Лекция: Игры с природой (теория статистических решений). Особенности платежной матрицы.
В рассматриваемой (см. выше) теории матричных игр исследуются игры, в которых противник «разумный и злонамеренный» (неопределенность в этих играх состоит в том, что выбор действий противника неизвестен), так и игры, в которых действия противника («природы») неосознанны, пассивны (другой в отличие от первого вид неопределенности). «Природа» действует случайным образом, точнее считается, что ее состояния реализуются случайным образом.
В качестве второго игрока (В), действительно может выступать природа, например: нефтегазовый пласт, природные условия (суша, море, климат и др.), геолого-технологические условия (пористость, проницаемость, высота кровли пласта и т.д.) и др., которые активных действий не предпринимают, а неопределенность состоит в том, с какой вероятностью или шансами реализуются те или иные природные условия.
Матричные игры с учетом последнего типа неопределенности называются играми с природой (или теорией статистических решений).
В игре с природой – пассивный игрок (природа) обычно обозначается как – П.
Суть такой игры состоит в том, что игроку (активному) А требуется выбрать такую чистую или смешанную стратегию, которая является более выгодной, чем остальные.
Предположим, что в платежной матрице мы имеем некоторые аijиakl такие что, аij>akl. При этом, выигрыш (аij) может быть больше второго (akl) не за счёт нашего выбора более удачной стратегии, а за счёт того, что состояние природы Пj выгоднее для нас, чем Пl, в этом смысл удачности стратегии. Поэтому для разрешения этого вопроса необходимо ввести дополнительные показатели, который описывали бы «удачность» или «неудачность» принятия данной стратегии в данной ситуации с учётом общей благоприятности ситуации. С этой целью вводится понятие риска:
1. Платежная матрица задается матрицей выигрышей игрока А.
Риском игрокаА при использовании стратегии Аi в условиях Пj называется разность между выигрышем, который он получил бы, если бы знал Пj, и выигрышем, который он получает в тех же условиях, применяя стратегию Аi. Очевидно, если бы игрок знал заранее состояние природы Пj, он выбрал бы ту стратегию, которой соответствует максимальный выигрыш в данном столбце (максимум столбца j) – это βj. Тогда риск rij есть:
,
где, rij≥ 0.
2. Платежная матрица задается матрицей проигрышей (потерь, убытков) игрока А.
Риском игрока Риском игрокаА при использовании стратегии Аi в условиях Пj называется разность между проигрышем, который он получил бы, если бы знал Пj, и проигрышем, который он получает в тех же условиях, применяя стратегию Аi. Очевидно, если бы игрок знал заранее состояние природы Пj, он выбрал бы ту стратегию, которой соответствует минимальный проигрыш в данном столбце (минимум столбца j) – это βj. Тогда риск rij есть:
rij=aij — βj ,
где βj = min aij, rij≥0
9Поэтому введенное понятие риска является мерой благоприятности состояния природы.
В игре с природой существует два подхода к получению оптимального решения, когда критерии принятия решений зависят от того известны ли нам состояния природы Пjи соответствующие имвероятности Q(Пj) и ли нет.
При первом подходе считается, что состояния природы Пjнеизвестны, но известны их вероятности Q(Пj),эта ситуация называется ситуацией частичной неопределенности.
При втором подходе наоборот состояния природы известны Пj, но данные о вероятностях их реализации Q(Пj) отсутствуют, такая ситуация называется ситуацией полной неопределенности.