Лекция: Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции. Теорема Куна-Таккера.
Определение: Функция, заданная на выпуклом множестве, называется выпуклой, если для любых двух точек и из и любого выполняется соотношение
(49.1)
Определение: Функция, заданная на выпуклом множестве, называется вогнутой, если для любых двух точек и из и любого выполняется соотношение
(49.2)
Если неравенства (49.1) и (49.2) считать строгими и они выполняются при, то функция является строго выпуклой (строго вогнутой). Выпуклость и вогнутость функций определяется только относительно выпуклых множеств.
Если, где, — выпуклые (вогнутые) функции на некотором выпуклом множестве, то функция — также выпуклая (вогнутая) на .
Основные свойства выпуклых и вогнутых функций:
1. Множество точек минимума выпуклой функции, заданной на выпуклом множестве, выпукло.
2. Пусть — выпуклая функция, заданная на замкнутом выпуклом множестве. Тогда локальный минимум на является и глобальным.
3. Если глобальный минимум достигается в двух различных точках, то он достигается и в любой точке отрезка, соединяющего данные точки.
4. Если — строго выпуклая функция, то ее глобальный минимум на выпуклом множестве достигается в единственной точке.
5. Пусть функция — выпуклая функция, заданная на выпуклом множестве, и, кроме того, она непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка во всех внутренних точках. Пусть — точка, в которой. Тогда в точке достигается локальный минимум, совпадающий с глобальным минимумом.
6. Множество точек глобальных (следовательно, и локальных) минимумов выпуклой функции, заданной на ограниченном замкнутом выпуклом множестве, включает хотя бы одну крайнюю точку; если множество локальных минимумов включает в себя хотя бы одну внутреннюю точку множества, то является функцией-константой.
Рассмотрим задачу нелинейного программирования:
(49.3)
при ограничениях
, (49.4)
(49.5)
Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций и, разработаны эффективные методы их решения.
Говорят, что множество допустимых решений задачи (49.3) — (49.5) удовлетворяет условию регулярности, или условию Слейтера, если существует, по крайней мере, одна точка, принадлежащая области допустимых решений такая, что .
Задача (49.3) — (49.5) называется задачей выпуклого программирования, если функция является вогнутой (выпуклой), а функции — выпуклыми.
Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (49.3) — (49.5) называется функция:
, (49.6)
где — множители Лагранжа.
Точка называется седловой точкой функции Лагранжа, если
(49.7)
для всех и .
Теорема (Куна — Таккера): Для задачи выпуклого программирования (49.3) — (49.5), множество допустимых решений которой обладает свойством регулярности, является оптимальным решением тогда и только тогда, когда существует такой вектор,, что — седловая точка функции Лагранжа.