет выполнения логических операций. Примеры вычисления задач.

Логическая функция — это функция логических переменных, которая

может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь,

сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может

принимать только два значения: 0 или 1.

Логический элемент — это устройство, реализующее ту или иную

логическую функцию.

Y=f(X1,X2,X3,...,Xn) — логическая функция, она может быть задана

таблицей, которая называется таблицей истинности.

Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно 2n, где n — число переменных. Число различных функций n переменных равно 22^n.

Логические функции одной переменной

Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего

2 строки, а число функций одной переменной равно 4.

1. Функция константа 0, Y=0. Техническая реализация этой функции -

соединение вывода Y с общей шиной с нулевым потенциалом.

Таблица истинности функции константа 0 имеет вид:

2. Функция Y=f(X)=X — функция повторения. Техническая реализация этой функции — соединение между собой выводов X и Y. Таблица истинности функции повторения имеет вид:

3. Функция Y=f(X)=NOT(X) — отрицание НЕ или инверсия (NOT(X) — это НЕ X).

Техническая реализация этой функции — инвертор на любом транзисторе

или логическом элементе, или транзисторный ключ.

Таблица истинности функции отрицания имеет вид:

Логический элемент НЕ обозначается на схемах следующим образом:
(пишется X c чертой сверху)

4. Функция константа 1, Y=1. Техническая реализация этой функции -

соединение вывода Y с источником питания.

Таблица истинности функции константа 1 имеет вид:

Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ,

остальные функции являются тривиальными.

Логические функции двух переменных

Таблица истинности функции двух переменных Y=f(X1, Х2) содержит 4

строки, а число функций двух переменных равно 16.

Пример решения задачи

ЗАДАНИЕ. Проверить, является ли тавтологией формула: a & b → (a & b ∨ c ∨ c) .

РЕШЕНИЕ. Упростим данную формулу, используя известные соотношения x → y = x ∨ y, x&y=x∨y, x∨x=1, x∨1=1.Получаем:
a & b → (a & b ∨ c ∨ c) = a & b ∨ (a & b ∨ c ∨ c) = (a ∨ b) ∨ ((a & b) ∨ (c ∨ c)) =

=(a∨b)∨(a&b∨1)=(a∨b)∨1=1
Таким образом, формула является тавтологией.